第一部分专题八统计与概率
第42练
事件的相互独立性及频率与概率
A
[小题·精讲精练]
[解析]
由已知，样本容量为66，而落在[31.5，
43.5]内的样本数为12十7十3一22，故所求概率
[例题讲坛]
【例1】投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统
的为器号
礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如
[答案]B
图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的
【规律归纳】随机事件概率的理解及求法
三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，
(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从
投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1
数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当
次，则这3人中至少有2人投中的概率为(
试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概
率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随
机事件的概率，
交
(2)求法：通过公式fm(A)=”A=m计算出颜
率，再由频率估算概率。
作
A
B
c号
[小题·分层分练]
业
D.8
[一层·打基础]
[思路引导]由独立事件橱率乘法公式可得，
时
[解析]记甲、乙、丙投中分别即为事件A1,A2,
知识点一相互独立事件的判断及概率求法
1.已知A,B是一次随机试验中的两个事件，若满
A3,由题知P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A1)
可
=P()=P(石)=则3人中至少有2人投
足PA)=P(B)=号，则
(
沿
A.事件A,B互斥
中的概率为：P=P(A1A2A3)十P(A1A2A3)十
B.事件A,B相互独立
此
PA1A)+P(AA石)=（合）'+(2)+
C.事件A,B不互斥
(合》+（公）=2故选A
D.事件A,B不相互独立
2.(多选)随机事件A与B互相独立，且B发生的
[答案]A
概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则
【规律归纳】利用相互独立事件求复杂事件概率
的解题思路
A.A发生的概率为0.6
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的筒单
B.B发生且A不发生的概率为0.2
事件的和.
C.A或B发生的概率为0.9
(2)将彼此互斥的筒单事件中的筒单事件，转化为
D.A与B同时发生的概率0.2
几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件.
知识点二频率与概率的关系
(3)代入概率的积、和公式求解.
3.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
【例2】有一个容量为66的样本，数据的分组及各
10,
分组
[20,
30,
40,
[50,
[60,
组的频数如下：
20)
30)
40)
50)
60)
70
[11.5,15.5)2;[15.5,19.5)4;[19.5,23.5)9;
[23.5,27.5)18;[27.5,31.5)11;[31.5,35.5)12:
频数
2
4
5
4
2
[35.5,39.5)7:[39.5,43.5]3.
根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，
则样本数据落在区间[10,40)上的频率为(
43.5]内的概率约是
A.0.35
B.0.45
C.0.55
D.0.65
)
4.某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为
A.
B.3
80%,则下列解释正确的是
(
c
号
A.明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不
降雨
[思路引导](1)频率是概率的近似值，随着试
B.明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不
验次数的增加，频率会越来越接近概率
降雨
(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未
C.明天本地降雨的机会是80%
知的，常用频率估计概率
D.以上说法均不正确
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
115
