1 平均数与方差
第1课时 众数、算术平均数与加权平均数
知识点1 众数的概念
1.某市某一周的每日平均气温(℃)的统计结果如图所示，则这七天的每日平均气温的众数是( D )
A.14 ℃ B.15 ℃ C.16 ℃ D.17 ℃
2.某中学田径队的18名队员的年龄情况如表所示：
年龄(岁) 14 15 16 17 18
人数 3 7 3 4 1
则这些队员年龄的众数是( B )
A.14 B.15 C.16 D.17
3.［跨学科·生物］某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 89 .
知识点2 算术平均数
4.一组数据10，9，10，12，9的平均数是( D )
A.11 B.12 C.9 D.10
5.已知五个数据：2，2，x，5，8的平均数是4，现增加了一个数据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是( C )
A.0 B.2 C.4 D.5
6.x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7，…，x20的平均数为n，则 x1，x2，…，x20的平均数为( D )
A.m＋n B.
C. D.
7.一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，则数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，…，xn＋5的平均数是 10 .
8.已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3 000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2 000人，数学平均分为80分.
(1)求A地考生的数学平均分；
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给说明理由：若不能，请举例说明.
解：(1)由题意，A地考生的数学平均分为×(90×3 000＋80×2 000)＝86(分).
(2)不能.举例如下：如B地甲类学校有考生1 000人，乙类学校有考生3 000人，则B地考生的数学平均分为×(94×1 000＋82×3 000)＝85(分)，因为85＜86，所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高.
知识点3 加权平均数
9.某校竞选学生会主席分为现场演讲和答辩两个环节，其中现场演讲分占80%，答辩分占20%，小明参加并在这两个环节中分别取得85分和90分的成绩，则小明的最终成绩为( C )
A.80分 B.84分 C.86分 D.88分
10.为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动.下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表(单位：分)，若将色、形、味三项得分按1：2：2的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是( B )
小组项目 甲 乙 丙 丁
色 7 7 9 8
形 8 8 8 8
味 8 9 7 7
A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组
11.小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时∶期中∶期末＝3∶3∶4，则小明的总评成绩是 79 分.
12.若将7个数按照从小到大的顺序排成一列，中间的数恰好是这7个数的平均数，前4个数的平均数是25，后4个数的平均数是35，则这7个数的和为( B )
A.175 B.210 C.240 D.245
13.在黑板上从1开始，写出一组连续的正整数，然后擦去一个数，其余数的平均值为35，擦去的数是( C )
A.5 B.6 C.7 D.8
14.已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是( C )
A.23 B.1.15 C.11.5 D.12.5
15.一次测试，包括甲同学在内的6名同学的平均分为70分，其中甲同学考了45分，则除甲以外的5名同学的平均分为 75 分.
16.已知n为正整数，且两组数据x1，x2，x3，…，xn和y1，y2，y3，…，yn的平均数分别为 ＝4和 ＝18.
(1)求数据6x1，6x2，6x3，…，6xn的平均数；
(2)求数据ax1＋by1，ax2＋by2，…，axn＋byn的平均数.
解：(1)因为(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝4，所以x1＋x2＋x3＋…＋xn＝4n，所以数据6x1，6x2，6x3，…，6xn的平均数为(6x1＋6x2＋6x3＋…＋6xn)＝×6(x1＋x2＋x3＋…＋xn)＝×6×4n＝24.
(2)数据ax1＋by1，ax2＋by2，…，axn＋byn的平均数为
［(ax1＋by1)＋(ax2＋by2)＋…＋(axn＋byn)］＝［(ax1＋ax2＋…＋axn)＋(by1＋by2＋…＋byn)］＝［a(x1＋x2＋…＋xn)＋b(y1＋y2＋…＋yn)］＝·a(x1＋x2＋…＋xn)＋·b(y1＋y2＋…＋yn)＝a＋b＝4a＋18b.
17.［数据观念］某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
测试 项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 75 80 90
面试 93 70 68
根据录用程序，该单位组织200名职工利用投票推荐的方式对三人进行民主评议，三人的得票率(没有弃权票，每位职工只能推荐1人)如图所示，每得一票记1分.
(1)请算出三人的民主评议得分；
(2)如果根据上述三项的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？(精确到0.01)
(3)根据实际需要，该单位将笔试、面试、民主评议三项得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
解：(1)甲、乙、丙的民主评议得分分别为200×25%＝50(分)，200×40%＝80(分)，200×35%＝70(分).
(2)甲的平均成绩为≈72.67(分)，乙的平均成绩为≈76.67(分)，
丙的平均成绩为＝76(分).
因为76.67＞76＞72.67，所以候选人乙将被录用.
(3)如果将笔试、面试、民主评议三项得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩，
那么甲的个人成绩为＝72.9(分)，
乙的个人成绩为＝77(分)，
丙的个人成绩为＝77.4(分).
因为77.4＞77＞72.9，所以候选人丙将被录用.
第2课时 离差平方和、方差与标准差
知识点1 离差平方和
1.一个小组共有6名学生，在体育课的一次“定点投篮”的测试中，他们投中的个数分别为8，10，8，7，6，9，这6名学生这次测试成绩的离差平方和为 10 .
2. 小明将一组数据分成了两组｛78，80｝和｛84，85，85，86｝，则这种分组情况的组内离差平方和为 4 .
知识点2 方差、标准差
3.一组数据1，2，1，4，2的方差为( B )
A.1 B.1.2
C.1.5 D.1.6
4.某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间(单位：h)进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为，方差分别为，则( B )
甲组 4 5 6 6 7 8
乙组 2 5 6 6 7 10
A. B.
C. D.
5.已知样本a，b，c，d，e的方差为4，则a＋1，b＋1，c＋1，d＋1，e＋1的标准差为 2 ；a，b，c，d，e的方差为 1 .
知识点3 方差的应用
6.若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是( D )
A.1 B.4
C.6 D.8
7.如图是甲、乙两人5轮投篮成绩统计图(每人每轮投球10次)，则对于方差的描述正确的是( A )
A. B.
C. D.无法确定
8.［情境题·体育锻炼与健康］某球队从队员中选拔选手参加3分球投篮大赛，对报名的两名选手进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如表所示.
队员 进球数
一 二 三 四 五
甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球的平均数为＝8，方差为＝3.2.
(1)求乙进球的平均数和方差；
(2)现从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
解：(1)＝(7＋9＋7＋8＋9)÷5＝8(个)，×［(7－8)2＋(9－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2］＝0.8.
(2)因为＝3.2，＝0.8，所以，所以乙的波动小，投篮更稳定，所以应选乙去参加3分球投篮大赛.
9.若一组数据x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数和方差分别为( B )
A.17，2 B.18，2 C.17，3 D.18，3
10.教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛.两人在相同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9，8，7，7，9；乙：10，8，9，7，6.应该选( A )
A.甲 B.乙
C.甲、乙都可以 D.无法确定
11.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计如下表：
班级 参赛人数 平均字数 方差
甲 55 135 191
乙 55 135 110
某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；③甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大.上述结论正确的是 ①③ .
12.对于一次函数y＝3x＋4，自变量分别取值x1，x2，…，xn，若这组数据的方差为5，则对应的函数值y1，y2，…，yn这组数据的标准差为 3 .
13.甲、乙两台机床同时加工直径为10 mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如表所示.(单位：mm)
甲 10 9.8 10 10.2 10
乙 9.9 10 10 10.1 10
(1)分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；
(2)根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些？说明理由.
解：(1)甲机床所加工零件直径的平均数是(10＋9.8＋10＋10.2＋10)÷5＝10(mm)，乙机床所加工零件直径的平均数是(9.9＋10＋10＋10.1＋10)÷5＝10(mm).甲机床所加工零件直径的方差＝×［(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2＋(10－10)2］＝0.016，乙机床所加工零件直径的方差＝×［(9.9－10)2＋(10－10)2＋(10－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2］＝0.004.
(2)因为，所以乙机床生产零件的稳定性更好一些.
14.［数学观念］为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测验，两人在相同的条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩(单位：环)，制作了如下统计图表.
甲、乙射击成绩统计表
平均数 /环 方差 命中10 环的次数
甲 7 4 0
乙 7 5.4 1
甲、乙射击成绩折线图
(1)请补全上述图表(请在表中填空和补全折线图)；
(2)如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？
解：(2)甲应胜出.因为甲的方差小于乙的方差，甲成绩比较稳定，所以甲胜出.
(3)如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环(10环)次数多者胜出.因为甲、乙的平均成绩相同，乙只有第5，6次射击比第4次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次比第3次、第5次比第4次、第9次比第8次命中环数都低，且命中10环的次数为0，即随着比赛的进行，乙的射击成绩越来越好.(答案不唯一，合理即可)1 平均数与方差
第1课时 众数、算术平均数与加权平均数
知识点1 众数的概念
1.某市某一周的每日平均气温(℃)的统计结果如图所示，则这七天的每日平均气温的众数是( )
A.14 ℃ B.15 ℃ C.16 ℃ D.17 ℃
2.某中学田径队的18名队员的年龄情况如表所示：
年龄(岁) 14 15 16 17 18
人数 3 7 3 4 1
则这些队员年龄的众数是( )
A.14 B.15 C.16 D.17
3.［跨学科·生物］某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 .
知识点2 算术平均数
4.一组数据10，9，10，12，9的平均数是( )
A.11 B.12 C.9 D.10
5.已知五个数据：2，2，x，5，8的平均数是4，现增加了一个数据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是( )
A.0 B.2 C.4 D.5
6.x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7，…，x20的平均数为n，则 x1，x2，…，x20的平均数为( )
A.m＋n B.
C. D.
7.一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，则数据x1＋5，x2＋5，x3＋5，…，xn＋5的平均数是 .
8.已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3 000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2 000人，数学平均分为80分.
(1)求A地考生的数学平均分；
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给说明理由：若不能，请举例说明.
知识点3 加权平均数
9.某校竞选学生会主席分为现场演讲和答辩两个环节，其中现场演讲分占80%，答辩分占20%，小明参加并在这两个环节中分别取得85分和90分的成绩，则小明的最终成绩为( )
A.80分 B.84分 C.86分 D.88分
10.为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动.下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表(单位：分)，若将色、形、味三项得分按1：2：2的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是( )
小组项目 甲 乙 丙 丁
色 7 7 9 8
形 8 8 8 8
味 8 9 7 7
A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组
11.小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时∶期中∶期末＝3∶3∶4，则小明的总评成绩是 分.
12.若将7个数按照从小到大的顺序排成一列，中间的数恰好是这7个数的平均数，前4个数的平均数是25，后4个数的平均数是35，则这7个数的和为( )
A.175 B.210 C.240 D.245
13.在黑板上从1开始，写出一组连续的正整数，然后擦去一个数，其余数的平均值为35，擦去的数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
14.已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是( )
A.23 B.1.15 C.11.5 D.12.5
15.一次测试，包括甲同学在内的6名同学的平均分为70分，其中甲同学考了45分，则除甲以外的5名同学的平均分为 分.
16.已知n为正整数，且两组数据x1，x2，x3，…，xn和y1，y2，y3，…，yn的平均数分别为 ＝4和 ＝18.
(1)求数据6x1，6x2，6x3，…，6xn的平均数；
(2)求数据ax1＋by1，ax2＋by2，…，axn＋byn的平均数.
17.［数据观念］某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
测试 项目 测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 75 80 90
面试 93 70 68
根据录用程序，该单位组织200名职工利用投票推荐的方式对三人进行民主评议，三人的得票率(没有弃权票，每位职工只能推荐1人)如图所示，每得一票记1分.
(1)请算出三人的民主评议得分；
(2)如果根据上述三项的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？(精确到0.01)
(3)根据实际需要，该单位将笔试、面试、民主评议三项得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
第2课时 离差平方和、方差与标准差
知识点1 离差平方和
1.一个小组共有6名学生，在体育课的一次“定点投篮”的测试中，他们投中的个数分别为8，10，8，7，6，9，这6名学生这次测试成绩的离差平方和为 .
2. 小明将一组数据分成了两组｛78，80｝和｛84，85，85，86｝，则这种分组情况的组内离差平方和为 .
知识点2 方差、标准差
3.一组数据1，2，1，4，2的方差为( )
A.1 B.1.2
C.1.5 D.1.6
4.某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间(单位：h)进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为，方差分别为，则( )
甲组 4 5 6 6 7 8
乙组 2 5 6 6 7 10
A. B.
C. D.
5.已知样本a，b，c，d，e的方差为4，则a＋1，b＋1，c＋1，d＋1，e＋1的标准差为 ；a，b，c，d，e的方差为 .
知识点3 方差的应用
6.若一组数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x的值可能是( )
A.1 B.4
C.6 D.8
7.如图是甲、乙两人5轮投篮成绩统计图(每人每轮投球10次)，则对于方差的描述正确的是( )
A. B.
C. D.无法确定
8.［情境题·体育锻炼与健康］某球队从队员中选拔选手参加3分球投篮大赛，对报名的两名选手进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如表所示.
队员 进球数
一 二 三 四 五
甲 10 6 10 6 8
乙 7 9 7 8 9
经过计算，甲进球的平均数为＝8，方差为＝3.2.
(1)求乙进球的平均数和方差；
(2)现从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
9.若一组数据x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数和方差分别为( )
A.17，2 B.18，2 C.17，3 D.18，3
10.教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛.两人在相同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9，8，7，7，9；乙：10，8，9，7，6.应该选( )
A.甲 B.乙
C.甲、乙都可以 D.无法确定
11.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计如下表：
班级 参赛人数 平均字数 方差
甲 55 135 191
乙 55 135 110
某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；③甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大.上述结论正确的是 .
12.对于一次函数y＝3x＋4，自变量分别取值x1，x2，…，xn，若这组数据的方差为5，则对应的函数值y1，y2，…，yn这组数据的标准差为 .
13.甲、乙两台机床同时加工直径为10 mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如表所示.(单位：mm)
甲 10 9.8 10 10.2 10
乙 9.9 10 10 10.1 10
(1)分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；
(2)根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些？说明理由.
14.［数学观念］为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测验，两人在相同的条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩(单位：环)，制作了如下统计图表.
甲、乙射击成绩统计表
平均数 /环 方差 命中10 环的次数
甲 7 0
乙 1
甲、乙射击成绩折线图
(1)请补全上述图表(请在表中填空和补全折线图)；
(2)如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？
