安徽省县中联盟2026届高三上学期8月开学学情检测试题 数学（含答案）

高三学情检测
数学试题
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点为圆上两点，，点为线段的中点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 若正四棱台上、下底面的面积分别为1，16，高为2，则此四棱台的体积与表面积的数值之比为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，，且都为锐角，则（ ）
A. B. C. D. 1
8. 已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. 0 C. 1014 D. 2028
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数（，）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A
B. 图象的一个对称中心为
C. 是偶函数
D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象
10. 在光纤通信中，信息通过由0和1组成的有序数组（称为字）表示，字长（字的位数）为．定义为两个字长相同的字和在相同位置上不同字符的个数．例如，时，．则下列选项正确的有（ ）
A. 若字长，则存在两个字和使得
B. 若字长，则对于任意字，满足的字共有8个
C. 若，则满足的字中，有且仅有3个连续的1的的概率为
D. 若，其中，则
11. 已知曲线．下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于点对称
B. 曲线与直线有两个交点
C. 曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
D. 曲线上任意两点，当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中x的系数为______.
13. 在中，角所对的边分别为，若为的内心，则的面积为_____．
14. 若函数的最小值为1，则实数a的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与x轴平行，求实数a的值；
（2）若，求的单调区间.
16. 广州国际龙舟邀请赛是一项具有岭南区域特色的文化体育活动，为广州建设“全国一流、国际瞩目的体育强市”发挥着越来越大的积极推进作用，其秉承“以水为桥、以舟会友”的宗旨内涵和外延的意义将更加深远．每年五月，龙舟风弥漫珠江，吹遍广州各个角落．组织推广龙舟赛，目的是要弘扬民俗文化，宣传“精诚合作、奋勇向前”的龙舟精神．某调查机构为调查广州市民是否关注龙舟比赛情况，随机抽取男女市民共200名进行调查，得到如下统计结果：
关注 不关注 合计
男 100
女 30 80
合计 200
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断广州市民是否关注龙舟比赛与性别有无关联；
（2）将样本中关注龙舟比赛的市民的频率作为广州市民关注比赛的概率，从广州市民中随机抽取3人，记为这3人中关注龙舟比赛的人数，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O.
（i）求与平面所成角的正弦值；
（ii）设，N为PC的中点且H，A，O，N四点共面，求实数的值.
18. 已知双曲线的离心率为2，点在上．
（1）求的渐近线方程；
（2）若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点．
（i）求与之间的数量关系式；
（ii）求的取值范围．
19. 已知数列是公比大于1的等比数列，，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）对于数列，规定为数列的1阶差分数列，其中，一般地，规定为数列的阶差分数列，其中.若，不等式对恒成立，求整数的最大值；
（3）令，其中．证明：．
高三学情检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】C
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABD
10.
【答案】AC
11.
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】11
13.
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.
【答案】（1）
（2）单调增区间为，单调减区间为.
【小问1详解】
由题意知，则，
又因为曲线在点处的切线与x轴平行，
故，解得.
【小问2详解】
时，，定义域为，
，令可得，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为.
16.
【答案】（1）列联表见解析，与性别有关
（2）分布列见解析，
【小问1详解】
列联表补充如下：
关注 不关注 合计
男 100 20 120
女 50 30 80
合计 150 50 200
零假设：广州市民是否关注龙舟比赛与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，可推断零假设不成立，
故认为广州市民是否关注龙舟比赛与性别有关；
【小问2详解】
样本中广州市民关注龙舟比赛的频率为，
则由题意可知，且的可能取值为0，1，2，3，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
17.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
（i）解：在四边形中，因为，，，
故；
又，，则，所以，
结合，则，
以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知平面，平面，故，
因为P，A，B，C在同一个球面上，且为直角，即可得PB的中点到的距离均相等，
故为外接球直径，则球心O为PB的中点，
则，，，，，
所以，，，
设平面PBC的一个法向量为，
则，即，令，得，，所以，
设与平面所成角为，
则.
（ii）解：因为分别为的中点，所以，
所以，，由（i）知，
，
H，A，O，N四点共面，存在实数a，b，使得，
即，
，解得.
18.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【小问1详解】
因为点在双曲线上，所以，
又离心率为2，则，
联立，解得，
故双曲线方程为，渐近线方程为；
【小问2详解】
（i）设，
联立，则，
所以，即，
且，
则，
则的中点为，即，
因为线段的垂直平分线过点，则，整理得；
（ii）由（i）知，则，
则，则，解得．
又
则．
又，则，即，
又，则的取值范围为．
19.
【答案】（1）
（2）3 （3）证明见解析
【小问1详解】
因为是公比大于1的等比数列，则设.
又，成等差数列，
即，解得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
所以．
【小问2详解】
因为，
所以，
，
不等式，
即，
等价于.
当时，，当时，，
记，
所以时，，即，则递减，
又当时，，所以的最大项是，
所以，即，
所以整数的最大值为3.
【小问3详解】
由已知，其中，
所以，
故，
即，由（1）知，
所以
综上，.
PAGE
1
第页