4 二元一次方程与一次函数
第1课时 二元一次方程(组)与一次函数的关系
知识点1 二元一次方程与一次函数的关系
1.直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的直线是( )
ABCD
2.［数形结合］如图所示是一次函数y＝ax－b的图象，则关于x的方程ax－1＝b的解为x＝ .
3.若以二元一次方程x＋3y＝b的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋b－1上，则常数b的值为 .
知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系
4.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4与直线l2：y＝kx＋b交于点A(－1，b)，则关于x，y的方程组的解为( )
A. B.
C. D.
第4题图 第5题图
5.方程组所对应的一次函数图象如图所示，则2a＋b的值为( )
A.－5 B.3 C.5 D.－3
6.已知直线y＝2x＋1与y＝kx－b的交点为(－2，a)，则方程组的解为 .
7.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2平行，下列说法不正确的是( )
A.a＝3
B.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2没有交点
C.方程组无解
D.方程组有无穷多个解
8.一次函数y1＝ax＋b和y2＝－bx＋a(a≠0，b≠0)在同一坐标系中的图象如图所示，则的解中( )
A.m＞0，n＞0
B.m＞0，n＜0
C.m＜0，n＞0
D.m＜0，n＜0
9.已知是方程组的解，那么直线y＝x－和y＝8－2x的交点坐标是 .
10.如图，直线y＝kx(k≠0)与y＝x＋3交于点A，y＝x＋3交x轴、y轴分别于B，C两点.若＝1：2，则方程组的解为 .
第10题图 第11题图
11.如图，函数y＝20x和y＝ax－40的图象相交于点P，点P的纵坐标为40，则关于x，y的方程组的解是 .
12.已知正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝x＋2的图象相交于点P，点A是x轴上一点，且S△POA＝6，则点A的坐标是 .
13.如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)，与x轴分别交于A，B两点.
(1)求b，m的值；
(2)结合图象可知关于x，y的方程组的解是 ；
(3)求△ABP的面积.
14.［几何直观］如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线AB的解析式为y＝－x＋5，直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，两直线交于点E（m，），且OB∶OC＝5∶4.
(1)求直线CD的解析式；
(2)将直线CD向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，求四边形AEDF的面积.
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
知识点1 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.已知直线经过点A(2，m)和点B(n，－6)，若点A与点B关于原点对称，则这条直线对应的函数解析式是( )
A.y＝x B.y＝3x
C.y＝x＋ D.y＝3x＋
2.［新独家原创］已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(－2，2)和(－3，1)，则下列说法正确的是( )
A.函数图象经过第一、三、四象限
B.点(1，3)在函数图象上
C.y的值随x的增大而减小
D.函数图象与y轴的交点坐标为(0，4)
3.如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋1交于点A(1，m)，直线y＝kx＋b交y轴于点B(0，4).
(1)试确定m，k，b的值；
(2)当0≤x≤2时，写出二元一次方程kx－y＝－b的所有整数解；
(3)写出方程组的解.
知识点2 通过确定一次函数表达式解决实际问题
4.［情境题·体育锻炼与健康］晚上，张大爷去距家1 200 m的公园锻炼，在距离公园600 m处遇到了同去锻炼的老朋友，一起结伴到了公园.下图是张大爷距离家的路程y(m)与时间x(min)之间的函数图象，则张大爷从家到公园的平均速度为 .
第4题图 第5题图
5.生产某种产品所需的成本y(万元)与数量x(t)之间的关系如图所示，那么生产10 t这一产品所需成本为 万元.
6.如图1，在一个深50 cm的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度y(cm)随时间x(min)的变化图象.
(1)放入的长方体的高度为 cm；
(2)求AB所在直线的函数表达式；
(3)求该容器注满水所用的时间.
图1 图2
7.如图，长方形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA＝1，OC＝2，点D的坐标为(2，0)，则直线BD的函数表达式为( )
A.y＝－x＋2 B.y＝－2x＋4
C.y＝－x＋3 D.y＝2x＋4
第7题图 第8题图
8.［情境题·环境保护］为增强居民的节水意识，某市实施“阶梯水价”.按照“阶梯水价”的收费标准，居民家庭每年应缴水费y(元)与用水量x(m3)的函数关系的图象如图所示.如果某个家庭全年缴水费1 180元，那么该家庭全年用水的总量是( )
A.240 m3 B.236 m3
C.220 m3 D.200 m3
9.甲、乙两地相距2 km，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地.小明、小华离甲地的距离y(km)与出发的时间x(min)的函数图象如图所示，则小明出发后 min两人第二次相遇.
10.如图所示，线段AB，CD分别是一辆轿车的油箱剩余油量y1(L)与一辆客车的油箱剩余油量y2(L)关于行驶路程x(km)的函数图象.
(1)分别求y1，y2与x的函数关系式；
(2)如果两车同时出发，轿车的行驶速度为100 km/h，客车的行驶速度为80 km/h，当油箱的剩余油量相同时，两车行驶的时间相差多少分？
11.［运算能力］如图所示，已知点A(0，4)，C(－2，0)在直线l：y＝kx＋b上，直线l和函数y＝－4x＋a的图象交于点B.
(1)求直线l的函数表达式；
(2)若点B的横坐标是1，求关于x，y的方程组的解及a的值；
(3)若点A关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积.4 二元一次方程与一次函数
第1课时 二元一次方程(组)与一次函数的关系
知识点1 二元一次方程与一次函数的关系
1.直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的直线是( C )
ABCD
2.［数形结合］如图所示是一次函数y＝ax－b的图象，则关于x的方程ax－1＝b的解为x＝ 4 .
3.若以二元一次方程x＋3y＝b的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋b－1上，则常数b的值为 .
知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系
4.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4与直线l2：y＝kx＋b交于点A(－1，b)，则关于x，y的方程组的解为( C )
A. B.
C. D.
第4题图 第5题图
5.方程组所对应的一次函数图象如图所示，则2a＋b的值为( A )
A.－5 B.3 C.5 D.－3
6.已知直线y＝2x＋1与y＝kx－b的交点为(－2，a)，则方程组的解为 .
7.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2平行，下列说法不正确的是( D )
A.a＝3
B.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2没有交点
C.方程组无解
D.方程组有无穷多个解
8.一次函数y1＝ax＋b和y2＝－bx＋a(a≠0，b≠0)在同一坐标系中的图象如图所示，则的解中( A )
A.m＞0，n＞0
B.m＞0，n＜0
C.m＜0，n＞0
D.m＜0，n＜0
9.已知是方程组的解，那么直线y＝x－和y＝8－2x的交点坐标是 (2，4) .
10.如图，直线y＝kx(k≠0)与y＝x＋3交于点A，y＝x＋3交x轴、y轴分别于B，C两点.若＝1：2，则方程组的解为 .
第10题图 第11题图
11.如图，函数y＝20x和y＝ax－40的图象相交于点P，点P的纵坐标为40，则关于x，y的方程组的解是 .
12.已知正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝x＋2的图象相交于点P，点A是x轴上一点，且S△POA＝6，则点A的坐标是 (3，0)或(－3，0) .
13.如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)，与x轴分别交于A，B两点.
(1)求b，m的值；
(2)结合图象可知关于x，y的方程组的解是 ；
(3)求△ABP的面积.
解：(1)把点P(1，b)代入y＝2x＋1，得b＝2＋1＝3，把点P(1，3)代入y＝mx＋4，得m＋4＝3，所以m＝－1.
(3)在直线l1：y＝2x＋1中，令y＝0，则求得x＝－，
所以A（－，0），在直线l2：y＝－x＋4中，令y＝0，则x＝4，
所以B(4，0)，所以AB＝4－（－）＝，所以×3＝.
14.［几何直观］如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线AB的解析式为y＝－x＋5，直线CD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，两直线交于点E（m，），且OB∶OC＝5∶4.
(1)求直线CD的解析式；
(2)将直线CD向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过A点，且与y轴交于点F，求四边形AEDF的面积.
解：(1)将（m，）代入y＝－x＋5中，得m＝，所以E（）.令y＝－x＋5中x＝0，得y＝5，所以B(0，5)，所以OB＝5.因为OB∶OC＝5∶4，所以OC＝4，即点C的坐标为(－4，0)，将E（），C(－4，0)代入y＝kx＋b(k≠0)中，得解得
所以直线CD的解析式为y＝x＋2.
(2)令y＝－x＋5中y＝0，得－x＋5＝0，解得x＝8，所以点A的坐标为(8，0).设直线CD向下平移后的解析式为y＝x＋m，将A点的坐标代入，得m＝－4，所以直线AF的解析式为y＝x－4，所以点F的坐标为(0，－4).因为直线CD的解析式为y＝x＋2，所以D(0，2).如图，连接OE，所以四边形AEDF的面积＝S△ODE＋S△OAE＋S△OAF＝×2××8××8×4＝32.
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
知识点1 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.已知直线经过点A(2，m)和点B(n，－6)，若点A与点B关于原点对称，则这条直线对应的函数解析式是( B )
A.y＝x B.y＝3x
C.y＝x＋ D.y＝3x＋
2.［新独家原创］已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(－2，2)和(－3，1)，则下列说法正确的是( D )
A.函数图象经过第一、三、四象限
B.点(1，3)在函数图象上
C.y的值随x的增大而减小
D.函数图象与y轴的交点坐标为(0，4)
3.如图，一次函数y＝kx＋b与y＝x＋1交于点A(1，m)，直线y＝kx＋b交y轴于点B(0，4).
(1)试确定m，k，b的值；
(2)当0≤x≤2时，写出二元一次方程kx－y＝－b的所有整数解；
(3)写出方程组的解.
解：(1)因为一次函数y＝kx＋b与y＝x＋1交于点A(1，m)，
所以m＝1＋1＝2，所以A(1，2).因为直线y＝kx＋b交y轴于点B(0，4)，所以解得
(2)因为一次函数y＝kx＋b中的k＝－2，b＝4，所以y＝－2x＋4，所以当x＝0，1，2时，y＝4，2，0，所以二元一次方程kx－y＝－b的所有整数解为
(3)解方程组即解方程组
得
知识点2 通过确定一次函数表达式解决实际问题
4.［情境题·体育锻炼与健康］晚上，张大爷去距家1 200 m的公园锻炼，在距离公园600 m处遇到了同去锻炼的老朋友，一起结伴到了公园.下图是张大爷距离家的路程y(m)与时间x(min)之间的函数图象，则张大爷从家到公园的平均速度为 96 m/min .
第4题图 第5题图
5.生产某种产品所需的成本y(万元)与数量x(t)之间的关系如图所示，那么生产10 t这一产品所需成本为 万元.
6.如图1，在一个深50 cm的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度y(cm)随时间x(min)的变化图象.
(1)放入的长方体的高度为 20 cm；
(2)求AB所在直线的函数表达式；
(3)求该容器注满水所用的时间.
图1 图2
解：(2)设AB所在直线的函数表达式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0).将坐标(3，20)和B(9，30)分别代入y＝kx＋b，
得解得所以AB所在直线的函数表达式为y＝x＋15.
(3)当y＝50时，得x＋15＝50，解得x＝21.所以该容器注满水所用的时间为21 min.
7.如图，长方形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA＝1，OC＝2，点D的坐标为(2，0)，则直线BD的函数表达式为( B )
A.y＝－x＋2 B.y＝－2x＋4
C.y＝－x＋3 D.y＝2x＋4
第7题图 第8题图
8.［情境题·环境保护］为增强居民的节水意识，某市实施“阶梯水价”.按照“阶梯水价”的收费标准，居民家庭每年应缴水费y(元)与用水量x(m3)的函数关系的图象如图所示.如果某个家庭全年缴水费1 180元，那么该家庭全年用水的总量是( C )
A.240 m3 B.236 m3
C.220 m3 D.200 m3
9.甲、乙两地相距2 km，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地.小明、小华离甲地的距离y(km)与出发的时间x(min)的函数图象如图所示，则小明出发后 min两人第二次相遇.
10.如图所示，线段AB，CD分别是一辆轿车的油箱剩余油量y1(L)与一辆客车的油箱剩余油量y2(L)关于行驶路程x(km)的函数图象.
(1)分别求y1，y2与x的函数关系式；
(2)如果两车同时出发，轿车的行驶速度为100 km/h，客车的行驶速度为80 km/h，当油箱的剩余油量相同时，两车行驶的时间相差多少分？
解：(1)设AB，CD所表示的函数表达式分别为y1＝k1x＋50，y2＝k2x＋80.结合题图可知解得
故y1＝－0.1x＋50(0≤x≤500)，y2＝－0.2x＋80(0≤x≤400).
(2)令y1＝y2，则有－0.1x＋50＝－0.2x＋80，解得x＝300.轿车行驶的时间为300÷100＝3(h)，客车行驶的时间为300÷80＝3(h)，3－3＝(h)＝45(min).所以当油箱的剩余油量相同时，两车行驶的时间相差45 min.
11.［运算能力］如图所示，已知点A(0，4)，C(－2，0)在直线l：y＝kx＋b上，直线l和函数y＝－4x＋a的图象交于点B.
(1)求直线l的函数表达式；
(2)若点B的横坐标是1，求关于x，y的方程组的解及a的值；
(3)若点A关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积.
解：(1)因为点A，C在直线l上，所以所以所以直线l的函数表达式为y＝2x＋4.
(2)因为点B在直线l上，当x＝1时，y＝2＋4＝6，所以点B的坐标为(1，6).因为点B是直线l与直线y＝－4x＋a的交点，所以关于x，y的方程组的解为因为点B在y＝－4x＋a上，所以－4＋a＝6，所以a＝10.
(3)因为点A与点P关于x轴对称，所以点P(0，－4)，所以AP＝4＋4＝8，OC＝2，所以S△BPC＝S△PAB＋S△PAC＝×8×1＋×8×2＝4＋8＝12.
