贵州省部分高中2026届高三上学期8月开学联考试题 数学（含答案）

高三联考数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，则线性相关程度最强的是（ ）
A. A组 B. B组 C. C组 D. D组
3. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 定义：.若等比数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且轴.若，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知某圆锥放置于半径为的球内，当该圆锥的体积取得最大值时，该圆锥的高为（ ）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B.
C. 上单调递减
D. 的图象关于直线对称
10. 已知定义在上函数的导函数为是偶函数，是奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 是奇函数
D. 不等式的解集为
11. 已知数列满足，其中，则（ ）
A.
B. 为等差数列
C. 数列的前项和为
D. 数列前99项和大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设点在抛物线上，为的焦点，则______.
13. 在矩形中，，，则______，矩形的面积为______.
14. 已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表：
单位：人
性别 喜爱古典音乐情况 合计
喜爱 不喜爱
女 90 20 110
男 60 30 90
合计 150 50 200
（1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？
（2）现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望.
附：
0.05 0.01 0.005
3.841 6635 7.879
，其中.
17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面平面
（2）求三棱锥的表面积.
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点.
（1）求的标准方程.
（2）设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且.
（i）若点的坐标为，求；
（ii）证明：直线过定点.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，讨论的单调性；
（3）若，求的取值范围.
高三联考数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】4
13.
【答案】 ①. 2 ②. 10
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）；
（2）9.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理得，
由余弦定理得.
【小问2详解】
由（1）知，，即为钝角，则，
又，则，，
由正弦定理得，则，
所以的周长为.
16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表：
单位：人
性别 喜爱古典音乐情况 合计
喜爱 不喜爱
女 90 20 110
男 60 30 90
合计 150 50 200
（1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？
（2）现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望.
附：
0.05 0.01 0.005
3.841 6635 7.879
，其中.
【答案】（1）不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关
（2）分布列见解析；数学期望为.
【小问1详解】
零假设：喜爱古典音乐与青年的性别无关，
由数表中数据经计算得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据拒绝零假设，
即不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关.
【小问2详解】
抽取的5人中，喜爱古典音乐的男青年有人，喜爱古典音乐的女青年有人，
故的所有可能值为，
，
所以的分布列为：
1 2 3
数学期望.
17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面平面
（2）求三棱锥的表面积.
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【小问1详解】
在三棱锥中，由平面，平面，得，
而，平面，则平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）得，而，
则，
所以三棱锥的表面积.
【小问3详解】
由平面，得点到平面的距离为，
由为棱的中点，得点到平面的距离，
由（2）知，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点.
（1）求的标准方程.
（2）设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且.
（i）若点的坐标为，求；
（ii）证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）（i）;（ii）证明见解析
【小问1详解】
由题意，，解得，
则的标准方程为.
【小问2详解】
（i）设，由（1）可得，因，
则，由可得，
代入，整理得：，解得（不合题意，舍去）或，
故得，则.
（ii）因，直线的斜率不能为0，可设其方程为：，
代入，整理得：，
则，
设，则（*），
则，化简得，
因，代入整理得：，
将（*）代入，可得，去分母可得：
，
化简得：，解得或.
当时，直线的方程为，直线经过定点，
此时由解得，则，
因，符合题意；
当时，直线的方程为，经过定点，该点恰与点重合，不合题意，舍去.
故直线过定点.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，讨论的单调性；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）时，单调递减，时，单调递增，
（3）
【小问1详解】
，，
，，，
所以切线方程为.
【小问2详解】
函数定义域为，
，令，
，又，所以，
则在上单调递增，又，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
【小问3详解】
，
又，所以不等式可化为在时恒成立，
令，，
令，，
又因为在单调递增，，
所以存在唯一的，使得，
则时，，单调递减，
时，，单调递增，
又，
所以当时，，
则，在单调递减，，符合题意；
当时，，又在单调递减，
所以存在，使得当时，恒成立，
即在上单调递增，则，不符合题意，
综上，.