1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
知识点1 勾股定理的初步认识
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且c＝4，若a＝3，那么b2的值是( )
A.1 B.5 C.7 D.25
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图，一个高为1.5 m，宽为3.6 m的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )
A.3.8 m B.3.9 m
C.4 m D.4.4 m
4.［新考向·新定义试题］对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD2＝5，BC2＝18，则AB2＋CD2＝ .
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BD＝9，CD＝12，求AB和AC的长.
知识点2 勾股定理与面积
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以三边为底向外作等腰直角三角形，它们的面积依次为S1，S2，S3，则下列关系式正确的是( )
A.S1＞S2＋S3
B.S1＜S2＋S3
C.S1＝S2＋S3
D.
7.如图，阴影部分是两个正方形，其他三个是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积为( )
A.8 B.25 C.49 D.64
第7题图 第8题图
8.如图，BC长为3 cm，AB长为4 cm，AF长为12 cm.正方形CDEF的面积为 cm2.
9.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B之间的距离为( )
A.80 mm
B.100 mm
C.120 mm
D.150 mm
10.［新考向·代数推理］已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则( )
A.S1＞S2
B.S1＜S2
C.S1＝S2
D.S1，S2大小无法确定
11.［三垂直模型］如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5，11，则b的面积为 .
12.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.已知BD＝3，AB＝5.设CD长为x.
(1)根据勾股定理，得AC2＝ ；(用含x的代数式表示，结果需化简)
(2)求x的值.
13.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD＝12，AC＝20，BC＝15，AE＝AC，BF＝BC，求EF的长.
14.［运算能力］在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，试求△ABC的周长.
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
知识点1 勾股定理的验证
1.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角边长分别是3和6，则大正方形与中间小正方形的面积差是( )
A.9 B.36 C.27 D.34
第1题图
第2题图
2.如图所示，大正方形的面积是 ，另一种方法计算大正方形的面积是 ，两种结果相等，推得勾股定理是 .
3.做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按如图所示的方式拼成两个正方形.利用两个正方形的面积相等来验证勾股定理：a2＋b2＝c2.
图1 图2
知识点2 勾股定理的简单应用
4.如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线BC长为6 m.某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m，则BB'的长为( )
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
第4题图
第5题图
5.如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10 cm，高度为12 cm，吸管长为25 cm(底端在杯子底上)，露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a最小为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
6.如图，校园内有两棵树相距12 m，一棵树高14 m，另一棵树高9 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m.
7.［情境题·数学文化］赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形.图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实.如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2＋b2＝25，则黄实为( )
A.36 B.25 C.16 D.9
8.意大利著名画家达 芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是( )
图1 图2
A.S2＝c2 B.S2＝c2＋ab
C.S1＝a2＋b2＋ab D.S1＝a2＋b2＋2ab
9.如图，在水塔O的东北方向12 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向5 m 处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为( )
A.10 m B.13 m
C.14 m D.8 m
第9题图 第10题图
10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10 m的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17 m，高为3 m的矮台B，那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN＝ m.
11.［梯子滑动模型］某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE(即MD⊥DE，NE⊥DE)，一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7 dm，顶端A到地面的距离AD＝24 dm.(图中所有点均在同一平面内)
(1)求梯子AB的长；
(2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20 dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长.
12.［运算能力］在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最大边的长.当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2与c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为 三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为 三角形；
(2)猜想：当a2＋b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2 c2时，△ABC为钝角三角形；
(3)判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
知识点1 勾股定理的初步认识
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且c＝4，若a＝3，那么b2的值是( C )
A.1 B.5 C.7 D.25
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长为( C )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图，一个高为1.5 m，宽为3.6 m的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( B )
A.3.8 m B.3.9 m
C.4 m D.4.4 m
4.［新考向·新定义试题］对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD2＝5，BC2＝18，则AB2＋CD2＝ 23 .
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BD＝9，CD＝12，求AB和AC的长.
解：因为在Rt△ABC中，CD⊥AB，所以∠CDB＝90°.因为BD＝9，CD＝12，由勾股定理，得BC2＝CD2＋BD2＝122＋92＝225＝152，所以BC＝15.在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，设AD＝x.由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2＝x2＋122.因为∠ACB＝90°，所以在Rt△ABC中，AB＝AD＋BD＝x＋9，BC＝15，所以AC2＝AB2－BC2＝(9＋x)2－152，即x2＋122＝(9＋x)2－152，解得x＝16，即AD＝16，所以AB＝16＋9＝25，AC2＝162＋122＝400＝202，所以AC＝20.
知识点2 勾股定理与面积
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以三边为底向外作等腰直角三角形，它们的面积依次为S1，S2，S3，则下列关系式正确的是( C )
A.S1＞S2＋S3
B.S1＜S2＋S3
C.S1＝S2＋S3
D.
7.如图，阴影部分是两个正方形，其他三个是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积为( D )
A.8 B.25 C.49 D.64
第7题图 第8题图
8.如图，BC长为3 cm，AB长为4 cm，AF长为12 cm.正方形CDEF的面积为 169 cm2.
9.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B之间的距离为( D )
A.80 mm
B.100 mm
C.120 mm
D.150 mm
10.［新考向·代数推理］已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则( C )
A.S1＞S2
B.S1＜S2
C.S1＝S2
D.S1，S2大小无法确定
11.［三垂直模型］如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5，11，则b的面积为 16 .
12.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.已知BD＝3，AB＝5.设CD长为x.
(1)根据勾股定理，得AC2＝ 16＋x2 ；(用含x的代数式表示，结果需化简)
(2)求x的值.
解：(2)因为∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝BD＋CD，BD＝3，CD＝x，
所以BC＝BD＋CD＝3＋x.因为AC2＝BC2－AB2，AC2＝16＋x2，所以(3＋x)2－52＝16＋x2，解得x＝.
13.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD＝12，AC＝20，BC＝15，AE＝AC，BF＝BC，求EF的长.
解：因为CD是AB边上的高，所以∠BDC＝∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，AC＝20，CD＝12，由勾股定理得，AD2＝AC2－CD2＝202－122＝162，所以AD＝16.同理可得，BD2＝BC2－CD2＝152－122＝92，所以BD＝9.因为AE＝AC＝20，所以DE＝20－16＝4.因为BF＝BC＝15，BD＝9，所以DF＝15－9＝6，所以EF＝DE＋DF＝4＋6＝10.
14.［运算能力］在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，试求△ABC的周长.
解：如图1，因为CD⊥AB，所以AD2＝AC2－CD2.因为AC＝15，CD＝12，所以AD2＝152－122＝81，所以AD＝9.同理可求BD＝5，所以AB＝9＋5＝14.故△ABC的周长＝14＋13＋15＝42.
如图2，因为CD⊥AB，所以AD2＝AC2－CD2.因为AC＝15，CD＝12，所以AD2＝152－122＝81＝92，所以AD＝9.同理可求BD＝5，所以AB＝9－5＝4.故△ABC的周长＝4＋13＋15＝32.综上所述，△ABC的周长为42或32.
图1 图2
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
知识点1 勾股定理的验证
1.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角边长分别是3和6，则大正方形与中间小正方形的面积差是( B )
A.9 B.36 C.27 D.34
第1题图
第2题图
2.如图所示，大正方形的面积是 (a＋b)2 ，另一种方法计算大正方形的面积是 c2＋2ab ，两种结果相等，推得勾股定理是 a2＋b2＝c2 .
3.做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按如图所示的方式拼成两个正方形.利用两个正方形的面积相等来验证勾股定理：a2＋b2＝c2.
图1 图2
解：由题图1可知大正方形的边长为a＋b，由题图1可得(a＋b)2＝c2＋4×ab.题图2中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为b，宽为a的长方形.根据题图2可得，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，根据这两个正方形面积相等，得a2＋b2＋2ab＝c2＋4×ab，故a2＋b2＝c2.
知识点2 勾股定理的简单应用
4.如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线BC长为6 m.某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m，则BB'的长为( B )
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
第4题图
第5题图
5.如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10 cm，高度为12 cm，吸管长为25 cm(底端在杯子底上)，露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a最小为( B )
A.11 B.12 C.13 D.14
6.如图，校园内有两棵树相距12 m，一棵树高14 m，另一棵树高9 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 13 m.
7.［情境题·数学文化］赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形.图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实.如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2＋b2＝25，则黄实为( D )
A.36 B.25 C.16 D.9
8.意大利著名画家达 芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是( C )
图1 图2
A.S2＝c2 B.S2＝c2＋ab
C.S1＝a2＋b2＋ab D.S1＝a2＋b2＋2ab
9.如图，在水塔O的东北方向12 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向5 m 处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为( B )
A.10 m B.13 m
C.14 m D.8 m
第9题图 第10题图
10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10 m的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17 m，高为3 m的矮台B，那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN＝ 2 m.
11.［梯子滑动模型］某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE(即MD⊥DE，NE⊥DE)，一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7 dm，顶端A到地面的距离AD＝24 dm.(图中所有点均在同一平面内)
(1)求梯子AB的长；
(2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20 dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长.
解：(1)因为MD⊥DE，所以∠ADB＝90°，所以AB2＝AD2＋BD2＝72＋242＝252，所以梯子AB的长为25 dm.
(2)因为NE⊥DE，所以∠CEB＝90°，所以BE2＝BC2－CE2＝252－202＝152，所以DE＝BD＋BE＝7＋15＝22(dm)，所以该教学楼走廊的宽度DE的长为22 dm.
12.［运算能力］在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最大边的长.当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2与c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为 锐角 三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为 钝角 三角形；
(2)猜想：当a2＋b2 ＞ c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2 ＜ c2时，△ABC为钝角三角形；
(3)判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围.
解：因为c为最大边的长，所以4≤c＜6.①当a2＋b2＞c2，即16≤c2＜20时，△ABC为锐角三角形；②当a2＋b2＝c2，即c2＝20时，△ABC为直角三角形；③当a2＋b2＜c2，即20＜c2＜36时，△ABC为钝角三角形.
