第一章 勾股定理 本章总结提升
1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( C )
A.6，8，10 B.7，24，25
C.1.5，2，3 D.9，12，15
2.有公共边的两个直角三角形，称为“双生直角三角形”.给出下列数据，对应的边长不能构成“双生直角三角形”的是( D )
A.3，4，5，12，13 B.9，30，40，41，50
C.7，15，20，24，25 D.5，6，8，10，5
3.国庆假期中，小众与同学去玩探宝游戏，按照探宝图(如图)，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走6 km后往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( D )
A.20 km B.14 km C.11 km D.10 km
第3题图 第4题图
4.如图是一扇高为2 m，宽为1.5 m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长2.8 m，宽2.8 m；③号木板长4 m，宽2.4 m.可以从这扇门通过的木板是( C )
A.①号 B.②号
C.③号 D.均不能通过
5.如图，在小正方形组成的网格图中，标有AB，CD，EF，GH四条线段下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是( B )
A.AB，CD，EF B.AB，CD，GH
C.AB，EF，GH D.CD，EF，GH
6.如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿4 cm的点A处.若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为( C )
A.9 cm B.10 cm C.18 cm D.20 cm
第6题图 第7题图
7.如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20 m，宽AD＝10 m，中间有一堵砖墙高MN＝2 m，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬行( D )
A.20 m B.24 m C.25 m D.26 m
8.［情境题·国防安全］如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国流域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 n mile的A，B两个基地前去拦截，6 min后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120 n mile，乙巡逻艇每小时航行50 n mile，航向为北偏西40°，甲巡逻艇的航向为( C )
A.北偏东40°
B.南偏东50°
C.北偏东50°
D.南偏西50°
9.［情境题·数学文化］“赵爽弦图证法”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 5 .
第9题图 第10题图
10.如图，一扇卷闸门用一块宽18 cm，长80 cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起 82 cm高.
11.已知一个三角形的三条边的长分别为0.9，4和4.1，那么这个三角形的最大内角的大小为 90 度.
12.［梯子滑动模型］如图，一架长25 m的云梯斜靠在墙上，云梯底端在点A处离墙7 m，如果云梯的底部在水平方向向左滑动8 m到点B处，那么云梯的顶端向下滑了 4 m.
第12题图 第13题图
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为直径的圆恰好过点B.若AB＝8，BC＝6，则阴影部分的面积是 25π－24 .
14.如图，在四边形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝12 cm，以CD为边在四边形ABCD外部作面积为169 cm2的正方形CDEF，∠ABC＝90°.
(1)连接AC，求AC和CD的长；
(2)求四边形ABCD的面积.
解：(1)如图，连接AC，由勾股定理得AC2＝BC2＋AB2＝32＋42＝25，所以AC＝5 cm.因为S正方形CDEF＝CD2＝169 cm2，所以CD＝13 cm.
(2)因为52＋122＝132，即AC2＋AD2＝CD2，所以△ACD为直角三角形，且∠CAD＝90°，所以S△ACD＝AC·AD＝×5×12＝30(cm2).又S△ABC＝AB·BC＝×4×3＝6(cm2)，所以S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝36(cm2).
15.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20 cm，D是边AB上一点，且CD＝16 cm，BD＝12 cm.
(1)求AD的长；
(2)求△ABC中BC边上的高.
解：(1)因为BC＝20 cm，且CD＝16 cm，BD＝12 cm，BD2＋CD2＝BC2，所以∠BDC＝90°，所以∠ADC＝90°.设AD＝x cm，则AC＝AB＝(x＋12)cm.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2，即x2＋162＝(x＋12)2，解得x＝，即AD＝ cm.
(2)AB＝AC＝＋12＝(cm)，如图，过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高.因为AB＝AC，BC＝20 cm，所以BE＝CE＝10 cm.在Rt△AEB中，由勾股定理，得AE2＝AB2－BE2＝（）2－102＝（）2，所以AE＝ cm，即△ABC中BC边上的高是 cm.
16.［情境题·交通安全］“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪观测点A正前方30 m的点B处，过了2 s后，测得小汽车到达C点并与车速检测仪观测点A间的距离为 50 m，这辆小汽车超速了吗？
解：由勾股定理得，BC2＝AC2－AB2＝502－302＝1 600，所以BC＝40 m，所以v＝40÷2＝20 m/s，因为20×3.6＝72，所以20 m/s＝72 km/h，72＞70，所以这辆小汽车超速了.
17.如图，某中学有一块四边形空地ABCD.为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m.若每种植1 m2草皮需要200元，则共需投入多少元？
解：连接AC.在Rt△ACD中，AC2＝CD2＋AD2＝62＋82＝102，所以AC＝10.在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102＋242＝262，即AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，所以S四边形ABCD＝S△ACB－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×10×24－×8×6＝96(m2).96×200＝19 200(元)，所以共需投入19 200元.
18.［推理能力］如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△AED，连接BE，延长DE，BC相交于点F，则∠BFE＝90°，且四边形ACFD是正方形.
(1)判断△ABE的形状，并说明理由；
(2)用含b的代数式表示四边形ABFE的面积；
(3)试说明：a2＋b2＝c2.
解：(1)△ABE是等腰直角三角形.理由：因为Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△AED，所以∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，所以∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE＝90°，所以△ABE是等腰直角三角形.
(2)由旋转的性质可知△ABC≌△AED，所以四边形ABFE的面积等于正方形ACFD的面积，所以四边形ABFE的面积等于b2.
(3)因为S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，所以b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，所以a2＋b2＝c2.第一章 勾股定理 本章总结提升
1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )
A.6，8，10 B.7，24，25
C.1.5，2，3 D.9，12，15
2.有公共边的两个直角三角形，称为“双生直角三角形”.给出下列数据，对应的边长不能构成“双生直角三角形”的是( )
A.3，4，5，12，13 B.9，30，40，41，50
C.7，15，20，24，25 D.5，6，8，10，5
3.国庆假期中，小众与同学去玩探宝游戏，按照探宝图(如图)，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走6 km后往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )
A.20 km B.14 km C.11 km D.10 km
第3题图 第4题图
4.如图是一扇高为2 m，宽为1.5 m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长2.8 m，宽2.8 m；③号木板长4 m，宽2.4 m.可以从这扇门通过的木板是( )
A.①号 B.②号
C.③号 D.均不能通过
5.如图，在小正方形组成的网格图中，标有AB，CD，EF，GH四条线段下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是( )
A.AB，CD，EF B.AB，CD，GH
C.AB，EF，GH D.CD，EF，GH
6.如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿4 cm的点A处.若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为( )
A.9 cm B.10 cm C.18 cm D.20 cm
第6题图 第7题图
7.如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20 m，宽AD＝10 m，中间有一堵砖墙高MN＝2 m，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬行( )
A.20 m B.24 m C.25 m D.26 m
8.［情境题·国防安全］如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国流域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 n mile的A，B两个基地前去拦截，6 min后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120 n mile，乙巡逻艇每小时航行50 n mile，航向为北偏西40°，甲巡逻艇的航向为( )
A.北偏东40°
B.南偏东50°
C.北偏东50°
D.南偏西50°
9.［情境题·数学文化］“赵爽弦图证法”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 .
第9题图 第10题图
10.如图，一扇卷闸门用一块宽18 cm，长80 cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起 cm高.
11.已知一个三角形的三条边的长分别为0.9，4和4.1，那么这个三角形的最大内角的大小为 度.
12.［梯子滑动模型］如图，一架长25 m的云梯斜靠在墙上，云梯底端在点A处离墙7 m，如果云梯的底部在水平方向向左滑动8 m到点B处，那么云梯的顶端向下滑了 m.
第12题图 第13题图
13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为直径的圆恰好过点B.若AB＝8，BC＝6，则阴影部分的面积是 .
14.如图，在四边形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝12 cm，以CD为边在四边形ABCD外部作面积为169 cm2的正方形CDEF，∠ABC＝90°.
(1)连接AC，求AC和CD的长；
(2)求四边形ABCD的面积.
15.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20 cm，D是边AB上一点，且CD＝16 cm，BD＝12 cm.
(1)求AD的长；
(2)求△ABC中BC边上的高.
16.［情境题·交通安全］“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪观测点A正前方30 m的点B处，过了2 s后，测得小汽车到达C点并与车速检测仪观测点A间的距离为 50 m，这辆小汽车超速了吗？
17.如图，某中学有一块四边形空地ABCD.为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m.若每种植1 m2草皮需要200元，则共需投入多少元？
18.［推理能力］如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A逆时针旋转90°得到Rt△AED，连接BE，延长DE，BC相交于点F，则∠BFE＝90°，且四边形ACFD是正方形.
(1)判断△ABE的形状，并说明理由；
(2)用含b的代数式表示四边形ABFE的面积；
(3)试说明：a2＋b2＝c2.
