第一部分专题二函数、导数及其应用
第15练
利用导数研究函数的极值与最值
A
[小题·精讲精练
[解析]因为f(x)=x3十3x2一9x十1，所以
f(x)=3x2+6.x-9,令f(x)=3x2+6x-9=
[例题讲坛]
0,解得x1=一3，x2=1,所以∫(x)在（一∞，
【例1】
若函数f(.x)=a.x3一
x2+1存在唯一的零
3
-3)和(1，十∞)时，f(x)>0,f(x)在
(一3,1)时，f(x)<0,所以函数f(x)在（一∞，
点xo,且xo>0,则实数a的取值范围是
(
一3)和(1，十∞)上单调递增，函数f(x)在
A.(-∞，-
2
B.(-√2,0)
(一3,1)上单调递减，则f(x)在[1,2]内单调递
2
增，所以在[1,2]内，f(2)最大；f(x)在
C.(0,w2)
D.(
2,+0)
(一3,1)时单调递减，所以在[-3,1]内，f(一3)
[思路引导]由存在唯一的零点x0,且x0>0,
最大；f(x)在（一∞，一3）时单调递增，所以在
想到分离变量a构建新函数
(-∞，-3)内，f(一3)最大；因为f(2)=3,
[解析]由函数f(x)
f(一3)=28，且f(x)在区间(k,2]上的最大值为
交
28,所以k<一3，即k的取值范围是（一∞，一3），
=a.x3
号2+1存在
2
作
故选A.
唯一的零，点x0,且x0>0
y=8ix)
[答案]A
业
3
-立2
【规律归纳】求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最
-if
等价于a=
大值和最小值的思路
时
x3有
(1)若所给的闭区间[a,b]不含参数，则只需对函
唯一正根，
数f(x)求导，并求f(x)=0在区间[a,b]内的
可
2x2-1
根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函
即函数y=g(x)=
的图象与直线y=a
数值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大
沿
在y轴右侧有1个交点，
值，最小的一个是最小值.
此
又y=g(x)为奇函数且g()=3(W2-x)(2+)
(2)若所给的闭区间[a,b]含参数，则需对函数
2.x4
f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单
调性，从而得到函数f(x)的最值.
则y=g(x)在（一∞，一√2），(W2,十∞)上为减函，
数，在（一√2,0），(0，W2)上为增函数，则满足题意
[小题·分层分练]
时y=g(x)的图象与直线y=a的位置关系如图
[一层·打基础]
所示，即实数a的取值花图是a<-
2
知识点一用导数解决函数的极值问题
[答案]A
1.设函数f(x)的导函数为f(x),y=f'(x)的部分
【规律归纳】导数法研究函数零点的存在性问题
图象如图所示，则
的策略
(1)基本依据：函数零点的存在性定理.
(2)注意点：函数零点的存在性定理是函数存在
-0.5
零点的充分不必要条件，
(3)基本方法：导数法分析函数的单调性、极值、
区间端点函数值，画出函数的草图，数形结合求
参数的值·
(4)常见技巧：将已知等式适当变形，转化为有利
A函数x)在（一21）上单调递增
于用导数法研究性质的形式·
B.函数f(x)在(0,4)上单调递增
【例2】已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f
C.函数f(x)在x=3处取得极小值
(x)在区间(k,2]上的最大值为28，则实数k的
D.函数f(x)在x=0处取得极大值
值可以是
A.-4B.-3
C.-2
D.-1
2.函数f(x)=2x-1anx-x在区间（-受，）的
[思路引导]
极大值、极小值分别为
先求出f(x)的导函数，即f(x)=3.x2十6x-9,
3r+1
令f(x)=3x2+6x一9=0，可得x的值，讨论函
A.+1,-2+1
B.-+1,
2
数的极值及单调性，结合f(x)在区间(k,2]上的
最大值为28，即可求出的取值范围.
c-1,-号+1
D.--1,-+1
2
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第一部分小题考点专项练
11.BCD由33可得x1,
由x2-ax一a一10可得(x十1)(x-a-1)←<0，
专题一集合与简易逻辑
因为x<1是关于x的不等式x2一a.x-a-1<0成主的必
第1练集合
要条件，所以二次不等式的解为集合（一∞，1）的子集，
小题·分层分练
所以a十11即可，解得a≤0，故选BCD.
1.Ax可为1、2，y可为0、2，有=0、2、4，故A·B={0,2,4},
所以集合A·B的所有元素之和为6.故选A
12.解折：号知≠0.：{1a,会}=0。a+b:
2.D若x=0,则yz∈{一1,1，即有序数对(y,)有4种取
.6=0,即6=0，
法，同理若y=0,则x,z∈{一1,1》，即有序数对(x,z)有4
种取法，若z=0,则xy∈{一1,1}，即有序数对(xy)有4种
.a2=1,a=士1.
取法，综上所述，集合A满足条件“|x|十|y|十|之|=2”的
叉由集合中元素的互异性，知a≠1，
元素个数为4十4十4=12.故选D.
,.a=-1,
3.B2≤1,2-1=2二1≤0曰2x)x≤0，解得x<0成
故4202+b223=(-1)2022+02028=1.
1x≠0
故答案为：1
x≥2，所以A={xx<0成x≥2}.x2-2.x=x(x-2)>0,
答案：1
解得x<0或x>2,所以B={xx<0或x>2}.所以A三
13.解析：对于集合A,由△=4一4(9一a)<0,解得a<8:
B,B选项正确，其它选项错误.故选B.
对于集合B,由△=16一4a<0,解得a>4.
4.C集合A={xy=√/4-x}={x-2≤x≤2)：
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集，
因为BCA,所以有0≥-2；所以-2≤a≤1.
所以a的取值范固是{aa≥8或a≤4，且a≠0}
1a+1≤21
5,C因为A=《x|log2x≤1〉={x|0故答案为：{aa≥8或a≤4且a≠0》
答案：{aa≥8或a4且a≠0》
{xe≤2}=《x|x≤ln2},所以A∩B={x0故选C
:14.解析：，M∩N={一3}a一3=一3或2a一1=一3，解得
6.ABA={xx2-2x-3=0,x∈R},.A={-1,3},
a=0或a=-1.
AUB=A,,B二A,①当B=A,即B={一1,3}时，得：
当a=0时，M={0,1,一3}，N={-3,-1,1》,
2(a+1)=2,8二2=-3，无解.②当B=0,即4=
得M∩N={1,一3}，不符合题意，含去；
当a=-1时，M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩
4a+1)-4aa-2)=16如+4<03a<-, 当B=
N={-3},
MUN={-4,-3,0,1,2}.
{-1},即16a十4=0，a-2a-2十a-2=0,无解，①当B=
故答案为：一1；{一4，一3,0,1,2}.
{3),即16a+4=0,9a+6a+6十a-2=0→a=-1
.所以a
答案：一1《一4，一3,0,1,2}
15.解析：集合A表示直线x一y=1上点的集合，集合B表示
的取值范国为(- ，一]，故选AB,
圆(x一2)2十(y十3)2=9上点的集合.
7.解析：U={0,1,2,3},A={1,2},
圆(x一2)2十(y十3)2=9的圆心坐标为(2，一3)，半径为
A={0,3.∴0,3是方程x2十m.x=0的两个实根，
3,点(2，-3)到直线x-y=1的距离为2+3-1L
,0十3=-m,即m=一3.
W√1+(-1)
答案：一3
2√2<3，
8.Dx2-4x-5≥0，.x≤-1或x≥5，
所以直线x一y=1与圆(x-2)2+(y十3)2=9相交，
A={x|x≤-1或x≥5}，
所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为
又AUB=R.a二3≤1，解得1≤4≤2.故选D.
22=4.
1a十4≥5
故答案为：4
9.A依题意，B={x2π+于答案：4
{2x+要16.C由题意知10g2k>4,所以k>2,即k>16,故选C
17.AB如图所示，(a十b十c+x)表示H
而A={x2kx+吾周一开车上班的职工人致，(b十d十
e十x)表示周二开车上班的职工人
所以AnB={x2x+年数，(c十e十f十x)表示周三开车上
班的职工人数，x表示这三天都开车
=(2x+年，2m十子），k∈乙故选A
上班的职工人数
10.B当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b=1,又b∈
(a+b+c十x=14,
{1,2,3,4》,所以b=1,不满足集合元素的互异性：当=2
则
b+d+e+x=10,
时，由(a,b)∈{(x,y)|y=x〉知，b=2,又b∈
c十e十fx=8,
{1,2,3,4},无解；当4=3时，由(a,b)E
a+8+c+d+e+f+x=20,
{(x,y)y2=x}知，b=3,又6∈{1,2,3,4}，无解：当a=
4时，由(a,b)∈{(x,y)|y2=x}知，b2=4,又b∈
得4计0
《1,2,3,4},所以b=2,所以a一b=2:综上，则a一b=2.
即b十c十e十2x=12,当b==e=0时，x取得最大值，为
故选B.
6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.故选AB.
115
