3 勾股定理的应用
知识点1 立体图形中两点之间的最短距离
1.如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是( )
A.9 B.13 C.14 D.25
第1题图 第2题图
2.如图，一只蚂蚁从一个正方体纸盒的点A沿纸盒表面爬到点B，它所爬过的最短路径(虚线)在侧面展开图中的位置是( )
ABCD
3.如图所示是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90 cm，25 cm和15 cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点.在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
知识点2 勾股定理在实际生活中的应用
4.某3D打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是15 cm，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高8 cm，则龙头部分的长为( )
A.10 cm B.13 cm C.14 cm D.17 cm
第4题图 第5题图
5.［情境题·数学文化］在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步(即CD的长为10尺)，秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为 尺.
6.某学校将如图所示的四边形闲置地改造成综合实践种植区.已知∠C＝90°，AB＝20 m，AD＝15 m，BC＝7 m，CD＝24 m，求该综合实践种植区的面积.
7.［跨学科·语文］杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望.现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5 m，横梁BC＝8 m，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要的可能是( )
A.2.5 m B.6 m C.4 m D.8 m
第7题图 第8题图
8.如图，高速公路上有A，B两点相距10 km，C，D为两村庄.已知DA＝4 km，CB＝6 km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B.现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是( )
A.4 km B.5 km C.6 km D.20 km
9.如图，在离水面高度为8 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10 m，则船向岸边移动了 m.
第9题图
第10题图
10.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图).∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方(每块砖的厚度相等)为 .
11.某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度CE，测得水平距离BD的长为15 m，风筝线BC的长为25 m，牵线放风筝的小明的身高为1.6 m.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12 m，则他应该往回收线多少米？
12.［运算能力］吴老师在与同学们进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的平方.
(1)如图1，正方体的棱长为5，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；
(2)如图2，长方体底面是边长为5的正方形，高为6，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处.
图1 图23 勾股定理的应用
知识点1 立体图形中两点之间的最短距离
1.如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是( B )
A.9 B.13 C.14 D.25
第1题图 第2题图
2.如图，一只蚂蚁从一个正方体纸盒的点A沿纸盒表面爬到点B，它所爬过的最短路径(虚线)在侧面展开图中的位置是( B )
ABCD
3.如图所示是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90 cm，25 cm和15 cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点.在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？
解：展开后如图，由题意得∠C＝90°.AC＝3×25＋3×15＝120(cm)，BC＝90 cm.
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝1202＋902＝1502，所以AB＝150 cm，所以最短路程是150 cm.
知识点2 勾股定理在实际生活中的应用
4.某3D打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒看成圆柱体，它的底面周长是15 cm，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1圈升高8 cm，则龙头部分的长为( D )
A.10 cm B.13 cm C.14 cm D.17 cm
第4题图 第5题图
5.［情境题·数学文化］在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步(即CD的长为10尺)，秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为 14.5 尺.
6.某学校将如图所示的四边形闲置地改造成综合实践种植区.已知∠C＝90°，AB＝20 m，AD＝15 m，BC＝7 m，CD＝24 m，求该综合实践种植区的面积.
解：连接BD，因为∠C＝90°，BC＝7 m，CD＝24 m，所以BD2＝CD2＋BC2＝242＋72＝252，因为AB＝20 m，AD＝15 m，所以AB2＋AD2＝152＋202＝625＝252＝BD2，所以∠BAD＝90°，所以这块草地的面积为S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋BC·CD＝×20×15＋×7×24＝234(m2).
7.［跨学科·语文］杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望.现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5 m，横梁BC＝8 m，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要的可能是( C )
A.2.5 m B.6 m C.4 m D.8 m
第7题图 第8题图
8.如图，高速公路上有A，B两点相距10 km，C，D为两村庄.已知DA＝4 km，CB＝6 km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B.现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是( C )
A.4 km B.5 km C.6 km D.20 km
9.如图，在离水面高度为8 m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10 m，则船向岸边移动了 9 m.
第9题图
第10题图
10.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图).∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方(每块砖的厚度相等)为 .
11.某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度CE，测得水平距离BD的长为15 m，风筝线BC的长为25 m，牵线放风筝的小明的身高为1.6 m.
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12 m，则他应该往回收线多少米？
解：由题意得：∠CDB＝90°，AB＝DE＝1.6 m.
(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD2＝BC2－BD2＝252－152＝202，所以CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(m).
(2)如图，在CD上截取CF＝12 m，连接BF，则DF＝CD－CF＝20－12＝8(m)，在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝DF2＋BD2＝82＋152＝172，所以25－17＝8(m)，所以他应该往回收线8 m.
12.［运算能力］吴老师在与同学们进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的平方.
(1)如图1，正方体的棱长为5，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；
(2)如图2，长方体底面是边长为5的正方形，高为6，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处.
图1 图2
解：(1)如图1展开，A＝AC2＋C1C2＝102＋52＝125.同理，如图2展开或如图3展开，A均为125，所以蚂蚁需爬行的最短路程的平方为125.
图1 图2 图3
(2)如图4，沿棱BB1展开，A＝AC2＋C＝102＋62＝136；如图5，沿棱A1B1展开，A＝AB2＋B＝52＋112＝146；如图6，沿棱A1D1展开，A＝AD2＋C1D2＝52＋112＝146.因为146＞136，所以蚂蚁需要爬行的最短路程的平方为136.
图4 图5 图6
