3 二次根式
第1课时 二次根式及其性质
知识点1 二次根式的概念
1.下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
2.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A.x＞2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠2
3.在代数式(x＞0)，(y＝－2)，(x＜0)，，x＋y，π中，二次根式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.二次根式有意义的条件是 .
5.若a，b都是实数，b＝－2，则ab的值为 .
6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2)＋(x－3)0.
知识点2 二次根式的性质与化简
7.下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
8.已知＝a－1，那么a的范围是( )
A.a＞1 B.a＜1 C.a≥1 D.a≤1
9.下列各式计算正确的是( )
A.＝(－5)×(－6)＝30
B.＝4a2b
C.＝5＋4＝9
D.＝9
10.［数形结合思想］实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a－b|＋的结果是( )
A.a B.－a
C.a－2b D.－a＋2b
11.若都是最简二次根式，则m＋n＝ .
12.在二次根式4中，最简二次根式有 个.
13.如果a，b，c是三角形的三边，化简|a－b－c|－＝ .
14.化简：
(1)； (2)；
(3)； (4).
15.当xy＜0时，化简等于( )
A.－y B.y
C.y D.－y
16.已知y＝＋10，则的值为( )
A.1 B. C.－ D.－
17.设a，b≠0，式子有意义，则该式等于( )
A.－ab B.ab
C.ab D.－a|b|
18.如图所示，图中有一长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，能放入的细木条的最大长度是( )
A. cm
B. cm
C.5 cm
D.5 cm
19.已知y＝＋8x，则的算术平方根为 .
20.已知m是的小数部分，则的值为 .
21.已知x，y是Rt△ABC的两边，且满足y＝＋6.
(1)求2x＋y的算术平方根；
(2)求Rt△ABC的面积.
22.(1)设＝a，＝b，则用含a，b的式子可以表示为 ，用含a，b的式子可以表示为 ；
(2)已知≈1.732，≈5.477，不用计算器，求的值.
23.［新考向·规律探究试题］观察下列等式：
①2；②3；
③4……
(1)发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；
(2)写出用字母n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并进行验证.
第2课时 二次根式的运算
知识点1 二次根式的乘除运算
1.下列运算错误的是( )
A. B.
C.()2＝5 D.2÷＝2
2.计算×2的值( )
A.2 B. C. D.3
3.计算的结果是( )
A.2a B. C. D.
4.计算：＝ .
5.设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b.
(1)若a＝ cm，b＝ cm，求S的值；
(2)若S＝ cm2，b＝ cm，求a的值.
6.善于思考的小明在学习实数后，自己探究出了下面的两个结论：
①；
②.
请解答以下问题：
(1)请仿照①②，再举一个例子： ；
(2)猜想：当a≥0，b≥0时，之间的大小关系是 ；
(3)运用以上结论，计算的值.
知识点2 二次根式的加减运算
7.下列计算正确的是( )
A. B.
C.4－4＝1 D.3＋2＝5
8.化简的结果是( )
A.－ B. C. D.7
9.计算：
(1)；
(2).
知识点3 二次根式的运算与乘法公式
10.如果(2＋)2＝a＋b(a，b为有理数)，那么a＋b＝( )
A.2 B.3 C.8 D.10
11.计算(＋1)(－1)的结果等于 .
12.计算：(3＋2)(3＋2)＝ .
13.计算：
(1)(3－)(3＋)＋(2＋)(2－)；
(2)()()－(＋3)2.
14.已知＋4＝a，则的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
15.下列等式成立的是( )
A.－4×2＝8
B.6÷4
C.6÷3＝6
D.5×4＝20
16.化简(－2)2 025·(＋2)2 026的结果为( )
A.－1 B.－2
C.＋2 D.－－2
17.若6－的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋)y的值是( )
A.5－3 B.－3
C.3－5 D.3
18.若a＝＋1，则a2－2a＋1的值为( )
A.2 B.
C.－2 D.＋2
19.已知长方形的长为3 cm，宽为2 cm，则它的面积为 .
20.已知＝a＝b，则a＋b的值是 .
21.已知a＋b＝－5，ab＝2，且a≠b，则化简b＋a＝ .
22.［新考向·规律探究试题］观察下列各式：
＝1＋＝1＋＝1＋……
请利用你所发现的规律，计算＋…＋，其结果为 .
23.阅读下列解题过程：
2；
－3＝－＝－＝－.
利用上述解法化简下列各式：
(1)10；
(2)＋x(x＜0).
24.［运算能力］阅读下面的文字，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目“化简并求值：a＋，其中a＝5.”甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：a＋＝a＋＝a＋1－3a＝1－2a＝－9.
乙的解答是：a＋＝a＋＝a＋3a－1＝4a－1＝19.
(1) 的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ；
(3)模仿上题解答并求值：|1－a|＋，其中a＝2.
第3课时 二次根式的混合运算
知识点 二次根式的混合运算
1.计算：＋5)＝( )
A.5＋ B.5＋5
C.5＋2 D.10
2.计算()×的结果是( )
A. B.1 C. D.3
3.下列各式不成立的是( )
A.
B.＝2
C.＝5
D.
4.［数形结合思想］如图，点A，B，C，D在数轴上，则可以近似表示÷2的运算结果的点是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
5.计算：（）×＝ .
6.［新考向·新定义试题］对于实数a，b作新定义：a@b＝ab，a※b＝ab.在此定义下，计算：（）@－(－4)※2＝ .
7.［新考向·新定义试题］若3－的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2＋a) b的值是 .
8.计算：
(1).
(2)()2－()()；
(3)|－2|＋（）－1－(＋1)(－1)；
(4)÷（）.
9. ［新考向·新定义试题］对于任意两个正数m，n，定义运算m*n＝计算(8*3)×(18*27)的结果.
10.若要在(5)的“”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填( )
A.＋ B.－ C.× D.÷
11.［运算能力］已知x＋y＝－9，xy＝9，则x＋y值是( )
A.6 B.－6 C.3 D.－3
12.按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为，则最后输出的结果是( )
A.14 B.16
C.8＋5 D.14＋
13.［运算能力］计算：＋…＋.
14.在一个边长为(2＋3)cm的正方形的内部挖去一个长为(2)cm，宽为()cm的长方形，求剩余部分的面积.
15.［新考向·阅读理解试题］阅读材料，完成下列问题。
材料：我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如a2±2ab＋b2＝(a±b)2，因此＝|a±b|.那么如何将双重二次根式(a＞0，b＞0，a±2＞0)化简呢？如能找到两个数m，n(m＞0，n＞0)，使得()2＋()2＝a，即m＋n＝a，且使，即m·n＝b，那么a±2＝()2＋()2±2＝()2，所以＝||，双重二次根式得以化简.例如化简，因为3＝1＋2且2＝1×2，所以3＋2＝()2＋()2＋2＝(1＋)2，所以＝1＋.
(1)填空：＝ ；＝ ；
(2)化简：
①；
②；
(3)计算：.3 二次根式
第1课时 二次根式及其性质
知识点1 二次根式的概念
1.下列各式中，一定是二次根式的是( D )
A. B.
C. D.
2.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( B )
A.x＞2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠2
3.在代数式(x＞0)，(y＝－2)，(x＜0)，，x＋y，π中，二次根式有( C )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.二次根式有意义的条件是 x≥1.5 .
5.若a，b都是实数，b＝－2，则ab的值为 －1 .
6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2)＋(x－3)0.
解：(1)x≥1 (2)x≥－1且x≠3
知识点2 二次根式的性质与化简
7.下列各式是最简二次根式的是( D )
A. B. C. D.
8.已知＝a－1，那么a的范围是( C )
A.a＞1 B.a＜1 C.a≥1 D.a≤1
9.下列各式计算正确的是( D )
A.＝(－5)×(－6)＝30
B.＝4a2b
C.＝5＋4＝9
D.＝9
10.［数形结合思想］实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a－b|＋的结果是( C )
A.a B.－a
C.a－2b D.－a＋2b
11.若都是最简二次根式，则m＋n＝ －6 .
12.在二次根式4中，最简二次根式有 3 个.
13.如果a，b，c是三角形的三边，化简|a－b－c|－＝ －2a＋2c .
14.化简：
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)2 (2)3 (3) (4)
15.当xy＜0时，化简等于( A )
A.－y B.y
C.y D.－y
16.已知y＝＋10，则的值为( D )
A.1 B. C.－ D.－
17.设a，b≠0，式子有意义，则该式等于( D )
A.－ab B.ab
C.ab D.－a|b|
18.如图所示，图中有一长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，能放入的细木条的最大长度是( C )
A. cm
B. cm
C.5 cm
D.5 cm
19.已知y＝＋8x，则的算术平方根为 2 .
20.已知m是的小数部分，则的值为 4 .
21.已知x，y是Rt△ABC的两边，且满足y＝＋6.
(1)求2x＋y的算术平方根；
(2)求Rt△ABC的面积.
解：(1)由题意得，x－5≥0，5－x≥0，解得x＝5，则y＝6，所以2x＋y＝2×5＋6＝16，因为16的算术平方根是4，所以2x＋y的算术平方根是4.
(2)当y＝6是直角边长时，×5×6＝15，当y＝6是斜边长时，另一条直角边为，则×5×，综上所述，Rt△ABC的面积为15或.
22.(1)设＝a，＝b，则用含a，b的式子可以表示为 6ab ，用含a，b的式子可以表示为 0.3ab ；
(2)已知≈1.732，≈5.477，不用计算器，求的值.
解：(2)≈1.643.
23.［新考向·规律探究试题］观察下列等式：
①2；②3；
③4……
(1)发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；
(2)写出用字母n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并进行验证.
解：(1)猜想：6.验证：右边＝＝6＝左边.
(2)第(n－1)个等式：n·.
验证：右边＝＝n·＝左边.
第2课时 二次根式的运算
知识点1 二次根式的乘除运算
1.下列运算错误的是( D )
A. B.
C.()2＝5 D.2÷＝2
2.计算×2的值( B )
A.2 B. C. D.3
3.计算的结果是( A )
A.2a B. C. D.
4.计算：＝ .
5.设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b.
(1)若a＝ cm，b＝ cm，求S的值；
(2)若S＝ cm2，b＝ cm，求a的值.
解：(1)根据题意，得S＝ab＝＝3(cm2).
(2)根据题意，得a＝(cm).
6.善于思考的小明在学习实数后，自己探究出了下面的两个结论：
①；
②.
请解答以下问题：
(1)请仿照①②，再举一个例子： (答案不唯一) ；
(2)猜想：当a≥0，b≥0时，之间的大小关系是 ；
(3)运用以上结论，计算的值.
解：(3)＝9×12＝108.
知识点2 二次根式的加减运算
7.下列计算正确的是( A )
A. B.
C.4－4＝1 D.3＋2＝5
8.化简的结果是( D )
A.－ B. C. D.7
9.计算：
(1)；
(2).
解：(1)原式＝3－2＋3＋3.
(2)原式＝＋4－3.
知识点3 二次根式的运算与乘法公式
10.如果(2＋)2＝a＋b(a，b为有理数)，那么a＋b＝( D )
A.2 B.3 C.8 D.10
11.计算(＋1)(－1)的结果等于 2 .
12.计算：(3＋2)(3＋2)＝ 17＋12 .
13.计算：
(1)(3－)(3＋)＋(2＋)(2－)；
(2)()()－(＋3)2.
解：(1)原式＝9－7＋4－2＝4.
(2)原式＝7－5－(3＋6＋18)＝－19－6.
14.已知＋4＝a，则的值为( B )
A.4 B.3 C.2 D.1
15.下列等式成立的是( D )
A.－4×2＝8
B.6÷4
C.6÷3＝6
D.5×4＝20
16.化简(－2)2 025·(＋2)2 026的结果为( D )
A.－1 B.－2
C.＋2 D.－－2
17.若6－的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋)y的值是( D )
A.5－3 B.－3
C.3－5 D.3
18.若a＝＋1，则a2－2a＋1的值为( A )
A.2 B.
C.－2 D.＋2
19.已知长方形的长为3 cm，宽为2 cm，则它的面积为 30 cm2 .
20.已知＝a＝b，则a＋b的值是 7 .
21.已知a＋b＝－5，ab＝2，且a≠b，则化简b＋a＝ － .
22.［新考向·规律探究试题］观察下列各式：
＝1＋＝1＋＝1＋……
请利用你所发现的规律，计算＋…＋，其结果为 9 .
23.阅读下列解题过程：
2；
－3＝－＝－＝－.
利用上述解法化简下列各式：
(1)10；
(2)＋x(x＜0).
解：(1)10.
(2)＋x＝0.
24.［运算能力］阅读下面的文字，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目“化简并求值：a＋，其中a＝5.”甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：a＋＝a＋＝a＋1－3a＝1－2a＝－9.
乙的解答是：a＋＝a＋＝a＋3a－1＝4a－1＝19.
(1) 甲 的解答是错误的；
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ＝|a|，当a＜0时，＝－a ；
(3)模仿上题解答并求值：|1－a|＋，其中a＝2.
解：|1－a|＋＝|1－a|＋.因为a＝2，所以1－a＜0，1－4a＜0，所以原式＝a－1＋4a－1＝5a－2＝8.
第3课时 二次根式的混合运算
知识点 二次根式的混合运算
1.计算：＋5)＝( B )
A.5＋ B.5＋5
C.5＋2 D.10
2.计算()×的结果是( B )
A. B.1 C. D.3
3.下列各式不成立的是( C )
A.
B.＝2
C.＝5
D.
4.［数形结合思想］如图，点A，B，C，D在数轴上，则可以近似表示÷2的运算结果的点是( C )
A.点A B.点B C.点C D.点D
5.计算：（）×＝ 4 .
6.［新考向·新定义试题］对于实数a，b作新定义：a@b＝ab，a※b＝ab.在此定义下，计算：（）@－(－4)※2＝ 1－3 .
7.［新考向·新定义试题］若3－的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2＋a) b的值是 2 .
8.计算：
(1).
原式＝＋2＝4＋.
(2)()2－()()；
原式＝2＋4＋6－(5－3)＝4＋6.
(3)|－2|＋（）－1－(＋1)(－1)；
原式＝2－＋2－(5－1)＝－.
(4)÷（）.
原式＝÷（）＝ ＝.
9. ［新考向·新定义试题］对于任意两个正数m，n，定义运算m*n＝计算(8*3)×(18*27)的结果.
解：原式＝(8*3)×(18*27)＝()()＝(2)(3＋3)＝12＋6－3－9＝3＋3.
10.若要在(5)的“”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填( C )
A.＋ B.－ C.× D.÷
11.［运算能力］已知x＋y＝－9，xy＝9，则x＋y值是( B )
A.6 B.－6 C.3 D.－3
12.按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为，则最后输出的结果是( C )
A.14 B.16
C.8＋5 D.14＋
13.［运算能力］计算：＋…＋.
解：原式＝＋…＋
＝
＋…＋＝
（1－）＋（）＋（）＋…＋（）＝
1－.
14.在一个边长为(2＋3)cm的正方形的内部挖去一个长为(2)cm，宽为()cm的长方形，求剩余部分的面积.
解：(2＋3)2－(2)()＝(12＋12＋45)－(6－2＋2－5)＝(57＋12).因此，剩余部分的面积为(57＋12)cm2.
15.［新考向·阅读理解试题］阅读材料，完成下列问题。
材料：我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如a2±2ab＋b2＝(a±b)2，因此＝|a±b|.那么如何将双重二次根式(a＞0，b＞0，a±2＞0)化简呢？如能找到两个数m，n(m＞0，n＞0)，使得()2＋()2＝a，即m＋n＝a，且使，即m·n＝b，那么a±2＝()2＋()2±2＝()2，所以＝||，双重二次根式得以化简.例如化简，因为3＝1＋2且2＝1×2，所以3＋2＝()2＋()2＋2＝(1＋)2，所以＝1＋.
(1)填空：＝ ；＝ ；
(2)化简：
①；
②；
(3)计算：.
解：(2)①＝
.
②.
(3).
