第四章 一次函数
1 函 数
学习要点
知识点 函数
1.定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有 唯一 的值与它 对应 ，那么我们称y是x的 函数 ，其中x是 自变量 ，y是 因变量 .
2.表示函数的方法：列表法，图象法， 关系式法 .
3.函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的 函数值 .
课堂达标
1.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是 （C）
①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列各图能表示y是x的函数的是 （B）
A B
C D
3.在下列有序实数对中，不是函数y＝－2x＋1中自变量x与函数y的对应值的是 （C）
A.（0，1） B.（1，－1）
C.（1，0） D.（－1，3）
4.已知y＝5x－6，当x＝0时，y＝ －6 ；当x＝时，y＝ 0 .
5.已知函数y＝，当x＝1时，y的值是 2 .
2 认识一次函数
学习要点
知识点 一次函数和正比例函数的概念
名称 概念
一次 函数 一般地，形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫一次函数
正比例 函数 形如y＝kx（k≠0）的函数叫正比例函数
牢记 （1）当b＝0时，y＝kx＋b即为y＝kx（k≠0），所以正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数 （2）自变量x的指数是1，且比例系数k≠0，常数项b可以是任意实数
课堂达标
1.下列函数中，不是一次函数的是 （D）
A.y＝－ B.S＝3x＋4
C.y＝x＋22 D.y＝－
2.若函数y＝（m－1）x＋m2－1是正比例函数，则m的值为 （A）
A.m＝－1 B.m＝1
C.m＝±1 D.m是任意数
3.在函数y＝（m－2）x＋（m2－4）中，当m ≠2 时，y是x的一次函数；当m ＝－2 时，y是x的正比例函数.
4.下面的表格列出了一个实验的部分统计数据，表示将皮球从高处落下时，下降高度y与弹跳高度x的关系，能表示这种关系的式子是 y＝2x .
x 25 40 50 75 …
y 50 80 100 150 …
3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
学习要点
知识点 正比例函数的图象和性质
函数类型 正比例函数y＝kx（k≠0）
图 象 画法 根据两点确定一条直线，画y＝kx（k≠0）的图象时，一般选（0，0）和（1，k）两点比较简便
大致 图象 k>0 k<0
图象自左向右是 上升 的直线， 经过第 一、三 象限 图象自左向右是 下降 的直线， 经过第 二、四 象限
|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）
性质 y随x的增大而 增大 y随x的增大而 减小
课堂达标
1.若正比例函数的图象经过点（－1，2），则这个图象必经过点 （D）
A.（1，2） B.（－1，－2）
C.（2，－1） D.（1，－2）
2.正比例函数y＝2x的图象经过 （A）
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、二、三象限 D.第二、三、四象限
3.在正比例函数y＝－3mx中，函数y的值随着x值的增大而增大，则点P（m，－5）在 （C）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y＝－x图象上的两点，则下列判断正确的是 （C）
A.y1>y2
B.y1
C.当x1y2
D.当x15.已知正比例函数y＝－x的图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），若x1≤x2，则 （D）
A.y1C.y1>y2 D.y1≥y2
6.已知正比例函数y＝kx，当x每增加2时，y减少3，则k的值为 （C）
A.－ B. C.－ D.
7.已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），如果y的值随x的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 二、四 象限.
8.已知函数y＝（2m－9）x|m|－5是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值为 －6 .
9.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx.将a，b，c从小到大排列并用“<”连接： a第2课时 一次函数的图象和性质
学习要点
知识点1 一次函数的图象和性质
一次函数y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数）
图象 画法 根据两点确定一条直线，画y＝kx＋b（k≠0）的图象时，一般选（0，b）和（－，0）两点比较简单
大致 图象 k>0 k<0
b>0 b<0 b>0 b<0
图象自左向右是 上升 的直线 图象自左向右是 下降 的直线
经过第 一、二、三 象限 经过第 一、三、四 象限 经过第 一、二、四 象限 经过第 二、三、四 象限
|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）
性质 y随x的增大而 增大 y随x的增大而 减小
知识点2 一次函数图象的平移
1.上、下平移：直线y＝kx＋b向上平移h（h>0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋h；直线y＝kx＋b向下平移h（h>0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－h.
2.左、右平移：直线y＝kx＋b向左平移m（m>0）个单位长度得到直线y＝k（x＋m）＋b；直线y＝kx＋b向右平移m（m>0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b.
课堂达标
1.一次函数y＝－3x＋2的图象不经过 （C）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋1的图象经过P1（－1，y1），P2（2，y2）两点，则 （A）
A.y1>y2 B.y13.将一次函数y＝－2x＋3的图象沿x轴向左平移4个单位长度后，得到的新的图象对应的函数关系式为 （A）
A.y＝－2x－5 B.y＝－2x＋11
C.y＝－2x＋7 D.y＝－2x－1
4.已知正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝x－k的图象是 （B）
A B
C D
5.请写出一个经过点（0，5），且y随x的增大而增大的一次函数表达式： y＝x＋5（答案不唯一） .
6.在平面直角坐标系中，过原点O的直线OA与x轴成45°角，将直线OA向下平移2个单位长度后得到的直线所对应的函数表达式为 y＝x－2或y＝－x－2 .
4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
学习要点
知识点 用待定系数法求一次函数的表达式
待定系数法的概念 求一次函数表达式的一般步骤 对应举例
先设出函数的表达式，再根据已知条件（自变量与函数的对应值）确定表达式中的 待定系数 ，从而具体写出这个式子的方法叫待定系数法 第一步：设出含有待定系数的函数表达式 已知一次函数图象上两点坐标分别是（1，0），（0，1），求此一次函数的表达式 解：设一次函数表达式为y＝ kx＋b（k≠0）
第二步：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设表达式，得到关于待定系数的方程 代入已知点坐标，得k＋b＝0，b＝1
第三步：解方程，求出待定系数 解得k＝ －1 ，b＝ 1
第四步：将所求出的待定系数的值代回所设表达式，即得所求函数的表达式 故一次函数的表达式为y＝ －x＋1
课堂达标
1.一次函数y＝kx＋b的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数表达式是 （C）
A.y＝2x＋4
B.y＝2x－4
C.y＝－2x＋4
D.y＝－2x－4
2.根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为 （B）
x －2 0 2
y 3 1 p
A.1 B.－1 C.3 D.－3
3.已知直线y＝kx－4（k<0）与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则此直线的表达式为 （B）
A.y＝－x－4 B.y＝－2x－4
C.y＝－3x＋4 D.y＝－3x－4
4.已知y与x－2成正比例，当x＝1时，y＝－2.则当x＝3时，y的值为 （A）
A.2 B.－2 C.3 D.－3
5.把直线y＝－3x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m，n），且3m＋n＝10，则直线AB的表达式为 （D）
A.y＝－3x＋5 B.y＝－x＋10
C.y＝－3x－5 D.y＝－3x＋10
6.若y＋1与x－1成正比例，且当x＝4时，y＝5，则y与x之间的函数表达式为 y＝2x－3 .
7.已知函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时，y＝1，则此函数的表达式为 y＝x－2 .
8.已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3.
（1）求一次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位长度，求平移后的图象与x轴交点的坐标.
解：（1）由已知得，－3＝2k－4，解得k＝，所以一次函数的表达式为y＝x－4.
（2）将直线y＝x－4向上平移6个单位长度后得到的直线是y＝x＋2.因为当y＝0时，x＝－4，所以平移后的图象与x轴交点的坐标是（－4，0）.
第2课时 单个一次函数图象的应用
学习要点
知识点1 一次函数图象的应用
利用一次函数图象解题的一般步骤：（1）分析题目中的已知条件，找出题目中的相关关系；（2）确定函数的类型，设出相应的表达式；（3）将相关条件代入表达式，求出待定系数；（4）根据题意写出函数表达式并画出图象；（5）根据函数图象的性质和自变量的值求解问题.
知识点2 一次函数与一元一次方程
1.从“数”的方面看：当一次函数y＝kx＋b（k≠0）的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为一元一次方程kx＋b＝0的解.
2.从“形”的方面看：一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与 x 轴的交点横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解.
课堂达标
1.函数y＝－kx＋1（k≠0）的图象如图所示，则方程kx＝1的解是 （A）
A.x＝－2
B.x＝－1
C.x＝2
D.x＝1
2.如图1，在同一直线上，甲自A点开始追赶匀速前进的乙，且图2表示两人之间的距离与所经时间的关系.若乙的速度为每秒1.5 m，则经过40 s，甲自A点移动 （C）
图1 图2
A.60 m B.61.8 m C.67.2 m D.69 m
3.某兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度y（cm）与观察时间x（天）的函数关系图象如图所示.照此计算，该植物的高度超过12 cm至少需要经过 （D）
A.16天
B.32天
C.40天
D.56天
第3课时 两个一次函数图象的应用
学习要点
知识点 两个一次函数图象的应用
内容 基本图形
已知一次函数y1，y2的图象如图所示，它们交点的横坐标为a 当0a时，y1>y2 当x＝a时，y1＝y2
【注意】观察图象时，要“三看”
一看变量，即要看清变量表达的是什么意义（包括单位）；二看两轴，即要看清x轴所要表达的意义（包括单位），y轴所要表达的意义（包括单位）；三看交点，即要看清图象与两轴的交点或两图象的交点所要表达的意义.
课堂达标
1.电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示.当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为 （C）
A.10元 B.15元 C.20元 D.30元
第1题图 第2题图
2.一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向乙地.已知甲、乙两地相距150 km，如图，OE，CD分别表示货车、轿车离甲地的距离s（km）与货车出发时间t（h）之间的对应关系.根据图象信息，下列说法不正确的是 （D）
A.轿车的速度为100 km/h
B.轿车出发1 h后，两车相距10 km
C.轿车比货车早到乙地0.5 h
D.轿车出发1.25 h后追上货车第四章 一次函数
1 函 数
学习要点
知识点 函数
1.定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有 唯一 的值与它 对应 ，那么我们称y是x的 函数 ，其中x是 自变量 ，y是 因变量 .
2.表示函数的方法：列表法，图象法， 关系式法 .
3.函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的 函数值 .
课堂达标
1.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是 （ ）
①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列各图能表示y是x的函数的是 （ ）
A B
C D
3.在下列有序实数对中，不是函数y＝－2x＋1中自变量x与函数y的对应值的是 （ ）
A.（0，1） B.（1，－1）
C.（1，0） D.（－1，3）
4.已知y＝5x－6，当x＝0时，y＝ ；当x＝时，y＝ .
5.已知函数y＝，当x＝1时，y的值是 .
2 认识一次函数
学习要点
知识点 一次函数和正比例函数的概念
名称 概念
一次 函数 一般地，形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫一次函数
正比例 函数 形如y＝kx（k≠0）的函数叫正比例函数
牢记 （1）当b＝0时，y＝kx＋b即为y＝kx（k≠0），所以正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数 （2）自变量x的指数是1，且比例系数k≠0，常数项b可以是任意实数
课堂达标
1.下列函数中，不是一次函数的是 （ ）
A.y＝－ B.S＝3x＋4
C.y＝x＋22 D.y＝－
2.若函数y＝（m－1）x＋m2－1是正比例函数，则m的值为 （ ）
A.m＝－1 B.m＝1
C.m＝±1 D.m是任意数
3.在函数y＝（m－2）x＋（m2－4）中，当m 时，y是x的一次函数；当m 时，y是x的正比例函数.
4.下面的表格列出了一个实验的部分统计数据，表示将皮球从高处落下时，下降高度y与弹跳高度x的关系，能表示这种关系的式子是 .
x 25 40 50 75 …
y 50 80 100 150 …
3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
学习要点
知识点 正比例函数的图象和性质
函数类型 正比例函数y＝kx（k≠0）
图 象 画法 根据两点确定一条直线，画y＝kx（k≠0）的图象时，一般选（0，0）和（1，k）两点比较简便
大致 图象 k>0 k<0
图象自左向右是 上升 的直线， 经过第 一、三 象限 图象自左向右是 下降 的直线， 经过第 二、四 象限
|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）
性质 y随x的增大而 增大 y随x的增大而 减小
课堂达标
1.若正比例函数的图象经过点（－1，2），则这个图象必经过点 （ ）
A.（1，2） B.（－1，－2）
C.（2，－1） D.（1，－2）
2.正比例函数y＝2x的图象经过 （ ）
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、二、三象限 D.第二、三、四象限
3.在正比例函数y＝－3mx中，函数y的值随着x值的增大而增大，则点P（m，－5）在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y＝－x图象上的两点，则下列判断正确的是 （ ）
A.y1>y2
B.y1C.当x1y2
D.当x15.已知正比例函数y＝－x的图象上的两点（x1，y1），（x2，y2），若x1≤x2，则 （ ）
A.y1C.y1>y2 D.y1≥y2
6.已知正比例函数y＝kx，当x每增加2时，y减少3，则k的值为 （ ）
A.－ B. C.－ D.
7.已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），如果y的值随x的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 象限.
8.已知函数y＝（2m－9）x|m|－5是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值为 .
9.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx.将a，b，c从小到大排列并用“<”连接： .
第2课时 一次函数的图象和性质
学习要点
知识点1 一次函数的图象和性质
一次函数y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数）
图象 画法 根据两点确定一条直线，画y＝kx＋b（k≠0）的图象时，一般选（0，b）和（－，0）两点比较简单
大致 图象 k>0 k<0
b>0 b<0 b>0 b<0
图象自左向右是 上升 的直线 图象自左向右是 下降 的直线
经过第 一、二、三 象限 经过第 一、三、四 象限 经过第 一、二、四 象限 经过第 二、三、四 象限
|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）
性质 y随x的增大而 增大 y随x的增大而 减小
知识点2 一次函数图象的平移
1.上、下平移：直线y＝kx＋b向上平移h（h>0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋h；直线y＝kx＋b向下平移h（h>0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－h.
2.左、右平移：直线y＝kx＋b向左平移m（m>0）个单位长度得到直线y＝k（x＋m）＋b；直线y＝kx＋b向右平移m（m>0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b.
课堂达标
1.一次函数y＝－3x＋2的图象不经过 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋1的图象经过P1（－1，y1），P2（2，y2）两点，则 （ ）
A.y1>y2 B.y13.将一次函数y＝－2x＋3的图象沿x轴向左平移4个单位长度后，得到的新的图象对应的函数关系式为 （ ）
A.y＝－2x－5 B.y＝－2x＋11
C.y＝－2x＋7 D.y＝－2x－1
4.已知正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝x－k的图象是 （ ）
A B
C D
5.请写出一个经过点（0，5），且y随x的增大而增大的一次函数表达式： .
6.在平面直角坐标系中，过原点O的直线OA与x轴成45°角，将直线OA向下平移2个单位长度后得到的直线所对应的函数表达式为 .
4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
学习要点
知识点 用待定系数法求一次函数的表达式
待定系数法的概念 求一次函数表达式的一般步骤 对应举例
先设出函数的表达式，再根据已知条件（自变量与函数的对应值）确定表达式中的 待定系数 ，从而具体写出这个式子的方法叫待定系数法 第一步：设出含有待定系数的函数表达式 已知一次函数图象上两点坐标分别是（1，0），（0，1），求此一次函数的表达式 解：设一次函数表达式为y＝ kx＋b（k≠0）
第二步：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设表达式，得到关于待定系数的方程 代入已知点坐标，得k＋b＝0，b＝1
第三步：解方程，求出待定系数 解得k＝ －1 ，b＝ 1
第四步：将所求出的待定系数的值代回所设表达式，即得所求函数的表达式 故一次函数的表达式为y＝ －x＋1
课堂达标
1.一次函数y＝kx＋b的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数表达式是 （ ）
A.y＝2x＋4
B.y＝2x－4
C.y＝－2x＋4
D.y＝－2x－4
2.根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为 （ ）
x －2 0 2
y 3 1 p
A.1 B.－1 C.3 D.－3
3.已知直线y＝kx－4（k<0）与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则此直线的表达式为 （ ）
A.y＝－x－4 B.y＝－2x－4
C.y＝－3x＋4 D.y＝－3x－4
4.已知y与x－2成正比例，当x＝1时，y＝－2.则当x＝3时，y的值为 （ ）
A.2 B.－2 C.3 D.－3
5.把直线y＝－3x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m，n），且3m＋n＝10，则直线AB的表达式为 （ ）
A.y＝－3x＋5 B.y＝－x＋10
C.y＝－3x－5 D.y＝－3x＋10
6.若y＋1与x－1成正比例，且当x＝4时，y＝5，则y与x之间的函数表达式为 .
7.已知函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时，y＝1，则此函数的表达式为 .
8.已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3.
（1）求一次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位长度，求平移后的图象与x轴交点的坐标.
第2课时 单个一次函数图象的应用
学习要点
知识点1 一次函数图象的应用
利用一次函数图象解题的一般步骤：（1）分析题目中的已知条件，找出题目中的相关关系；（2）确定函数的类型，设出相应的表达式；（3）将相关条件代入表达式，求出待定系数；（4）根据题意写出函数表达式并画出图象；（5）根据函数图象的性质和自变量的值求解问题.
知识点2 一次函数与一元一次方程
1.从“数”的方面看：当一次函数y＝kx＋b（k≠0）的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为一元一次方程kx＋b＝0的解.
2.从“形”的方面看：一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与 x 轴的交点横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解.
课堂达标
1.函数y＝－kx＋1（k≠0）的图象如图所示，则方程kx＝1的解是 （ ）
A.x＝－2
B.x＝－1
C.x＝2
D.x＝1
2.如图1，在同一直线上，甲自A点开始追赶匀速前进的乙，且图2表示两人之间的距离与所经时间的关系.若乙的速度为每秒1.5 m，则经过40 s，甲自A点移动 （ ）
图1 图2
A.60 m B.61.8 m C.67.2 m D.69 m
3.某兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度y（cm）与观察时间x（天）的函数关系图象如图所示.照此计算，该植物的高度超过12 cm至少需要经过 （ ）
A.16天
B.32天
C.40天
D.56天
第3课时 两个一次函数图象的应用
学习要点
知识点 两个一次函数图象的应用
内容 基本图形
已知一次函数y1，y2的图象如图所示，它们交点的横坐标为a 当0a时，y1>y2 当x＝a时，y1＝y2
【注意】观察图象时，要“三看”
一看变量，即要看清变量表达的是什么意义（包括单位）；二看两轴，即要看清x轴所要表达的意义（包括单位），y轴所要表达的意义（包括单位）；三看交点，即要看清图象与两轴的交点或两图象的交点所要表达的意义.
课堂达标
1.电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示.当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为 （ ）
A.10元 B.15元 C.20元 D.30元
第1题图 第2题图
2.一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向乙地.已知甲、乙两地相距150 km，如图，OE，CD分别表示货车、轿车离甲地的距离s（km）与货车出发时间t（h）之间的对应关系.根据图象信息，下列说法不正确的是 （ ）
A.轿车的速度为100 km/h
B.轿车出发1 h后，两车相距10 km
C.轿车比货车早到乙地0.5 h
D.轿车出发1.25 h后追上货车