专题训练十三 一元一次方程的其他应用
工程问题
1.(2025上海静安区期中)某项工程,甲单独做需10天完成,乙单独做需15天完成。
(1)两人合作2天,完成的工作量占这项工程总量的几分之几
(2)如果两人合作2天后,甲有事先离开,剩下的工程由乙单独做,还需要几天才能完成
配套问题
2.某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名
利润问题
3.学校准备添置一批课桌椅,原计划订购60套,每套100元,店方表示:如果多购,可以优惠。结果校方实际订购了72套,每套减价3元,但商店获得了与售出60套课桌椅同样多的利润。
(1)求每套课桌椅的成本;
(2)求商店获得的利润。
数字问题
4.把1,2,3,4,5,…按如图所示的方式排列成一个表,用一个正方形框在表中任意框4个数,记左上角的一个数为x。
(1)另外三个数分别用含x的式子表示出来,从小到大依次是 , , 。
(2)当被框住的4个数之和等于416时,x的值是多少
(3)能否框住这样的4个数,使它们的和等于324 若能,求出x的值;若不能,请说明理由。
方案选择问题
5.(2025徐州泉山区期末)某工厂车间准备在劳动节期间组织工人观看最新电影,票价为每张40元,经车间主任沟通,针对40人以上的团体票,售票员提供了两种优惠方案:
方案一:全体人员打八折;
方案二:5人免票,其他人员打九折。
(1)若工厂车间有50名工人,选择哪种方案更优惠
(2)车间主任说:“无论选择哪种方案,要付的钱都一样多。”则该工厂车间有多少名工人
比例问题
6.七(1)班与七(2)班参加比赛的人数相同,七(1)班有的同学获奖,七(2)班有20人没有获奖,已知七(1)班和七(2)班获奖的人数比是2∶3,那么七(2)班有多少人参加比赛
调配问题
7.某班学生分两组参加某项活动,甲组有36人,乙组有42人,后来由于活动需要,从甲组抽调了部分学生去乙组,结果乙组的人数是甲组人数的2倍少3人。从甲组抽调了多少名学生去乙组
分段计费问题
8.为了节约用水,某自来水公司采取以下收费方法:若每户每月用水不超过15 t,则每吨水收费2元;若每户每月用水超过15 t,则超过部分按每吨2.5元收费,9月份小明家用水a(a>0)t。
(1)请用含a的式子表示:
当0≤a≤15时,水费为 元;
当a>15时,水费为 元。
(2)当a=20时,求小明家9月份应交水费多少元。
(3)若小明家9月份应交的水费是55元,求小明家9月份用水多少吨。
数轴上两点运动问题
9.如图,在数轴上,点A表示的数是-16,线段AB的长为24,点M为线段AB的中点。点P,Q为数轴上的两个动点。点P从点A出发,沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动,到达点M停留2 s后继续保持原速向终点B运动。点Q从点B出发,沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点A运动。P,Q两点同时出发,设点P的运动时间为t(t>0)s。
(1)点B表示的数是 ;点M表示的数是 。
(2)当点P与点B重合时,求t的值。
(3)当线段PQ的长为10时,求t的值。
(4)当点P不与点Q重合时,直接写出QM=2PM时t的值。
【详解答案】
1.解:(1)根据题意,得×2=。
答:两人合作2天,完成的工作量占这项工程总量的。
(2)设乙还需要x天才能完成,
根据题意,得x+=1,
解得x=10。
答:乙还需要10天才能完成。
2.解:设安排x名工人生产螺母,则安排(22-x)名工人生产螺栓,根据题意,得2 000x=2×1 200(22-x),
解得x=12,
则22-x=10。
答:应安排10名工人生产螺栓,12名工人生产螺母。
3.解:(1)设每套课桌椅的成本为x元,
根据题意,得60×100-60x=72×(100-3)-72x,
解得x=82。
答:每套课桌椅的成本为82元。
(2)60×(100-82)=1 080(元)。
答:商店获得的利润为1 080元。
4.解:(1)x+1 x+7 x+8
(2)根据题意,得x+x+1+x+7+x+8=416,
解得x=100。
因为100÷7=14……2,所以100位于第二列,符合题意,所以x的值是100。
(3)不能框住这样的4个数,使它们的和等于324,理由如下:
假设能框住这样的4个数,使它们的和等于324,
根据题意,得x+x+1+x+7+x+8=324,
解得x=77,
因为77÷7=11,
所以77位于第七列,不符合题意,
所以假设不成立,
所以不能框住这样的4个数,使它们的和等于324。
5.解:(1)因为方案一:全体人员打八折,
所以方案一的花费为50×40×0.8=1 600(元);
因为方案二:5人免票,其他人员打九折,
所以方案二的花费为(50-5)×40×0.9=1 620(元)。
因为1 600<1 620,所以选择方案一更优惠。
(2)设该工厂车间有x名工人,由题意得
40x×0.8=(x-5)×40×0.9,
解得x=45。
答:该工厂车间有45名工人。
6.解:设七(2)班有x人参加比赛,根据题意,得x∶(x-20)=2∶3,
解得x=32。
答:七(2)班有32人参加比赛。
7.解:设从甲组抽调了x名学生去乙组,根据题意,得2(36-x)-3=42+x,
解得x=9。
答:从甲组抽调了9名学生去乙组。
8.解:(1)2a (2.5a-7.5)
(2)当a=20时,2.5a-7.5=2.5×20-7.5=42.5(元)。
答:小明家9月份应交水费42.5元。
(3)因为55>30,所以a>15,
所以2.5a-7.5=55,解得a=25。
答:小明家9月份用水25 t。
9.解:(1)8 -4
(2)根据题意,得4(t-2)=24,
解得t=8,
所以当点P与点B重合时,t的值为8。
(3)当点P到达点M时,则4t=12,
解得t=3,
所以当点P从点M出发时,t=3+2=5,
当t=3时,PQ=24-4×3-3×3=3<10,
当t=5时,PQ=4×3+3×5-24=3<10,
所以当PQ=10时,4t+3t+10=24或4(t-2)+3t-10=24,
解得t=2或t=6,
所以当线段PQ的长为10时,t的值为2或6。
(4)t的值为或。
解析:由(3)可知,当3≤t≤5时,不存在QM=2PM,
当0解得t=;
当5综上所述,t的值为或。专题训练十二 一元一次方程的解法技巧
分子、分母含小数的一元一次方程
题型1 巧化分母为1
1.解方程:=1.6。
2.解方程:=5。
题型2 巧化同分母
3.解方程:=1。
题型3 巧约分去分母
4.解方程:-6.5=-7.5。
分子、分母为整数的一元一次方程
题型1 巧用拆分法
5.观察下列等式:=1-,,,将以上三个等式两边分别相加,得=1-=1-。
(1)猜想并写出:= ;
(2)解方程:+…+=2 024。
6.解方程:=2 025。
题型2 巧用对消法
7.解方程:=3。
题型3 巧通分
8.解方程:。
9.解方程:。
题型4 整体合并去分母
10.解方程:(x-7)=6-(x-7)。
11.解方程:5(2x+3)-(x-2)=2(x-2)-(2x+3)。
题型5 巧去多重括号
a.由外向内去括号
12.解方程:2-6=3x。
b.去中括号
13.解方程:x-(x-3)+1。
c.步步去分母
14.解方程:-3=0。
d.利用倒数关系去括号
15.解方程:=1。
【详解答案】
1.解:去分母,得5(x-4)-2(x-3)=1.6,
去括号,得5x-20-2x+6=1.6,
移项,得5x-2x=1.6+20-6,
合并同类项,得3x=15.6,
系数化为1,得x=5.2。
2.解:去分母,得4(x+1)-2(x-2)=5,
去括号,得4x+4-2x+4=5,
移项,得4x-2x=5-4-4,
合并同类项,得2x=-3,
系数化为1,得x=-。
3.解:方程化为同分母,得-
。
去分母,得0.1x-0.16+0.5x=0.06。
解得x=。
4.解:原方程可化为+1=。
去分母,得4-6x+0.01=0.01-x。
解得x=。
5.解:(1)
(2)因为+…+=2 024,
所以x(1-+…+)=2 024,
所以x=2 024,
所以x=2 024,
解得x=2 025。
6.解:因为=2 025,
所以=2 025,
化简,得=2 025,
合并同类项,得x=2 025,
系数化为1,得x=。
7.解:因为-,所以
原方程可化为。
即。
所以x=。
8.解:方程两边分别通分,得
=
。
化简,得。
解得x=-。
9.解:方程两边分别通分,得
=
。
化简,得。
解得x=-。
10.解:(x-7)=6-(x-7)。
(x-7)+(x-7)=6,x-7=6,
x=13。
11.解:分别将(2x+3)、(x-2)看成整体进行移项、合并同类项,
得(2x+3)=(x-2),
去分母,得22(2x+3)=11(x-2),
去括号,得44x+66=11x-22,
移项、合并同类项,得33x=-88,
系数化为1,得x=-。
12.解:去括号,得x--6-6=3x,
去分母,得3x-6-24-24=12x,
移项、合并同类项,得9x=-54,
系数化为1,得x=-6。
13.解:去中括号,得x-x+(x-3)=(x-3)+1。
将(x-3)看作一个整体,
移项、合并同类项,得x=1。
系数化为1,得x=2。
14.解:移项,得{[-3]-3}=3。方程的两边都先乘2,再加3,得=9。
方程的两边都先乘2,再加3,
得=21。方程的两边都先乘2,再加3,得x=45。
方程的两边都乘2,得x=90。
15.解:原方程可化为+6+7=1。
整理,得=-12。
方程的两边都乘5,得+4=-60。
方程的两边都乘3,得x+2+12=-180。
解得x=-194。
