重庆市南开中学高2025-2026学年高三上学期开学第一次检测数学试卷（PDF版，含解析）

(2)f(3x)=(1+1og3(3x))·（4-2log3(3x))=（2+1og3x)·（2-21og3x),又f(3x)≥mlog3x,
即(2+logx)·(2-2logx)≥mlg3x,即-log2x-logt+2≥%1ogx恒成立.…8分
当x=1时，有meR:当(1,9]时，令n=ie(0.21,有-1+2-分又y=-1+
1
t
在(0,2]上单调递减，y的最小值是-2，则m≤-4，综上，m≤-4.
…13分
16.(15分)
解：1)Sm-24P·C·sm∠4PC=2sin∠Ae,由题sinLAPC最大值为号
…1分
则圆锥轴截面等腰三角形的顶角为锐角，否则sin∠APC的最大值为1.由正弦函数在(0，）单调
递增可得，∠APC最大值为，此时AC过底面圆心.…
3分
40=1,P0=3,w=3·A02.P0=
4分
(2)如图，已知四边形ABCD为矩形，过B点作P0的平行线为z轴建立如图所示的B-y%空间直
角坐标系，
B(00.0).(10.0)405,0).P3,015.0y
…6分
设平面PAD与平面PBC的法向量分别为m=(x1,y1,a1),
n=(x2,y2,2),则有：
rm·PA=0
.AD=0'
21+31=0,令41=1，m=(0,2,1)
lx1=0
答题纸上作图1分
…9分
rn·BP=0
片+
元.BC=0
为+3，=0，令，=-1，R=(0,2,-1)
12分
lx2=0
m·n
3
.cos 0=cos =
m.
子，所以平面P1)与平面PC所成夹角的余孩值为
15分
17.(15分)
解：(1)X可能的取值为0,1,2.
..........
1分
1.11
当X=0时，p=2×2=4'
2分
1111
当X=1时，p=C2×2×2×2=4’
3分
当X=2时，p=1-p(X=0)-p(X=1)=2,
4分
数学试题参考答案第3页（共6页）
所以X的分布列为：
X
0
1
2
1
1
1
D
4
5分
。15
E(X)=1×4+2×2=4
6分
(2)设甲乙获得纪念品的概率为P。,则P。=p2q+C2p(1-p)q2+C2p2q(1-q)
P。=-3pg+2pg(p+g）,…9分
而1+1=6,6pg=p+g≥2Vp网，p9≥g
12分
P=9p2g≥g,
1
14分
当H仅当n=9= 时取得最小值)
15分
18.(17分)
解：1)市s意，20-4，公-所以4=2,6-3，放C的方程为+号-1
…3分
(2)(i)当EH斜率不存在时，设E(x,yo),H(x,-yo)
酒-酒日8-网为-学
所以3生-草则=0才店
2
4分
则可设E(x1,y1),H(x2,y2),EH:y=kx+m,与椭圆联立有(3+42)x2+8kmx+4m2-12=0
8km
由△>0可得4+3>m.+=3+42=
4m2-12
3+42
6分
则h-5为-5三-1有，+m-3)(+m-3)_1
比1
24有
X1X2
4
所以++(m-)(名+)+(m-)2-0,韦达定理代人有
-3）（4m-2小0所以m-号或m=3(舍)m
9分
3+42
所以直线BH过定点0，》，则G点作以0为直径的圆上，其方程为
6
y≠0)
11分
T)由(1)可得，M正好为圆心，所以△PMG最大的高为3
13分
因为IPM1=+
=4w6-=3-+4+
6%∈[-5，W3]
…15分
当0=
3时，M有技大估9.所以82×至x西.
2-16
…17分
数学试题参考答案第4页（共6页）