浙江省重点中学2026届高三上学期开学考试数学试题（含解析）

浙江省重点中学2026届高三上学期开学考试
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.已知向量，，.若三点共线，则（ ）
. . . .
3.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
.第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限
4.设是等差数列，其前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ）
.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充分必要条件 .既不充分也不必要条件
5.已知方程的两根分别为，且，则（ ）
.或 .或 . .
6.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）个.
. . . .
7.已知椭圆与双曲线由相同的焦点，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴与点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
. . . .
8.如图，边长为2的正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，且点和点到平面的距离均为，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
. .
. .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知圆，是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ）
.圆与直线相离 .存在最小值
.存在最大值 .存在点使得为直角三角形
10.已知为常数，函数有且只有一个极值点，则（ ）
. .
.为极大值点 .
11.已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，，面积为，若，，，，则（ ）
.是递增数列 .是递减数列
.存在最大项 .存在最小项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知某场考试考生人数为10000人，考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为 .（结果四舍五入取整数）
13.在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 .
14.有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知，的部分图像如图所示，分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为.
（1）求的最小正周期及的值；
（2）若点的坐标为，，求的值.
16.（15分）已知两组各有7为病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组 11 12 13 14 15 16 17
B组 13 14 16 17 18 15
假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙.
（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（2）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（3）写出为何值时，两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明）
17.（15分）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形中，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设.
①直线与平面所成的角为30°，求线段的长；
②线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由.
18.（17分）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.
（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（2）如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交与两点，求的面积.
19.（17分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.
（1）用和表示；
（2）求对所有都有成立的的最小值；
（3）当时，比较与的大小，并说明理由.
答案解析
一、选择题
1.C 解析：由题设，表示的是奇数集合，
∴.
2.C 解析：∵向量，，，∴，
∵三点共线，则，∴，解得.
3.D 解析：设，∵，∴，∴在复平面内对应的点位于第四象限.
4.C 解析：设的公差为，
充分性证明：由得：，∴，即，∴为递增数列；
必要性证明：由为递增数列得：，
∴，
∴“”是“为递增数列”的充分必要条件.
5.D 解析：根据题意，，，∴，
又∵，，∴，，
∴，∴，∴，∴.
6.A 解析：由于1,4,1,5,9,2,6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有，故得到的数大于3.14的不同情况有.
7.D 解析：由椭圆定义知：，，
由双曲线定义知：，
∴，，
设， ∵交轴与点，且平分，
∴，
在中，由余弦定理知：，
设，则，
由角平分线定理可得：，即，解得，
在中，，
整理可得.∵，解得.
因此，双曲线的离心率为.
8.A 解析：点和点到平面的距离相等，故平面，
而为平面的法向量，故平面平面，
分别过作平面的垂线，垂足为，
如图，则三点共线，
由，且与中点重合可知.
因此，，故，
由，易知点到平面的距离为，
又∵与中点重合，且平面，
因此点到平面的距离为，而点到平面的距离为，且，
故直线与平面的夹角正弦值为，
易知直线与平面垂直，故平面与平面的夹角的余弦值为.
二、选择题
9.AB 解析：圆的圆心，半径，
对于A，点到直线的距离，
∴圆与直线相离，故A正确；
对于B，，
当且仅当时，取等号，故B正确；
对于C，由垂直平分得，，
则，
当且仅当时取等号，∴不存在最大值，故C错误；
对于D，由A可知，，若为直角三角形，则，
从而，又，∴不存在点使得为直角三角形
故D错误.
10.ABD 解析：，由题意有且只有一个极值点，
可得有且仅有一个变号零点，故曲线与直线有且只有一个穿越型交点，由图可知，，故AB正确；
当时，；当时，，
故为极小值点，故C错误；
，代入，得，故D正确.
11.ACD 解析：由题意知：，故，
即，即，∴，则，
故，
由得：，
即，∴.则，
而，故，
则，∴，由于随的增大而减小，
故时随的增大而增大，由题意知，故是递增数列，故A正确；
同理随的增大而增大，是递增数列，故B错误；
又，由于，，
且，∴是首项为7，公比为的等比数列，故，
∴，∵，
∴，，
∴，
∴，其中，
，其中，
∵数列随着的增大而减小，
数列随着的增大而增大，
故数列随着的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，
同理，数列随着的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的，
综上，数列中最大项为，最小项为，故CD正确.
三、填空题
12.
13. 解析：∵在的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，∴，
∴的展开式的通项公式，，
设展开式中系数最大项是，则，即，
解得，，∴，.
∴展开式中系数最大的项是.
14. 解析：由题知红球，黄球，黑球个数分别为5,5，10，
记“最后打开的盒子中的球是黄球”为事件B，“最后打开的盒子中的球是黑球”为事件C，显然事件B与事件C互斥，
记“红球最先全部开出”为事件A，则.
当事件B发生时，只需考虑装红球、黑球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那个盒子是黑球，可得，则.
当事件C发生时，只需考虑装有红球，黄球的所有盒子已全部打开，最后被打开的盒子是黄球，可得，则，
∴.
四、解答题
15.解：（1）函数的最小正周期，
由为函数图象的最高点，得，
解得，而，∴.
（2）由为函数图象的最低点，，，
得点的坐标为，，，
又，则，
过点作于点，，因此.
16.解：（1）设事件为“甲是A组的第个人”，事件为“乙是B组的第个人”，.
由题意，得，
由题意可知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或第6人，或第7人”，
∴甲的康复时间不少于14天的概率是.
（2）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，由题意得
因此，
（3）A组病人康复时间平均数为：，
其方差为，
B组病人康复时间平均数为：，
其方差为，
依题意：，解得或.
17.解：（1）∵底面，面，∴，
又∵，，平面，∴平面，
由∵平面，∴平面平面.
（2）①以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
在面内，作交于点，
则，
在中，，
，
设，则，，由，得，
∴，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得平面的一个法向量为，
又，故由直线与平面所成的角为30°，，
即，解得或（舍去），∴.
②如图所示，假设线段上存在一个点，
使得点到点的距离都相等.
设，
则，，，
因此由，得，即，
又由，得，
联立两式，消去，整理得，由，
∵方程没有实数根，
∴在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等.
18.解：（1）依题意，设双曲线的标准方程为，
由题意可得，半焦距，离心率，则，，
∴双曲线的标准方程为，其渐近线的方程为.
（2）依题意，点在直线和直线上，
则且，于是点均在直线上，
因此直线的方程为.
设分别是直线与渐近线和的交点，
由及，
解得点纵坐标，点纵坐标，
设直线与轴的交点为，则在直线中，
令，得点横坐标，而，
因此，
∴的面积为2.
19.解：（1）由已知得，交点的坐标为，对求导得，
则抛物线在点处的切线方程为，即，则，
（2）由（1）知，则成立的充要条件是，
即知，对于所有的成立，特别地，其时，得到，
当，时，
，
当时，显然，
故当时，对所有自然数都成立，
∴满足条件的的最小值是.
（3）由（1）知，则，，
下面证明：，
首先证明：当时，，
设函数，则，
当时，；当时，，
故在区间上的最小值，
∴当时，，即得，
由知，因此，
从而.