第七章 证 明
1 为什么要证明
2 认识证明
第1课时 定义与命题
学习要点
知识点1 推理论证的必要性
1.推理论证的意义：仅凭实验、观察、归纳得到的数学结论不一定正确，因此要判断一个结论是否正确，必须进行 有根有据 的证明.
2.检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证. 推理论证 是最可靠、最科学的方法.
知识点2 定义的概念
为了进行有理有据的证明必须对某些名称和术语形成共同的认识，为此就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
知识点3 命题与反例
1.命题
2.反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为 反例 .
课堂达标
1.下列结论，你能肯定的是 （B）
A.今天天晴，明天必然还是晴天
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D.两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
2.下列命题是真命题的为 （C）
A.若a>b，bc
B.周长相等的两个三角形全等
C.若a＝b，则a2＝b2
D.若x2>0，则x>0
3.下列语句中，属于定义的是 （C）
A.直线AB和CD垂直吗
B.过线段AB的中点C画AB的垂线
C.两点之间线段的长度，叫这两点之间的距离
D.两点确定一条直线
4.对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是 （A）
A.∠1＝∠2＝45°
B.∠1＝40°，∠2＝50°
C.∠1＝50°，∠2＝50°
D.∠1＝40°，∠2＝40°
5.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，下列四种说法中正确的是 （B）
A.若甲对，则乙对 B.若乙对，则甲对
C.若乙错，则甲错 D.若甲错，则乙对
6.“若a和b都是无理数，则a＋b一定是无理数”是错误的，例如：a，b分别等于 － 和 （答案不唯一） ，结论不成立.
7.把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是 如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等 .
第2课时 定理与证明
学习要点
知识点 公理、定理及证明
1.定义：公认的真命题称为公理.经过证明的真命题叫定理.演绎推理的过程称为证明.
2.对于公理，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据；对于定理，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为判断其他命题真假的依据.
3.证明几何命题的一般步骤：（1）写出已知、求证；（2）根据题意，画出图形；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程；（4）检验证明过程是否正确且完善.
课堂达标
1.下列叙述错误的是 （B）
A.所有的命题都有条件和结论
B.所有的命题都是定理
C.所有的定理都是命题
D.所有的公理都是真命题
2.下列关于基本事实和定理的联系，说法正确的是 （C）
A.基本事实和定理都不一定是真命题
B.基本事实就是定理，定理也是基本事实
C.基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D.基本事实和定理的正确性均不需要证明
3.如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是 （C）
A.SAS B.SSS
C.ASA D.无法确定
3 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
学习要点
知识点 平行线的判定
1.公理：同位角相等，两直线平行.
符号表示：如图1，∵∠1＝∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
图1 图2 图3
2.定理：
（1）同旁内角互补，两直线平行.
符号表示：如图2，∵∠1与∠2互补（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
（2）内错角相等，两直线平行.
符号表示：如图3，∵∠1＝∠2（已知），
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
课堂达标
1.如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则需具备的另一个条件是 （C）
A.∠2＝70° B.∠2＝100°
C.∠2＝110° D.∠3＝110°
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是 （B）
A.∠2＝∠5 B.∠1＝∠3
C.∠5＝∠4 D.∠1＋∠5＝180°
3.（1）如图，如果∠1＝∠B，那么 AB ∥ CD ，根据是 同位角相等，两直线平行 ；
（2）如图，要使BE∥DF，必须∠1＝ ∠D ，根据是 同位角相等，两直线平行 .
第2课时 平行线的性质
学习要点
知识点 平行线的性质与判定
项目 内容 基本图形
性质定理1 两直线平行，同位角 相等 .如图，若l1∥l2，则∠1＝∠2
性质定理2 两直线平行，内错角 相等 .如图，若l1∥l2，则∠2＝∠3
性质定理3 两直线平行，同旁内角 互补 .如图，若l1∥l2，则∠3＋∠4＝180°
性质定理4 平行于同一条直线的两条直线平行.如图，若l1∥l2，l1∥l3，则l2∥l3
解题策略 若图形中有平行线和折线或拐角时，常过折点或拐点处作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，利用角之间的关系求解.如图，若l1∥l2，P为拐点，可过点P作l3∥l1，则l3∥l1∥l2，再利用角之间的关系求解
课堂达标
1.如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是 （C）
A.122° B.85° C.58° D.32°
第1题图 第3题图
2.如果∠1和∠2的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么∠1和∠2的数量关系是 （C）
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.互补且相等
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OT⊥AB于点O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝40°，则∠DOT＝ （A）
A.50° B.45° C.60° D.65°
4.如图，AB∥CD，点E，F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为 （C）
A.40° B.50° C.60° D.70°
第4题图 第5题图
5.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝52°，则∠BEG等于 64° .
6.如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：AC∥DF.
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠2＝∠3（等量代换），∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）. 又∵∠C＝∠D（已知），∴∠D＝∠ABD（等量代换），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）.第七章 证 明
1 为什么要证明
2 认识证明
第1课时 定义与命题
学习要点
知识点1 推理论证的必要性
1.推理论证的意义：仅凭实验、观察、归纳得到的数学结论不一定正确，因此要判断一个结论是否正确，必须进行 有根有据 的证明.
2.检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证. 推理论证 是最可靠、最科学的方法.
知识点2 定义的概念
为了进行有理有据的证明必须对某些名称和术语形成共同的认识，为此就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
知识点3 命题与反例
1.命题
2.反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为 反例 .
课堂达标
1.下列结论，你能肯定的是 （ ）
A.今天天晴，明天必然还是晴天
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D.两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
2.下列命题是真命题的为 （ ）
A.若a>b，bc
B.周长相等的两个三角形全等
C.若a＝b，则a2＝b2
D.若x2>0，则x>0
3.下列语句中，属于定义的是 （ ）
A.直线AB和CD垂直吗
B.过线段AB的中点C画AB的垂线
C.两点之间线段的长度，叫这两点之间的距离
D.两点确定一条直线
4.对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是 （ ）
A.∠1＝∠2＝45°
B.∠1＝40°，∠2＝50°
C.∠1＝50°，∠2＝50°
D.∠1＝40°，∠2＝40°
5.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，下列四种说法中正确的是 （ ）
A.若甲对，则乙对 B.若乙对，则甲对
C.若乙错，则甲错 D.若甲错，则乙对
6.“若a和b都是无理数，则a＋b一定是无理数”是错误的，例如：a，b分别等于 ，结论不成立.
7.把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是 .
第2课时 定理与证明
学习要点
知识点 公理、定理及证明
1.定义：公认的真命题称为公理.经过证明的真命题叫定理.演绎推理的过程称为证明.
2.对于公理，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据；对于定理，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为判断其他命题真假的依据.
3.证明几何命题的一般步骤：（1）写出已知、求证；（2）根据题意，画出图形；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程；（4）检验证明过程是否正确且完善.
课堂达标
1.下列叙述错误的是 （ ）
A.所有的命题都有条件和结论
B.所有的命题都是定理
C.所有的定理都是命题
D.所有的公理都是真命题
2.下列关于基本事实和定理的联系，说法正确的是 （ ）
A.基本事实和定理都不一定是真命题
B.基本事实就是定理，定理也是基本事实
C.基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D.基本事实和定理的正确性均不需要证明
3.如图，△ABC的一角被墨水污了，但小明很快就画出跟原来一样的图形，他所用定理是 （ ）
A.SAS B.SSS
C.ASA D.无法确定
3 平行线的证明
第1课时 平行线的判定
学习要点
知识点 平行线的判定
1.公理：同位角相等，两直线平行.
符号表示：如图1，∵∠1＝∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
图1 图2 图3
2.定理：
（1）同旁内角互补，两直线平行.
符号表示：如图2，∵∠1与∠2互补（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
（2）内错角相等，两直线平行.
符号表示：如图3，∵∠1＝∠2（已知），
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
课堂达标
1.如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则需具备的另一个条件是 （ ）
A.∠2＝70° B.∠2＝100°
C.∠2＝110° D.∠3＝110°
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是 （ ）
A.∠2＝∠5 B.∠1＝∠3
C.∠5＝∠4 D.∠1＋∠5＝180°
3.（1）如图，如果∠1＝∠B，那么 ，根据是 ；
（2）如图，要使BE∥DF，必须∠1＝ ，根据是 .
第2课时 平行线的性质
学习要点
知识点 平行线的性质与判定
项目 内容 基本图形
性质定理1 两直线平行，同位角 相等 .如图，若l1∥l2，则∠1＝∠2
性质定理2 两直线平行，内错角 相等 .如图，若l1∥l2，则∠2＝∠3
性质定理3 两直线平行，同旁内角 互补 .如图，若l1∥l2，则∠3＋∠4＝180°
性质定理4 平行于同一条直线的两条直线平行.如图，若l1∥l2，l1∥l3，则l2∥l3
解题策略 若图形中有平行线和折线或拐角时，常过折点或拐点处作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，利用角之间的关系求解.如图，若l1∥l2，P为拐点，可过点P作l3∥l1，则l3∥l1∥l2，再利用角之间的关系求解
课堂达标
1.如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是 （ ）
A.122° B.85° C.58° D.32°
第1题图 第3题图
2.如果∠1和∠2的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么∠1和∠2的数量关系是 （ ）
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.互补且相等
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OT⊥AB于点O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝40°，则∠DOT＝ （ ）
A.50° B.45° C.60° D.65°
4.如图，AB∥CD，点E，F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为 （ ）
A.40° B.50° C.60° D.70°
第4题图 第5题图
5.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝52°，则∠BEG等于 .
6.如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：AC∥DF.
