第二章 实 数
1 认识实数
学习要点
知识点1 无理数
1.概念：无限不循环小数称为无理数.
2.三种常见类型：
（1）根号型：含有根号，开方开不尽，如（以后学习）；
（2）含圆周率型：如π，；
（3）构造型：如0.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）.
知识点2 实数的概念、分类与性质
名称 定义 分类 性质
按定义分类 按性质符号分类
实数 有理数和 无理数 统称实数 实
数 相反数：a的相反数为 －a 绝对值： |a|＝ 倒数：乘积为 1 的两个实数互为倒数
知识点3 实数与数轴
1.实数与数轴上点的关系：实数 数轴上的点.
2.数轴上两数的大小比较：右边的点表示的数比左边的点表示的数 大 .
课堂达标
1.下列说法中正确的是 （D）
A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数只有有限小数和整数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
2.实数2 025的相反数 （B）
A.2 025 B.－2 025
C. D.－
3.下列各数中，是无理数的是 （D）
A.3.14 B.－2 C. D.π
4.在，0，3.14，π－3，－0.，3.121 221 222 1…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）中，无理数有 2 个.
5.把下列各数填入相应的集合里：
，0，3.14，7.131 331 333 1…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）.
整数集合：｛0， …｝；
分数集合：｛，3.14， …｝；
无理数集合：｛，7.131 331 333 1…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）， …｝；
实数集合：｛，0，3.14，7.131 331 333 1…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）， …｝.
2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根与平方根
学习要点
知识点1 算术平方根
1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫a的算术平方根，记为，读作“根号a”.
2.算术平方根的性质：
（1）一个正数a有一个算术平方根，就是；
（2）0有一个算术平方根，就是0；
（3）负数没有算术平方根.
【注意】算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根本身就是非负数，即≥0；③实际上省略了中的根指数2，因此也读作“二次根号a”.
知识点2 平方根
1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫a的平方根，也叫二次方根，记作±，读作“正、负根号a”.
2.平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数.如果a>0，那么a的平方根为±；
（2）0有一个平方根，就是0；
（3）负数没有平方根.
【注意】算术平方根与平方根的区别与联系
算术平方根 平方根
区 别 定义 若x2＝a，且x≥0，a≥0，则x是a的算术平方根 若x2＝a，且a≥0，则x是a的平方根
表示 ±
联系 存在 条件 只有非负数才有平方根和算术平方根
包含 关系 一个正数的平方根包含了它的算术平方根
课堂达标
1.36的平方根为 （D）
A.6 B.－6 C.0 D.±6
2.若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是 （C）
A.1 B.－1 C.0 D.正数
3.（－2）2的算术平方根是 （B）
A.－2 B.2 C.±2 D.0
4.＝ （C）
A.2 B.±4 C.4 D.－2
5.下列说法正确的是 （A）
A.表示25的算术平方根
B.－表示2的算术平方根
C.2的算术平方根记作±
D.2是的算术平方根
6.（－）0－＋（－2）－2－＝ （A）
A.－1 B. C.－2 D.－
7.（1）计算：－2＋＝ 8 ；
（2）的算术平方根是 .
8.如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，n＋2的算术平方根是1.
（1）求m和n的值；
（2）求m－11n的算术平方根.
解：（1）因为一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，所以2a－3＋a－9＝0，解得a＝4，所以2a－3＝5，所以m＝25，因为n＋2的算术平方根是1，所以n＋2＝1，所以n＝－1.
（2）由（1）得m＝25，n＝－1，所以m－11n＝25＋11＝36，所以m－11n的算术平方根为6.
第2课时 立方根
学习要点
知识点 立方根
概念 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫a的立方根，也叫a的三次方根
性质 （1）一个正数有一个正的立方根 （2）0的立方根是0 （3）一个负数有一个负的立方根
表示 方法 数a的立方根用符号“”来表示，读作“三次根号a”.其中，a称为被开方数，3称为根指数
课堂达标
1.的值是 （A）
A.－1 B.0 C.1 D.±1
2.下列说法正确的是 （D）
A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
3.如果a是（－3）2的平方根，那么等于 （D）
A.－3 B.－ C.±3 D.或－
4.若＝0，则x2＋x－3的算术平方根为 （A）
A.3 B.2
C.3和－3 D.2和－2
5.计算：
（1）＝ －2 ； （2）＝ 5 ；
（3）＝ 0 .
6.一个数的立方根等于它自身的数有 1，0，－1 .
7.有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为－83时，输出的y是 － .
第3课时 估算 用计算器开方
学习要点
知识点1 估算
估算的一般步骤：
（1）估算被开方数在哪两个平方数（立方数）之间；
（2）确定无理数的整数位；
（3）按要求估算，一般地，开平方估算到一位小数，开立方估算到整数.
知识点2 比较无理数的大小
1.估算法：一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较.
2.求差法：若>0，则；若<0，则；若＝0，则.
知识点3 利用计算器开方
用计算
器开方
课堂达标
1.估计－4的值应在 （A）
A.－3和－2之间 B.－2和－1之间
C.－1和0之间 D.0和1之间
2.若a<－2A.1 B.2 C.3 D.4
3.在计算器上按键16－7＝S D显示的结果是 （B）
A.3 B.－3 C.1 D.－1
4.（1）比较大小：5 > （选填“>”或“<”）；
（2）比较大小： > （选填“>”或“<”）0.5.
3 二次根式
第1课时 二次根式及其性质
学习要点
知识点1 二次根式的概念及性质
项目 内容
概念 一般地，形如（a≥0）的式子叫 二次根式 ，a叫 被开方数
性质 （1）积的算术平方根的性质：＝ （a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式算术平方根的积 （2）商的算术平方根的性质：＝ （a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
解题策略 判断一个式子是否为二次根式主要看两点：①含“”；②被开方数大于等于0
知识点2 最简二次根式
最简二次根式
课堂达标
1.下列式子没有意义的是 （A）
A. B. C. D.
2.式子有意义，则实数a的取值范围是 （C）
A.a≥－1 B.a≠2
C.a≥－1且a≠2 D.a>2
3.若是最简二次根式，则a的值可能是 （B）
A.－2 B.2 C. D.8
4.下列二次根式中，最简二次根式为 （D）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是 （A）
A.
B.＝2＋＝2
C.＝－2
D.＝4×＝2
6.实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简－|m－n|的结果是 （B）
A.n B.－n
C.2m－n D.－2m＋n
7.若实数m满足＝2－m，则m的取值范围是 m≤2 .
8.化简：
（1）＝ 3 ； （2）＝ ；
（3）＝ ； （4）＝ 1 .
第2课时 二次根式的运算
学习要点
知识点 二次根式的乘除法、加减法
1.二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数 相乘 ，根指数 不变 ，即＝ （a≥0，b≥0）.
2.二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数 相除 ，根指数 不变 ，即＝ （a≥0，b>0）.
3.二次根式的加减法：先把二次根式化成 最简二次根式 ，再把 被开方数 相同的二次根式合并.
例如：a±b＝（a±b）.
课堂达标
1.计算的结果是 （B）
A. B.4 C.3 D.3
2.下列运算正确的是 （A）
A.
B.＝－2
C.＝±5
D.＝3＋4＝7
3.计算2的结果是 （B）
A.－ B.－2 C.－4 D.－8
4.若a<0，化简2－3的结果是 （－2b＋3a） .
5.计算：
（1）；
（2）.
解：（1）原式＝＋3－2＝2.
（2）原式＝ ＝.
第3课时 二次根式的混合运算
学习要点
知识点 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ，有括号的先算 括号里面的 .
课堂达标
1.下列计算正确的是 （C）
A.＝4 B.
C. D.
2.化简＋2）的结果是 （A）
A.－2 B.－2 C.2 D.4－2
3.如果a＝），b＝），那么a2－ab＋b2的值为 （A）
A. B. C. D.－1
4.计算：
（1）；
原式＝3＝3－2.
（2）×（－）－＋|－23|；
原式＝－5－7＋8＝1－5.
（3）（）（）＋（3－）2.
原式＝6－2＋9－6＋5＝18－6.第二章 实 数
1 认识实数
学习要点
知识点1 无理数
1.概念：无限不循环小数称为无理数.
2.三种常见类型：
（1）根号型：含有根号，开方开不尽，如（以后学习）；
（2）含圆周率型：如π，；
（3）构造型：如0.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）.
知识点2 实数的概念、分类与性质
名称 定义 分类 性质
按定义分类 按性质符号分类
实数 有理数和 无理数 统称实数 实
数 相反数：a的相反数为 －a 绝对值： |a|＝ 倒数：乘积为 1 的两个实数互为倒数
知识点3 实数与数轴
1.实数与数轴上点的关系：实数 数轴上的点.
2.数轴上两数的大小比较：右边的点表示的数比左边的点表示的数 大 .
课堂达标
1.下列说法中正确的是 （ ）
A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数只有有限小数和整数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
2.实数2 025的相反数 （ ）
A.2 025 B.－2 025
C. D.－
3.下列各数中，是无理数的是 （ ）
A.3.14 B.－2 C. D.π
4.在，0，3.14，π－3，－0.，3.121 221 222 1…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）中，无理数有 个.
5.把下列各数填入相应的集合里：
，0，3.14，7.131 331 333 1…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）.
整数集合：｛ …｝；
分数集合：｛ …｝；
无理数集合：｛ …｝；
实数集合：｛ …｝.
2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根与平方根
学习要点
知识点1 算术平方根
1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫a的算术平方根，记为，读作“根号a”.
2.算术平方根的性质：
（1）一个正数a有一个算术平方根，就是；
（2）0有一个算术平方根，就是0；
（3）负数没有算术平方根.
【注意】算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根本身就是非负数，即≥0；③实际上省略了中的根指数2，因此也读作“二次根号a”.
知识点2 平方根
1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫a的平方根，也叫二次方根，记作±，读作“正、负根号a”.
2.平方根的性质：
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数.如果a>0，那么a的平方根为±；
（2）0有一个平方根，就是0；
（3）负数没有平方根.
【注意】算术平方根与平方根的区别与联系
算术平方根 平方根
区 别 定义 若x2＝a，且x≥0，a≥0，则x是a的算术平方根 若x2＝a，且a≥0，则x是a的平方根
表示 ±
联系 存在 条件 只有非负数才有平方根和算术平方根
包含 关系 一个正数的平方根包含了它的算术平方根
课堂达标
1.36的平方根为 （ ）
A.6 B.－6 C.0 D.±6
2.若一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是 （ ）
A.1 B.－1 C.0 D.正数
3.（－2）2的算术平方根是 （ ）
A.－2 B.2 C.±2 D.0
4.＝ （ ）
A.2 B.±4 C.4 D.－2
5.下列说法正确的是 （ ）
A.表示25的算术平方根
B.－表示2的算术平方根
C.2的算术平方根记作±
D.2是的算术平方根
6.（－）0－＋（－2）－2－＝ （ ）
A.－1 B. C.－2 D.－
7.（1）计算：－2＋＝ ；
（2）的算术平方根是 .
8.如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，n＋2的算术平方根是1.
（1）求m和n的值；
（2）求m－11n的算术平方根.
第2课时 立方根
学习要点
知识点 立方根
概念 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫a的立方根，也叫a的三次方根
性质 （1）一个正数有一个正的立方根 （2）0的立方根是0 （3）一个负数有一个负的立方根
表示 方法 数a的立方根用符号“”来表示，读作“三次根号a”.其中，a称为被开方数，3称为根指数
课堂达标
1.的值是 （ ）
A.－1 B.0 C.1 D.±1
2.下列说法正确的是 （ ）
A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
3.如果a是（－3）2的平方根，那么等于 （ ）
A.－3 B.－ C.±3 D.或－
4.若＝0，则x2＋x－3的算术平方根为 （ ）
A.3 B.2
C.3和－3 D.2和－2
5.计算：
（1）＝ ； （2）＝ ；
（3）＝ .
6.一个数的立方根等于它自身的数有 .
7.有一个数值转换器，原理如图，当输入的x为－83时，输出的y是 .
第3课时 估算 用计算器开方
学习要点
知识点1 估算
估算的一般步骤：
（1）估算被开方数在哪两个平方数（立方数）之间；
（2）确定无理数的整数位；
（3）按要求估算，一般地，开平方估算到一位小数，开立方估算到整数.
知识点2 比较无理数的大小
1.估算法：一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较.
2.求差法：若>0，则；若<0，则；若＝0，则.
知识点3 利用计算器开方
用计算
器开方
课堂达标
1.估计－4的值应在 （ ）
A.－3和－2之间 B.－2和－1之间
C.－1和0之间 D.0和1之间
2.若a<－2A.1 B.2 C.3 D.4
3.在计算器上按键16－7＝S D显示的结果是 （ ）
A.3 B.－3 C.1 D.－1
4.（1）比较大小：5 （选填“>”或“<”）；
（2）比较大小： （选填“>”或“<”）0.5.
3 二次根式
第1课时 二次根式及其性质
学习要点
知识点1 二次根式的概念及性质
项目 内容
概念 一般地，形如（a≥0）的式子叫 二次根式 ，a叫 被开方数
性质 （1）积的算术平方根的性质：＝ （a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式算术平方根的积 （2）商的算术平方根的性质：＝ （a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
解题策略 判断一个式子是否为二次根式主要看两点：①含“”；②被开方数大于等于0
知识点2 最简二次根式
最简二次根式
课堂达标
1.下列式子没有意义的是 （ ）
A. B. C. D.
2.式子有意义，则实数a的取值范围是 （ ）
A.a≥－1 B.a≠2
C.a≥－1且a≠2 D.a>2
3.若是最简二次根式，则a的值可能是 （ ）
A.－2 B.2 C. D.8
4.下列二次根式中，最简二次根式为 （ ）
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是 （ ）
A.
B.＝2＋＝2
C.＝－2
D.＝4×＝2
6.实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简－|m－n|的结果是 （ ）
A.n B.－n
C.2m－n D.－2m＋n
7.若实数m满足＝2－m，则m的取值范围是 .
8.化简：
（1）＝ ； （2）＝ ；
（3）＝ ； （4）＝ .
第2课时 二次根式的运算
学习要点
知识点 二次根式的乘除法、加减法
1.二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数 相乘 ，根指数 不变 ，即＝ （a≥0，b≥0）.
2.二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数 相除 ，根指数 不变 ，即＝ （a≥0，b>0）.
3.二次根式的加减法：先把二次根式化成 最简二次根式 ，再把 被开方数 相同的二次根式合并.
例如：a±b＝（a±b）.
课堂达标
1.计算的结果是 （ ）
A. B.4 C.3 D.3
2.下列运算正确的是 （ ）
A.
B.＝－2
C.＝±5
D.＝3＋4＝7
3.计算2的结果是 （ ）
A.－ B.－2 C.－4 D.－8
4.若a<0，化简2－3的结果是 .
5.计算：
（1）；
（2）.
第3课时 二次根式的混合运算
学习要点
知识点 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ，有括号的先算 括号里面的 .
课堂达标
1.下列计算正确的是 （ ）
A.＝4 B.
C. D.
2.化简＋2）的结果是 （ ）
A.－2 B.－2 C.2 D.4－2
3.如果a＝），b＝），那么a2－ab＋b2的值为 （ ）
A. B. C. D.－1
4.计算：
（1）；
（2）×（－）－＋|－23|；
（3）（）（）＋（3－）2.
