内蒙古名校2026届高三上学期开学教学质量检测数学试题（含解析）

内蒙古名校2026届高三上学期开学教学质量检测
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.双曲线的离心率为（ ）
. . . .
3.若复数，则（ ）
. . . .
4.已知，则“”是“”的（ ）
.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充要条件 .既不充分也不必要条件
5.小张去零件专卖店购买一种正四棱台形状的零件（每个零件的上、下底面的边长分别为、，高为），该零件的密度为，且他共购买了这种零件，则他购买的这种零件的个数为（ ）
. . . .
6.某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（ ）
. . . .
7.若锐角满足，则（ ）
. . . .
8.设定义在上的函数满足，则 的最小值是（ ）
. . . .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的是（ ）
.若，则
.数据1,1,2,3,4,5,6，6的第80百分位数是6
.若，则
.数据的中位数不可能是
10.已知求（为球心）为正方体的内切球，且球的表面积为，则（ ）
.线段的长为 .直线与球相切
.的面积为 .直线与底面所成角的正弦值为
11.已知抛物线的交点为，都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（ ）
.当为的重心时，轴
.当时，的最大值为5
.当时，的最小值为5
.当时，直线的倾斜角为或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若函数的最小正周期为，则 ，的值域为 .
13.若直线与曲线相切，则切点的横坐标为 .
14.蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个原子分别记为，如图2所示，设，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列，分别是等差、等比数列，且，，.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16.（15分）如图，在四面体中，平面平面，为正三角形，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的正弦值.
17.（15分）某校为了选拔篮球运动员参加暑期篮球比赛，设置了按照运球、投篮、折返跑的顺序进行的3个项目考核测试，已知甲通过运球、投篮、折返跑考核的概率分别为，，，乙通过运球、投篮、折返跑考核的概率均为，且每人每个项目是否通过考核相互独立.已知通过运球、投篮、折返跑考核分别为1分、2分、3分，每个项目未通过考核均得0分，这3个项目甲和乙各做一次测试，参赛选手累计得分超过3分就通过测试.
（1）求甲通过测试的概率；
（2）若根据通过测试的概率大小，你觉得该校应该从甲、乙这两人中选谁参加暑期篮球比赛？
（3）记为甲在测试结束后的累积得分，求的分布列与数学期望.
18.（17分）已知椭圆的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与圆相切，且直线与交于两点.
①求的取值范围；
②求（用含的式子表示）.
19.（17分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设恰有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：.
答案解析
一、选择题
1.A 解析：∵，，∴.
2.D 解析：双曲线的离心率为.
3.A 解析：∵，∴.
4.B 解析：∵，∴，即，
∴“”是“”的必要不充分条件 .
5.B 解析：∵一个零件的体积为：，∴一个零件的质量为，∴他购买的这种零件的个数为.
6.C 解析：由间接法可得所求不同的选法种数为.
7.C 解析：∵，∴，则，
∵为锐角，∴，∴.
8.B 解析：对于，以代替，得，
则，
得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是25.
二、选择题
9.AB 解析：若，则，故A正确；
∵，∴数据1,1,2,3,4,5,6，6的第80百分位数是6，故B正确；
若，则，故C错误；
当时，数据的中位数是，故D错误.
10.BCD 解析：对于A，∵球的表面积为，
∴球的半径为，得，
则，故A错误；
对于B，设线段的中点为，则球与平面切于点，∴直线与球相切，故B正确；
对于C，∵，，∴的面积为，故C正确；
对于D，直线与底面所成的角即直线与底面所成的角，即，∴直线与底面所成角的正弦值为，故D正确.
11.ACD 解析：设，的焦点为，
当为的重心时，由重心坐标得，
得，则两点关于轴对称，
∴轴，故A正确；
分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
当时，，
则，∴的最小值为5，故B错误，C正确；
当，且点在第一象限时，设，则，，，过点作，垂足为，
则，，则，
则，从而直线额倾斜角为.
当，且点在第一象限时，同理可得直线的倾斜角为，故D正确.
三、填空题
12.2； 解析：∵，∴，∴的值域为.
13. 解析：设切点为，，则，
则，解得.
14. 解析：以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，
则，，
∴.
四、解答题
15.解：（1）设的公差为，的公比为，则，
∴，可得，则，∴.
（2）.
16.解：（1）证明：∵平面平面，平面平面，，
平面，∴平面，
∵平面，∴，
∵为正三角形，为棱的中点，∴，
又，∴平面.
（2）取的中点，连接，则，
取的中点，连接，易证两两垂直.
由为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
则，.
设平面的法向量为，
则，即，
取，得.
由（1）知，为平面的一个法向量，∵，∴.
由，
得二面角的正弦值为.
17.解：（1）设事件A=甲通过运球考核，事件B=甲通过投篮考核，事件C=甲通过折返跑考核，事件D=甲通过测试，
则
.
（2）设事件E=乙通过测试，则与（1）同理可得，
∵，
∴该校应该选乙参加暑期篮球比赛.
（3）由题意可知的可能取值为0,1,2,3,4,5,6，
；；
；
；
； ；
；
则的分布列为：
故.
18.解：（1）由题意可知，解得，∴椭圆的方程为.
（2）①依题意可得直线的斜率存在且不为0，设，
由直线与圆相切，得，整理得.
联立，得，
，
即，
将代入得，
∵，∴的取值范围为.
②设，，则，，
则，
将代入上式整理得：.
19.解：（1）的定义域为，，
若，则，在上单调递增.
若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减.
若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.
（2）①当时，恒成立，∴在内有两个零点.
由（1）可知，当时，在上单调递增，不符合题意，∴.
由，解得.
当时，，且当时，，在和上各有一个零点.
故的取值范围为.
②由题意得，即，
可得，
设，则，
不妨设，由，可得.
要证，只需证，只需证，即证，
即证.
令，则，
则在上单调递增，∴，即得证，
故.