第一章　丰富的图形世界 测试卷（含答案） 2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

第一章　丰富的图形世界 测试卷
(满分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图为小文同学的几何体素描作品,该作品中不存在的几何体为 (　　)
A.棱柱 B.圆锥 C.圆柱 D.球
2.按组成面的平或曲划分,与圆锥为同一类几何体的是 (　　)
A.正方体 B.长方体 C.球 D.棱柱
3.用如图所示的图形,旋转一周所形成的几何体是 (　　)
A B C D
4.(2024徐州中考)由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其从左面看得到的形状图为(　　)
A B C D
5.(2024济宁中考)如图是一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后,有“建”字一面的相对面上的字是 (　　)
A.人 B.才 C.强 D.国
6.如图,一个几何体上半部分为四棱锥,下半部分为正方体,且有一个面涂有颜色,该几何体表面的展开图是 (　　)
A B C D
7.某棱柱共有2 026个顶点,用一个平面去截该棱柱,截面的边数可能是 (　　)
A.2 026 B.2 025 C.1 015 D.1 016
8.如图是一正方体表面的展开图,将其折叠成正方体后,与顶点K距离最远的顶点是 (　　)
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
9.李强同学用棱长为1的正方体在桌面上堆成如图所示的几何体,然后把露出的表面都染成红色,则表面被他染成红色的面积为 (　　)
A.37 B.33 C.24 D.21
10.用相同的小正方体搭一个立体图形,从上面看到的形状是,从左面看到的形状是。搭这样的立体图形,最少需要的小正方体的个数为 (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2025太原杏花岭区月考)如图是一种折叠灯笼,压扁的时候,它看起来是平面的,提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼。这个过程中蕴含的数学原理是　　　　。
12.下面的图形经过折叠可以围成的几何体的名称是　　　　。
13.一个圆柱的底面半径为3 cm,高为6 cm。用一个平面去截该圆柱,截得的长方形面积的最大值为　　　　。
14.一个长方体的底面是面积为4 m2的正方形,它的侧面展开图正好是一个正方形,这个长方体的表面积是　　　　m2。
15.有一个正六面体骰(tóu)子,放在桌面上,将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动,每滚动90°算一次,则滚动第2 025次后,骰子朝下一面的点数是　　　　。
三、解答题(本题共8小题,共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(6分)有一个正方体,在它的各个面上分别标上数字1,2,3,4,5,6。小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察此正方体,观察结果如图所示,问这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字
17.(6分)由7个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示,请你在方格中画出从三个方向看该几何体的形状图。
18.(9分)如图,小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体表面的展开图。拼完后,小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题。
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题:若有多余块,则把图中多余部分涂黑;若还缺少,则直接在原图中补全;
(2)修正后所折叠而成的长方体中,写出所有与点A重合的点:　　　　　　　;
(3)若图中的正方形边长为2 cm,长方形的长为3 cm,宽为2 cm,请求出修正后所折叠而成的长方体的体积。
19.(10分)如图,用一个平面去截掉一个正方体的一条棱。
(1)剩下的几何体的形状是什么
(2)剩下的几何体有几个顶点 几条棱 几个面
(3)若按此方法截掉一个n棱柱的一条棱,则剩下的几何体有几个顶点 几条棱 几个面
20.(10分)(2025青岛黄岛区月考)一个几何体是由棱长为3 cm的小立方体搭成的,其从不同方向看到的形状图如图所示。
(1)请在从上面看到的形状图上标出小立方体的个数;
(2)求该几何体的体积;
(3)求该几何体的表面积。
21.(10分)将一个长方体展开后如图所示,已知E,B两个面的面积之和是36 cm2,且F面是一个长为5 cm,宽为2 cm的长方形。
(1)求这个长方体的表面积;
(2)若用一个平面去截这个长方体,截面形状可能是什么(写出两个即可)
22.(12分)探究:如图1,有一长6 cm,宽4 cm的长方形纸板,现要求以其一边所在直线为轴,旋转360°,得到一个圆柱,现可按照两种方案进行操作:
方案一:以较短的一边所在直线为轴旋转,如图2;
方案二:以较长的一边所在直线为轴旋转,如图3。
(1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱的体积大;
(2)如果该长方形的长和宽分别是5 cm和3 cm呢 请通过计算说明哪种方案构造的圆柱的体积大;
(3)通过以上探究,你发现对于同一个长方形(不包括正方形),以其一边所在直线为轴旋转得到一个圆柱,怎样操作所得到的圆柱的体积大(不必说明原因)
23.(12分)【问题情境】
某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动。
【问题解决】
(1)如图所示的图形中,是无盖正方体的表面展开图的是　　　　(填序号);
(2)综合实践小组利用边长为a cm正方形纸板制作出两种不同方案的长方体纸盒(图1为无盖的长方体纸盒,图2为有盖的长方体纸盒)。
①图1方式制作一个无盖的长方体纸盒的方法:先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为b cm的小正方形,再沿虚线折合起来。则该长方体纸盒的底面周长是多少
②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法:先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为c cm的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折合起来。如果a=30,c=5,那么该长方体纸盒的体积是多少
【问题进阶】
(3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm,3 cm,它缺一个长为6 cm,宽为4 cm的长方形底面,将它的表面沿某些棱剪开,展开成一个平面图形,则该长方体表面展开图的最大外围周长为　　　　cm;通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长时的两个图形,你发现的规律为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
【详解答案】
1.C　2.C　3.D　4.A　5.D
6.B　解析:选项A和C涂有颜色的一个面是底面,不能折叠成原几何体的形式;选项B能折叠成原几何体的形式;选项D不是这个几何体表面的展开图。故选B。
7.C　解析:因为某棱柱共有2 026个顶点,所以该棱柱为1 013棱柱,所以用一个平面去截该棱柱,截面的边数可能是1 015。故选C。
8.D　解析:把图形折叠成正方体如图所示:
所以与顶点K距离最远的顶点是D点。故选D。
9.B　解析:根据题意及从正面、右面、上面看到的几何体的形状图(图略),可得从正面看到的图形的面积为(1+2+3)×1=6,从右面看到的图形的面积为(1+2+3)×1=6,从上面看到的图形的面积为3×3×1=9,所以表面被染成红色的面积为6×2+6×2+9=33。故选B。
10.A　解析:由于这个立体图形从上面看到形状是,从左面看到的形状是,在从上面看到的形状图中的相应位置标注所最少需要的小正方体的个数为或或,因此最少需要4个小正方体。故选A。
11.面动成体
12.三棱柱
13.36 cm2　解析:截得的长方形面积最大时,长和宽都是6 cm,因此截得的长方形面积的最大值为6×6=36(cm2)。
14.72　解析:因为22=4,所以底面边长为2 m,所以底面周长为2×4=8(m),所以这个长方体的表面积是4×2+8×8=72(m2)。
15.5　解析:观察题中图形可知点数3和点数4相对,点数2和点数5相对且四次一循环。因为2 025÷4=506……1,所以滚动第2 025次后与第1次相同,所以朝下一面的点数是5。
16.解:由3个正方体上的数可知,
与标有数字1的面相邻的面上的数字是2,3,4,6,
所以数字1对面是数字5,
同理,数字3对面是数字6。
故数字2对面是数字4。
17.解:如图所示:
18.解:(1)拼图存在问题,有多余块,涂黑如图所示:
(2)F,N
(3)由题意得,修正后折叠而成的长方体的长、宽、高分别为3 cm,2 cm,2 cm ,所以修正后所折叠而成的长方体的体积为2×2×3=12(cm3)。
19.解:(1)剩下的几何体的形状是五棱柱。
(2)剩下的几何体有10个顶点、15条棱、7个面。
(3)剩下的几何体有2(n+1)个顶点、3(n+1)条棱、(n+3)个面。
20.解:(1)如图所示:
从上面看
(2)由(1)可得小立方体的个数为10,
故该几何体的体积是3×3×3×10=270(cm3),
答:该几何体的体积是270 cm3。
(3)该几何体的表面积是3×3×38=342(cm2),
答:该几何体的表面积是342 cm2。
21.解:(1)由题意可知,E面与C面是对面,B面与D面是对面,A面与F面是对面,因为E,B两个面的面积之和是36 cm2,所以C,D两个面的面积之和也是36 cm2。又因为A面的面积=F面的面积=5×2=10(cm2),所以这个长方体的表面积为36+36+10×2=92(cm2)。
(2)三角形,长方形。(答案不唯一)
22.解:(1)方案一:π×62×4=144π(cm3),
方案二:π×42×6=96π(cm3),
因为144π>96π,
所以方案一构造的圆柱的体积大。
(2)方案一:π×52×3=75π(cm3),
方案二:π×32×5=45π(cm3),
因为75π>45π,
所以方案一构造的圆柱的体积大。
(3)由(1)(2),得
以较短一边所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大。
23.解:(1)①③④
(2)①题图1所折成的纸盒的底面是边长为(a-2b)cm的正方形,因此长方体纸盒的底面周长为4×(a-2b)=(4a-8b)cm。
②由题意可知,所作出的长方体纸盒的长为a-2c=20 cm,宽为=10 cm,高为5 cm,
所以体积为20×10×5=1 000(cm3)。
(3)58　没有剪开的棱中短的越多,展开图的外围周长越大
解析:要使长方体表面展开图的外围周长最大,则剪开的棱越长越好,即没有剪开的棱越短越好,如图所示,此时展开图的外围周长最大,
所以最大外围周长为58 cm。
规律为没有剪开的棱中短的越多,展开图的外围周长越大。