2025-2026学年湖南省邵阳市武冈市第十中学高三年级开学数学摸底检测试卷（含答案）

2025-2026学年湖南省武冈市第十中学高三年级开学数学摸底检测试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]为虚数单位，的值为（ ）
A． B．5 C．2 D．4
2．[5分]已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．[5分]不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．[5分]已知函数，则（ ）
A． B．0 C． D．1
6．[5分]某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27 B．23 C．25 D．29
7．[5分]已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．[5分]已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则；反之，若，则
C．，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为
D．，角的平分线交边于，且，则的最小值为12
10．[5分]设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，其中为第一象限内的点，与的准线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
11．[5分]某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表：
用笔数（支）
学生数
则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是支 B．平均数是支 C．众数是支 D．方差是
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知向量，．若，则 ．
13．[5分]一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望 .
14．[5分]如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[10分]为了研究臭氧效应，先选取40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，并分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
对照组
试验组
（2）根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．[16分]设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围.
17．[20分]已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点.
（1）求的方程.
（2）过点且不与轴重合的直线与交于两点.
（ⅰ）若的面积为，求的方程；
（ⅱ）若线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线.
18．[18分]在四棱锥中，底面是正方形，与交于点O，底面，为的中点.

（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
19．[16分]已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数在区间上的值域为，求m的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】BCD
10．【答案】AC
11．【答案】ACD
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）；列联表如下：
合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
（2）依据小概率值的独立性检验，能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
16．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）依题意得.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增.
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
（2）当时，不等式恒成立，
即不等式在上恒成立，
当时，不等式显然成立，此时；
当时，即在上恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，注意到，
所以当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以在时取到最小值为，
所以，所以，
综上，的取值范围为.
17．【答案】（1）；
（2）（ⅰ）或或或；
（ⅱ）见详解.
【详解】（1）由题意可得，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知，，设直线，
联立，可得，
则，
设，则.
（ⅰ），
则，
整理可得即，解得或，则或，
所以，直线的方程为或或或.
（ⅱ）设点，则，，所以.
设以点为切点的切线方程为即，
联立，可得，
则，
整理得，
则，
因为点是椭圆上的点，所以，即，
则，
所以以点为切点的切线方程为.
同理可得，以点为切点的切线方程为.
联立两切线方程，消去，可得，整理得,
结合化简可得，
由题意，，故，代入直线方程，可得，
所以，则,其中，
故，，三点共线.
18．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）连接，由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，所以//
又平面平面
所以//平面
（2）由底面底面，所以，
由是正方形可知, ，所以BD⊥平面,
又平面，所以.
（3）在线段上存在点，使平面. 理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以. 由（2）可知，平面，平面
所以，平面平面，交线是
因为，所平面
由为中点，得

19．【答案】（1），的单调递减区间为
（2）
【详解】（1）解：函数的最小正周期；
令，，解得，．
即的单调递减区间为．
（2）当时，，
令，即，
画出上的图象如图，
因为在的值域为，
所以，
解得，即m的取值范围为．
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