第一章勾股定理 测试卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是( )
A.4 cm，8 cm，7 cm B.3 cm，5 cm，2 cm
C.2 cm，2 cm，4 cm D.13 cm，12 cm，5 cm
2.如图，在一个高为3 m，斜边长为5 m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为( )
A.4 m B.5 m C.7 m D.8 m
第2题图 第6题图 第7题图
3.在△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是( )
A.21 B.36 C.48 D.36或48
4.若一直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长的平方是( )
A.169 B.169或119 C.13或15 D.15
5.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6.如图，甲船以20 n mile/h的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15 n mile/h的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2 h后，两船相距( )
A.40 n mile B.45 n mile C.50 n mile D.55 n mile
7.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.如图，正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2……按此规律继续下去，则S5的值为( )
A.（）4 B.（）3 C.（）5 D.
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，长方体的高为9 dm，底面是边长为6 dm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为( )
A.10 dm B.12 dm C.15 dm D.20 dm
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是( )
A.1.5 B.1.8 C.2 D.2.5
二、填空题(每小题4分，共20分)
11.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64 cm2，则x的长为 cm.
第11题图 第12题图 第13题图
12.如图所示是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点.若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是 .
13.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其顶点C与A重合，折痕为EF.若AB＝1，BC＝2，则AF长为 .
14.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA2＝50，则BD2＝ .
第14题图 第15题图
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 .
三、解答题(共70分)
16.(6分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积.
17.(6分)如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上有两根拉索分别为AB，AC.
(1)若拉索AB⊥AC，AB，BC的长度分别为10 m，26 m，求拉索AC的长度；
(2)若AB，AC的长分别为13 m，20 m，且固定点B，C之间的距离为21 m，求主梁AD的高度.
18.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4.
(1)若BC＝3，求AB的长；
(2)若BC＝a，AB＝c，求代数式(c－2)2－(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)的值.
19.(6分)如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600 km的B处，以每小时200 km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500 km的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
(提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)
20.(10分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长.
21.(10分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图所示(简图)，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为3，求S1＋S2＋S3的值.
22.(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值.
23.(14分)阅读材料，解决下列问题。
材料：实际问题：如图1，一圆柱的底面半径为5 cm，BC是底面直径，高AB为5 cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线.
解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图2所示.
设路线1的长度为l1，则＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2；
路线2：高线AB＋底面直径BC，如图1所示.
设路线2的长度为l2，则＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
比较l1，l2的大小，采用“作差法”：
因为＝25(π2－8)＞0，
所以，所以l1＞l2.
小明认为应选择路线2，路线2较短.
(1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1 cm，高AB为5 cm”.请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小；
(2)如图3，把两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5 cm，当蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r. (注：按上面小明所设计的两条路线方式求解)第一章勾股定理 测试卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是( D )
A.4 cm，8 cm，7 cm B.3 cm，5 cm，2 cm
C.2 cm，2 cm，4 cm D.13 cm，12 cm，5 cm
2.如图，在一个高为3 m，斜边长为5 m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为( C )
A.4 m B.5 m C.7 m D.8 m
第2题图 第6题图 第7题图
3.在△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是( D )
A.21 B.36 C.48 D.36或48
4.若一直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长的平方是( B )
A.169 B.169或119 C.13或15 D.15
5.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( D )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6.如图，甲船以20 n mile/h的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15 n mile/h的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2 h后，两船相距( C )
A.40 n mile B.45 n mile C.50 n mile D.55 n mile
7.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为( C )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.如图，正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2……按此规律继续下去，则S5的值为( A )
A.（）4 B.（）3 C.（）5 D.
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，长方体的高为9 dm，底面是边长为6 dm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为( C )
A.10 dm B.12 dm C.15 dm D.20 dm
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是( A )
A.1.5 B.1.8 C.2 D.2.5
二、填空题(每小题4分，共20分)
11.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64 cm2，则x的长为 17 cm.
第11题图 第12题图 第13题图
12.如图所示是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点.若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是 130 cm .
13.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其顶点C与A重合，折痕为EF.若AB＝1，BC＝2，则AF长为 .
14.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA2＝50，则BD2＝ 65 .
第14题图 第15题图
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为 3或或2 .
三、解答题(共70分)
16.(6分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积.
解：因为∠B＝90°，所以△ABC为直角三角形，又因为AB＝3，BC＝4，所以根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝25，所以AC＝5.又因为CD＝12，AD＝13，所以AD2＝132＝169，CD2＋AC2＝122＋52＝144＋25＝169，所以CD2＋AC2＝AD2，所以△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，则AB BC＋AC CD＝×3×4＋×5×12＝36.故四边形ABCD的面积是36.
17.(6分)如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上有两根拉索分别为AB，AC.
(1)若拉索AB⊥AC，AB，BC的长度分别为10 m，26 m，求拉索AC的长度；
(2)若AB，AC的长分别为13 m，20 m，且固定点B，C之间的距离为21 m，求主梁AD的高度.
解：(1)因为AB⊥AC，所以∠BAC＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2＝BC2－AB2＝262－102＝242，所以AC＝24 m.
因为BC＝21 m，所以CD＝(21－BD)m.因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2＝AB2－BD2.在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD2＝AC2－CD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，所以132－BD2＝202－(21－BD)2，所以BD＝5，所以AD2＝AB2－BD2＝132－52＝122，所以AD＝
12 m.
18.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4.
(1)若BC＝3，求AB的长；
(2)若BC＝a，AB＝c，求代数式(c－2)2－(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)的值.
解：(1)在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，所以AB2＝AC2＋BC2＝42＋32＝25.所以AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，所以∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝4，所以c2－a2＝42＝16.所以(c－2)2－(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)＝c2－4c＋4－(a2＋8a＋16)＋4c＋8a＋12＝c2－4c＋4－a2－8a－16＋4c＋8a＋12＝c2－a2＝16.
19.(6分)如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600 km的B处，以每小时200 km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500 km的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
(提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)
解：(1)A城受到这次台风的影响.理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600 km，则AM＝300 km，因为300＜500，所以A城会受台风影响.
(2)设BC上点D，DA＝500 km，则还有一点G，有AG＝500 km.因为DA＝AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD＝GM，在Rt△ADM中，DA＝500 km，AM＝300 km，由勾股定理得，MD2＝AD2－AM2，所以MD＝400 km，则DG＝2DM＝800 km，遭受台风影响的时间是t＝800÷200＝4(h)，所以A城遭受这次台风影响时间为4 h.
20.(10分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长.
解：(1)△ABC是直角三角形.理由：连接CE.因为D是BC的中点，DE⊥BC，所以CE＝BE.因为BE2－AE2＝AC2，所以CE2－AE2＝AC2，即AE2＋AC2＝CE2，所以∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形.
(2)因为DE⊥BC，所以∠BDE＝90°.在Rt△BDE中，DE＝3，BD＝4，所以BE2＝DE2＋BD2＝25，所以CE＝BE＝5.由(1)可知∠A＝90°，所以AC2＝CE2－AE2＝25－AE2.因为D是BC的中点，所以BC＝2BD＝8.在Rt△ABC中，AB＝5＋AE，由勾股定理得BC2－BA2＝AC2，所以64－(5＋AE)2＝25－AE2，所以AE＝.
21.(10分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图所示(简图)，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为3，求S1＋S2＋S3的值.
解：在Rt△CFG中，CG2＋CF2＝GF2.因为八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，所以CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，所以S1＝(CG＋DG)2＝CG2＋DG2＋2CG·DG＝CG2＋CF2＋2CG·DG＝GF2＋2CG·DG，S2＝GF2，S3＝(KF－NF)2＝KF2＋NF2－2KF·NF.因为正方形EFGH的边长为3，所以GF2＝9，所以S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG·DG＋GF2＋KF2＋NF2－2KF·NF＝3GF2＝27.
22.(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值.
解：(1)在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，所以BC＝4 cm.
(2)由题意知BP＝t cm，如图1，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4.如图2，当∠BAP为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，所以52＋［32＋(t－4)2］＝t2，解得t＝.综上，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或.
23.(14分)阅读材料，解决下列问题。
材料：实际问题：如图1，一圆柱的底面半径为5 cm，BC是底面直径，高AB为5 cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线.
解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图2所示.
设路线1的长度为l1，则＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2；
路线2：高线AB＋底面直径BC，如图1所示.
设路线2的长度为l2，则＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
比较l1，l2的大小，采用“作差法”：
因为＝25(π2－8)＞0，
所以，所以l1＞l2.
小明认为应选择路线2，路线2较短.
(1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1 cm，高AB为5 cm”.请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小；
(2)如图3，把两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5 cm，当蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r. (注：按上面小明所设计的两条路线方式求解)
解：(1)因为圆柱的底面半径为1 cm，高AB为5 cm，所以路线1为＝AC2＝AB2＋BC2＝25＋π2；路线2为l2＝AB＋BC＝5＋2＝7，＝(AB＋BC)2＝49.因为＝25＋π2－49＝π2－24＜0，所以，所以l1＜l2.
(2)由题知圆柱的高为5 cm.如图是沿两圆柱相交处剪开的侧面展开图，所以＝AC2＝AB2＋BC2＝25＋(2πr)2，＝(AB＋BC)2＝(5＋4r)2，由题意得25＋(2πr)2＝(5＋4r)2，解得r＝.即当圆柱的底面半径r为 cm时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的两条路线长度相等.
