2 一定是直角三角形吗
知识点1 勾股定理的逆定理
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( D )
A.三内角的度数之比为1∶2∶3
B.三边长之比为3∶4∶5
C.三边长的平方之比为1∶2∶3
D.三内角的度数之比为3∶4∶5
2.若△ABC的三边满足(c－a)(c＋a)－b2＝0，则下列结论正确的是( A )
A.△ABC是直角三角形，且∠C为直角
B.△ABC是直角三角形，且∠B为直角
C.△ABC是直角三角形，且∠A为直角
D.△ABC不是直角三角形
3.在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则( B )
A.∠B＋∠C＝90°
B.∠A＋∠C＝90°
C.∠A＋∠B＝90°
D.∠B＝∠C
4.如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是( D )
A.BC＝5
B.△ABC的面积为5
C.∠A＝90°
D.点A到BC的距离为
5.［新考向·实践探究题］小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第几个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形( C )
A.13 B.14 C.15 D.16
6.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线长为68 cm，则这个桌面 合格 (选填“合格”或“不合格”).
7.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°.
(1)连接AC，试说明：△ACD是直角三角形；
(2)求△ACD中AD边上的高.
解：(1)连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，所以AC＝5.又因为CD＝12，AD＝13，所以AC2＋CD2＝AD2，所以∠ACD＝90°，所以△ACD是直角三角形.
(2)如图，过点C作CH⊥AD于点H，则S△ACD＝AD·CH＝AC·CD，所以×13×CH＝×5×12，所以CH＝.
知识点2 勾股数
8.下列各组数中，是勾股数的是( B )
A.1，2，3 B.5，12，13
C.0.3，0.4，0.5 D.4，6，8
9.［情境题·数学文化］勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)……分析上面规律，第5个勾股数组为 (11，60，61) .
10.有一组勾股数，已知其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 15 .
11.如果正整数a，b，c满足等式a2＋b2＝c2，那么正整数a，b，c叫勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成表格，观察表中每列数的规律，可知x＋y的值为( C )
a 3 8 15 24 … x
b 4 6 8 10 … y
c 5 10 17 26 … 65
A.47 B.62 C.79 D.98
12.如图，在△ABC中，AB＝17，BC＝16，BC边上的中线AD＝15，则AC的长为( C )
A.15 B.16 C.17 D.18
第12题图 第14题图
13.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 25 .
14.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20 n mile，如果知道甲船沿北偏西40° 方向航行，则乙船沿 北偏东50° 方向航行.
15.［新考向·实践探究题］如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中A，B，C，D四个点中能与点M，N构成一个直角三角形的是点 C .
第15题图
第16题图
16.如图，点A，B，C分别在边长为1的正方形网格图顶点上，则∠ACB＝ 90° .
17.如图，线段AB，BC，CD和BD都为5 cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2 cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8 cm/s的速度运动到点A.若两点同时开始运动5 s时，P，Q两点相距3 cm.试确定两点运动5 s时，△APQ的形状.
解：运动5 s时，动点P运动的路程为2×5＝10(cm)，即点P运动到D点(点P与点D重合)，动点Q运动的路程为2.8×5＝14(cm)，即点Q在BA上，且BQ＝14－10＝4(cm).因为在△BPQ中，BP＝5 cm， BQ＝4 cm，PQ＝3 cm，BQ2＋PQ2＝42＋32＝25＝BP2，所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP＝90°，所以∠AQP＝180°－90°＝90°，所以两点运动5 s时，△APQ是直角三角形.
18.［推理能力］如图，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，AD＝24 cm，BC＋CD＝34 cm，C是直线l上一动点.请你探索当点C离点B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形.
解：设BC＝x cm时，△ACD是以CD为斜边的直角三角形.因为BC＋CD＝34，所以CD＝34－x.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝36＋x2.在Rt△ACD中，AC2＝CD2－AD2＝(34－x)2－242，所以36＋x2＝(34－x)2－242，解得x＝8，所以当点C离点B 8 cm时，△ACD是以CD为斜边的直角三角形.2 一定是直角三角形吗
知识点1 勾股定理的逆定理
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A.三内角的度数之比为1∶2∶3
B.三边长之比为3∶4∶5
C.三边长的平方之比为1∶2∶3
D.三内角的度数之比为3∶4∶5
2.若△ABC的三边满足(c－a)(c＋a)－b2＝0，则下列结论正确的是( )
A.△ABC是直角三角形，且∠C为直角
B.△ABC是直角三角形，且∠B为直角
C.△ABC是直角三角形，且∠A为直角
D.△ABC不是直角三角形
3.在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则( )
A.∠B＋∠C＝90°
B.∠A＋∠C＝90°
C.∠A＋∠B＝90°
D.∠B＝∠C
4.如图，△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是( )
A.BC＝5
B.△ABC的面积为5
C.∠A＝90°
D.点A到BC的距离为
5.［新考向·实践探究题］小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第几个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形( )
A.13 B.14 C.15 D.16
6.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线长为68 cm，则这个桌面 (选填“合格”或“不合格”).
7.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°.
(1)连接AC，试说明：△ACD是直角三角形；
(2)求△ACD中AD边上的高.
知识点2 勾股数
8.下列各组数中，是勾股数的是( )
A.1，2，3 B.5，12，13
C.0.3，0.4，0.5 D.4，6，8
9.［情境题·数学文化］勾股定理a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)……分析上面规律，第5个勾股数组为 .
10.有一组勾股数，已知其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 .
11.如果正整数a，b，c满足等式a2＋b2＝c2，那么正整数a，b，c叫勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成表格，观察表中每列数的规律，可知x＋y的值为( )
a 3 8 15 24 … x
b 4 6 8 10 … y
c 5 10 17 26 … 65
A.47 B.62 C.79 D.98
12.如图，在△ABC中，AB＝17，BC＝16，BC边上的中线AD＝15，则AC的长为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
第12题图 第14题图
13.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 .
14.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20 n mile，如果知道甲船沿北偏西40° 方向航行，则乙船沿 方向航行.
15.［新考向·实践探究题］如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中A，B，C，D四个点中能与点M，N构成一个直角三角形的是点 .
第15题图
第16题图
16.如图，点A，B，C分别在边长为1的正方形网格图顶点上，则∠ACB＝ .
17.如图，线段AB，BC，CD和BD都为5 cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2 cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8 cm/s的速度运动到点A.若两点同时开始运动5 s时，P，Q两点相距3 cm.试确定两点运动5 s时，△APQ的形状.
18.［推理能力］如图，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，AD＝24 cm，BC＋CD＝34 cm，C是直线l上一动点.请你探索当点C离点B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形.
