2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根与平方根
知识点1 算术平方根的概念
1.实数9的算术平方根是( )
A.81 B.3 C.－3 D.±3
2.下面的说法正确的有( )
①5是25的算术平方根；②9是3的算术平方根；③6是的算术平方根；④－1是1的算术平方根.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 平方根的概念及性质
3.如果一个正数a的两个不同平方根是2x－2和6－3x，则这个正数a的值为( )
A.4 B.6 C.12 D.36
4.16的平方根是( )
A.16 B.－4 C.±4 D.256
5.若x2＝a(a＞0)，则下列说法正确的是( )
A.a是x的平方根 B.x是a的平方根
C.x是a的算术平方根 D.a是x的算术平方根
6.求下列各数的平方根：
(1)49； (2)1.44； (3)； (4)12.
知识点3 算术平方根的性质及实际应用
7.［跨学科·物理］在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为 60 cm3，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8 cm，则溢水杯内部的底面半径为 cm(π取3).
8.若a，b为实数，且|a－1|＋＝0，则(a＋b)2 025＝ .
9.某同学想用一块面积为400 cm2的正方形纸片(如图)沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽之比为6∶5.请你用学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片.
知识点4 ()2(a≥0)与的性质
10.下列计算正确的是( )
A.＝±3 B.＝－3
C.()2＝3 D.()2＝－3
11.m是25的平方根，n＝()2，则m，n的关系是( )
A.m＝±n B.m＝n
C.m＝－n D.|m|≠n
12.下列正确的是( )
A.6是36的算术平方根，即＝±6
B.6是(－6)2的算术平方根，即＝6
C.±7是49的平方根，即±＝7
D.±2是4的平方根，即＝±2
13.的算术平方根是( )
A.(x2＋4)4 B.(x2＋4)2
C.x2＋4 D.
14.若(a－9)2＋|b－4|＝0，则的平方根是( )
A. B.± C.6 D.±6
15.［新考向·实践探究试题］将长、宽分别为2和1的长方形按如图所示的方式剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是( )
A. B. C. D.2
16.若实数x，y满足＝0，则y－x的平方根为 .
17.［新考向·开放性试题］一个数值转换器如图所示：
(1)当输入的x为81时，输出的y值是 ；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值： ；
(3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： .
18.计算：
(1)； (2)－；
(3)； (4)(x≥0).
19.已知正实数x的平方根是m和m＋b.
(1)当b＝8时，求m；
(2)若m2＋(m＋b)2＝8，求m与b的值.
20.某地气象资料表明此地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t2＝来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
(2)如果一场雷雨持续了2 h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？
第2课时 立方根
知识点1 立方根的概念
1.下列说法中，正确的是( )
A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B.立方根是负数的数一定是负数
C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.一个数的立方根是非负数
2.下列说法正确的是( )
A.1的平方根是1
B.平方根是本身的数是0和1
C.1的立方根是1
D.立方根是本身的数是0和1
3.的立方根是( )
A.± B.± C. D.
4.－27的立方根是( )
A.±3 B.－3
C.3 D.不存在
5.一个正方体的体积是64 m3，若把这个正方体的体积扩大1 000倍，则棱长为 .
6.求下列各数的立方根：
(1)0.216； (2)3； (3)－； (4)(－5)3.
知识点2 立方根的性质
7.下列式子中不正确的是( )
A.＝－ B.＝a
C.()3＝a3 D.(－)3＝a
8.已知≈1.333，≈2.872，则≈( )
A.0.133 3 B.13.33 C.0.287 2 D.28.72
9.已知＝1－a2，则a的值为( )
A.± B.0或±1
C.0 D.0，±1或±
10.已知＝－2，则的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.大正方体的体积为125 cm3，小正方体的体积为8 cm3，如图那样叠放在一起.这个物体的最高点A离地面的距离是( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
12.若一个正数的两个不同的平方根分别是3a－4和－2a，则这个数的立方根为( )
A.8 B.4 C.±4 D.64
13.一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是 .
14.M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若M－N恰是某正整数的立方，则这样的数共有 个.
15.［相反数求值法］已知x的两个平方根分别是a＋3和2a－15，又＝3，求x，y的值.
第3课时 估算 用计算器开方
知识点1 估算无理数的大小
1.估算的大小是( )
A.4与5之间 B.5与6之间
C.6与7之间 D.不能确定
2.下列整数中，与2＋最接近的是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.在0，－2，π，－四个数中，最小的数是( )
A.－2 B.0 C.π D.－
4.一个正方体的体积为25，估计这个正方体的边长在( )
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
5.已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a＋b＝ .
6.在数轴上，介于之间的整数是 .
知识点2 用估算法比较数的大小
7.若a是无理数，且＜a＜，则a可能是( )
A. B.
C. D.
8.5－，2＋，2＋的大小关系是( )
A.2＋＞2＋＞5－
B.5－＞2＋＞2＋
C.2＋＞5－＞2＋
D.5－＞2＋＞2＋
9.比较大小： (选填“＞”“＜”或“＝”).
知识点3 利用计算器求平方根和立方根
10.利用计算器依次按键如下：
7 ＝ S D
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是( )
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
11.利用计算器求的值，其按键顺序正确的是( )
A. 8 ＋ SHIFT 6 ＝
B.8 ＋ SHIFT 6 ＝
C. 8 ＋ 6 ＝
D.8 ＋ 6 ＝
知识点4 利用计算器比较大小
12.下列各组数，能作为三角形三条边长的是( )
A.
B.
C.
D.
13.用计算器比较大小： (选填“＞”“＜”或“＝”)π.
14.比较下列各组数的大小：
(1)－3，； (2)；
(3)－，－； (4).
15.介于之间的整数一共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
16.如图，面积为30 m2的正方形的四个角是面积为2 m2的小正方形，用计算器求得a的值约为(精确到百分位)( )
A.2.70 m
B.2.66 m
C.2.65 m
D.2.60 m
17.已知P＝n－，Q＝5－6(n为正整数).请你用计算器计算当n≥13时，P，Q间的大小关系为( )
A.P＞Q B.P＝Q
C.P＜Q D.无法比较
18.若记a＝－2，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
19.［新考向·新定义试题］若用［x］表示任意正实数的整数部分，例如：［2.5］＝2，［2］＝2，［］＝1，则式子［］－［］＋［］－［］＋…＋［］－［］＋［］(式子中的“＋”“－”依次相间)的值为( )
A.22 B.－22 C.23 D.－23
20.利用计算器计算：≈ (精确到0.01).
21.阅读下面的文字，解答问题.
例如：因为，即2＜＜3，
所以的整数部分为2，小数部分为－2，
请解答：已知的整数部分是n，小数部分是m，且mx＝2n，求x的值.
22.如图，长方形ABCD的面积为300 cm2，长和宽的比为3∶2.在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147 cm2的圆？请通过计算说明理由.(π取3)
23.［运算能力］求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
a … 0.04 4 400 40 000 …
… x 2 y 200 …
(1)表格中的两个值分别为x＝ ；y＝ ；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：
①≈ ；
②≈ ；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根.已知≈1.260，则≈ . 2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根与平方根
知识点1 算术平方根的概念
1.实数9的算术平方根是( B )
A.81 B.3 C.－3 D.±3
2.下面的说法正确的有( A )
①5是25的算术平方根；②9是3的算术平方根；③6是的算术平方根；④－1是1的算术平方根.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 平方根的概念及性质
3.如果一个正数a的两个不同平方根是2x－2和6－3x，则这个正数a的值为( D )
A.4 B.6 C.12 D.36
4.16的平方根是( C )
A.16 B.－4 C.±4 D.256
5.若x2＝a(a＞0)，则下列说法正确的是( B )
A.a是x的平方根 B.x是a的平方根
C.x是a的算术平方根 D.a是x的算术平方根
6.求下列各数的平方根：
(1)49； (2)1.44； (3)； (4)12.
解：(1)±7 (2)±1.2 (3)± (4)±
知识点3 算术平方根的性质及实际应用
7.［跨学科·物理］在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为 60 cm3，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8 cm，则溢水杯内部的底面半径为 5 cm(π取3).
8.若a，b为实数，且|a－1|＋＝0，则(a＋b)2 025＝ －1 .
9.某同学想用一块面积为400 cm2的正方形纸片(如图)沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽之比为6∶5.请你用学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片.
解：设长方形纸片的长为6x (x＞0)cm，则宽为5x cm，依题意得6x·5x＝300，30x2＝300，x2＝10.因为x＞0，所以x＝，所以长方形纸片的长为6 cm.由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20 cm.因为18＜6＜19，即长方形纸片的长小于20 cm，所以长方形纸片的长小于正方形纸片的边长，所以能用这块纸片裁出符合要求的纸片.
知识点4 ()2(a≥0)与的性质
10.下列计算正确的是( C )
A.＝±3 B.＝－3
C.()2＝3 D.()2＝－3
11.m是25的平方根，n＝()2，则m，n的关系是( A )
A.m＝±n B.m＝n
C.m＝－n D.|m|≠n
12.下列正确的是( B )
A.6是36的算术平方根，即＝±6
B.6是(－6)2的算术平方根，即＝6
C.±7是49的平方根，即±＝7
D.±2是4的平方根，即＝±2
13.的算术平方根是( D )
A.(x2＋4)4 B.(x2＋4)2
C.x2＋4 D.
14.若(a－9)2＋|b－4|＝0，则的平方根是( B )
A. B.± C.6 D.±6
15.［新考向·实践探究试题］将长、宽分别为2和1的长方形按如图所示的方式剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是( C )
A. B. C. D.2
16.若实数x，y满足＝0，则y－x的平方根为 ±2 .
17.［新考向·开放性试题］一个数值转换器如图所示：
(1)当输入的x为81时，输出的y值是 ；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值： 1或0 ；
(3)若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： 2或4(答案不唯一) .
18.计算：
(1)； (2)－；
(3)； (4)(x≥0).
解：(1)＝7. (2)－＝－7.
(3)＝π－3.
(4)因为x≥0，所以.
19.已知正实数x的平方根是m和m＋b.
(1)当b＝8时，求m；
(2)若m2＋(m＋b)2＝8，求m与b的值.
解：(1)当b＝8时，依题意得m＋(m＋8)＝0，即m＝－4.
(2)因为正实数x的平方根是m和m＋b，令m2＝(m＋b)2＝x，依题意有2x＝8，即x＝4，①m＝2时，m＋b＝－2，即2＋b＝－2，即m＝2，b＝－4.②m＝－2时，m＋b＝2，即－2＋b＝2，即m＝－2，b＝4.综上，m＝2，b＝－4或m＝－2，b＝4.
20.某地气象资料表明此地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t2＝来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径.
(1)如果雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
(2)如果一场雷雨持续了2 h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？
解：(1)根据t2＝，d＝8 km，可得t＝ h.故这场雷雨大约能持续 h.
(2)根据t2＝，t＝2 h，可得d＝60 km.故这场雷雨区域的直径大约是60 km.
第2课时 立方根
知识点1 立方根的概念
1.下列说法中，正确的是( B )
A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B.立方根是负数的数一定是负数
C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.一个数的立方根是非负数
2.下列说法正确的是( C )
A.1的平方根是1
B.平方根是本身的数是0和1
C.1的立方根是1
D.立方根是本身的数是0和1
3.的立方根是( D )
A.± B.± C. D.
4.－27的立方根是( B )
A.±3 B.－3
C.3 D.不存在
5.一个正方体的体积是64 m3，若把这个正方体的体积扩大1 000倍，则棱长为 40 m .
6.求下列各数的立方根：
(1)0.216； (2)3； (3)－； (4)(－5)3.
解：(1)0.216的立方根是0.6.
(2)3，立方根是.
(3)－的立方根是－.
(4)(－5)3的立方根是－5.
知识点2 立方根的性质
7.下列式子中不正确的是( D )
A.＝－ B.＝a
C.()3＝a3 D.(－)3＝a
8.已知≈1.333，≈2.872，则≈( B )
A.0.133 3 B.13.33 C.0.287 2 D.28.72
9.已知＝1－a2，则a的值为( D )
A.± B.0或±1
C.0 D.0，±1或±
10.已知＝－2，则的值是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.大正方体的体积为125 cm3，小正方体的体积为8 cm3，如图那样叠放在一起.这个物体的最高点A离地面的距离是( C )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
12.若一个正数的两个不同的平方根分别是3a－4和－2a，则这个数的立方根为( B )
A.8 B.4 C.±4 D.64
13.一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是 6 cm .
14.M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若M－N恰是某正整数的立方，则这样的数共有 6 个.
15.［相反数求值法］已知x的两个平方根分别是a＋3和2a－15，又＝3，求x，y的值.
解：因为x的两个平方根分别为a＋3和2a－15，所以(a＋3)＋(2a－15)＝0，解得a＝4，所以a＋3＝7，2a－15＝－7，所以x＝49.因为＝3，所以x－y－2＝27，解得y＝20.
第3课时 估算 用计算器开方
知识点1 估算无理数的大小
1.估算的大小是( B )
A.4与5之间 B.5与6之间
C.6与7之间 D.不能确定
2.下列整数中，与2＋最接近的是( D )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.在0，－2，π，－四个数中，最小的数是( A )
A.－2 B.0 C.π D.－
4.一个正方体的体积为25，估计这个正方体的边长在( A )
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
5.已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a＋b＝ .
6.在数轴上，介于之间的整数是 2和3 .
知识点2 用估算法比较数的大小
7.若a是无理数，且＜a＜，则a可能是( C )
A. B.
C. D.
8.5－，2＋，2＋的大小关系是( D )
A.2＋＞2＋＞5－
B.5－＞2＋＞2＋
C.2＋＞5－＞2＋
D.5－＞2＋＞2＋
9.比较大小： ＜ (选填“＞”“＜”或“＝”).
知识点3 利用计算器求平方根和立方根
10.利用计算器依次按键如下：
7 ＝ S D
则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是( B )
A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9
11.利用计算器求的值，其按键顺序正确的是( A )
A. 8 ＋ SHIFT 6 ＝
B.8 ＋ SHIFT 6 ＝
C. 8 ＋ 6 ＝
D.8 ＋ 6 ＝
知识点4 利用计算器比较大小
12.下列各组数，能作为三角形三条边长的是( D )
A.
B.
C.
D.
13.用计算器比较大小： ＞ (选填“＞”“＜”或“＝”)π.
14.比较下列各组数的大小：
(1)－3，； (2)；
(3)－，－； (4).
解：(1)－3＜
(2)
(3)－＞－
(4)
15.介于之间的整数一共有( C )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
16.如图，面积为30 m2的正方形的四个角是面积为2 m2的小正方形，用计算器求得a的值约为(精确到百分位)( C )
A.2.70 m
B.2.66 m
C.2.65 m
D.2.60 m
17.已知P＝n－，Q＝5－6(n为正整数).请你用计算器计算当n≥13时，P，Q间的大小关系为( A )
A.P＞Q B.P＝Q
C.P＜Q D.无法比较
18.若记a＝－2，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是( B )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
19.［新考向·新定义试题］若用［x］表示任意正实数的整数部分，例如：［2.5］＝2，［2］＝2，［］＝1，则式子［］－［］＋［］－［］＋…＋［］－［］＋［］(式子中的“＋”“－”依次相间)的值为( C )
A.22 B.－22 C.23 D.－23
20.利用计算器计算：≈ 0.56 (精确到0.01).
21.阅读下面的文字，解答问题.
例如：因为，即2＜＜3，
所以的整数部分为2，小数部分为－2，
请解答：已知的整数部分是n，小数部分是m，且mx＝2n，求x的值.
解：因为3＜＜4，所以的整数部分是3，小数部分是－3，所以n＝3，m＝－3，因为mx＝2n，所以(－3)x＝2×3，所以x＝＋3.
22.如图，长方形ABCD的面积为300 cm2，长和宽的比为3∶2.在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147 cm2的圆？请通过计算说明理由.(π取3)
解：不能并排裁出两个面积均为147 cm2的圆.理由如下：设长方形的长DC为3x cm，则宽AD为2x cm.由题意，得3x·2x＝300，化简，得x2＝50.因为x＞0，所以x＝，所以DC＝3 cm，AD＝2 cm.因为圆的面积为147 cm2，设圆的半径为r cm，所以πr2＝147，解得r＝7，所以两个圆的直径总长约为28 cm.因为28＞3，所以不能并排裁出两个面积均为147 cm2的圆.
23.［运算能力］求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
a … 0.04 4 400 40 000 …
… x 2 y 200 …
(1)表格中的两个值分别为x＝ 0.2 ；y＝ 20 ；
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：
①≈ 0.143 5 ；
②≈ 14.35 ；
(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根.已知≈1.260，则≈ 12.60 .
