1.2 一定是直角三角形吗 同步练习（含解析） -2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

1.2一定是直角三角形吗
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 新罗区期末）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
2．（2025春 滁州期末）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c
3．（2025春 望城区期末）下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．（2025春 道外区期中）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（　　）
A．6，7，8 B．5，6，7 C． D．5，12，13
5．（2025春 东宝区校级期末）下列是勾股数的一组是（　　）
A．4，5，6 B．1， C．5，12，13 D．1，
6．（2024秋 中牟县期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝90° B．a2＝3，b2＝4，c2＝5
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a2＝c2﹣b2
7．（2025春 武威期中）小丽拿三根不同长度的木棍首尾顺次相接围成三角形，请你帮她计算以下哪组木棍的长度围出的三角形能围成直角三角形（　　）
A．2，3，4 B．2，4，5 C．3，4，5 D．4，5，6
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 思明区校级期中）如图，AB⊥l1，CB⊥l2，且AB＝12，AC＝5，BC＝13，则点C到直线AB的距离是　 　 ．
9．（2024秋 丹徒区期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　 　 ．
10．（2024秋 宁波校级期中）三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积是 　 　 ．
11．（2024春 楚雄州期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC的长为 　 　 ．
12．（2023秋 泰山区期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，有以下5个条件：①∠A：∠B：∠C＝3：4：5；②a：b：c＝5：12：13；③a2：b2：c2＝2：5：7；④a2＝（b+c）（b﹣c）；⑤∠A＝∠C﹣∠B．其中能判断△ABC是直角三角形的是 　 　 （填序号）．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 长沙期末）已知：四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝13，CD＝12．
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
14．（2025春 封开县期末）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）利用勾股定理求出线段长：AB＝　 　 ，AD＝　 　 ，BC＝　 　 ，CD＝　 　 ；
（2）求证：∠BCD＝90°．
15．（2025春 蚌埠期末）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点．
（1）直接写出下列线段的长度：AB＝ 　 　 ，AD＝ 　 　 ；
（2）连接BD，判断△ABD形状，并证明你的结论．
1.2一定是直角三角形吗
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 新罗区期末）下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
【解答】解：A、∵22+22≠32，∴2，2，3不能构成直角三角形；
B、∵22+32≠42，∴2，3，4不能构成直角三角形；
C、∵32+42＝52，∴3，4，5能构成直角三角形；
D、∵42+52≠62，∴4，5，6不能构成直角三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．（2025春 滁州期末）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝3，b＝4，c＝6 D．a＝1，b＝1，c
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22≠22，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B、22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C、32+42≠62，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D、12+12＝（）2，故能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
3．（2025春 望城区期末）下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【答案】D
【分析】A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可；
B、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；
C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；
D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．
【解答】解：A、正确，a2+b2＝c2符合勾股定理的逆定理，故成立；
B、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；
C、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形；
D、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得，x＝15°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
4．（2025春 道外区期中）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（　　）
A．6，7，8 B．5，6，7 C． D．5，12，13
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为62+72≠82，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
B、因为52+62≠72，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
C、因为（）2+（）2≠（）2，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
D、因为52+122＝132，所以能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
5．（2025春 东宝区校级期末）下列是勾股数的一组是（　　）
A．4，5，6 B．1， C．5，12，13 D．1，
【考点】勾股数．
【专题】实数；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解：A.42+52≠62，不是勾股数，不符合题意；
B.，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C.122+52＝132，且5，12，13都是正整数，是勾股数，符合题意；
D.，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的定义，关键是根据勾股数的定义解答．
6．（2024秋 中牟县期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝90° B．a2＝3，b2＝4，c2＝5
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a2＝c2﹣b2
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝3+4＝7，c2＝5，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵a＝5，b＝12，c＝13，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
7．（2025春 武威期中）小丽拿三根不同长度的木棍首尾顺次相接围成三角形，请你帮她计算以下哪组木棍的长度围出的三角形能围成直角三角形（　　）
A．2，3，4 B．2，4，5 C．3，4，5 D．4，5，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵22+42＝20，52＝25，
∴22+42≠52，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵42+52＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 思明区校级期中）如图，AB⊥l1，CB⊥l2，且AB＝12，AC＝5，BC＝13，则点C到直线AB的距离是　5　 ．
【考点】勾股定理的逆定理；点到直线的距离．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】5．
【分析】根据点C到直线AB的距离即为AC的长求解即可．
【解答】解：∵AB⊥l1，
∴∠CAB＝90°，
∵AC＝5，
∴点C到直线AB的距离是5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的定义是解题的关键．
9．（2024秋 丹徒区期末）一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为 　　 ．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知先判定其形状，再根据直角三角形斜边上中线的性质求得其中线长．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，12，13，符合勾股定理的逆定理52+122＝132，
∴此三角形为直角三角形，则13为直角三角形的斜边，
∵三角形斜边上的中线是斜边的一半，
∴三角形最长边上的中线为．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的逆用，解答此题的关键是先判断出三角形的形状，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半判断．
10．（2024秋 宁波校级期中）三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积是 　6　 ．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，然后利用三角形面积公式即可求得答案．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5，
∴52＝32+42，
∴此三角形为直角三角形，
∴这个三角形的面积3×4＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理理解和掌握，解答此题的关键是根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，此题难度不大，属于基础题．
11．（2024春 楚雄州期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC的长为 　9　 ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】三角形．
【答案】9．
【分析】根据勾股定理的逆定理可判断出△ADB为直角三角形，即∠ADB＝90°，在Rt△ADC中利用勾股定理可得出CD的长度．
【解答】解：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，CD9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，掌握其性质是解题的关键．
12．（2023秋 泰山区期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，有以下5个条件：①∠A：∠B：∠C＝3：4：5；②a：b：c＝5：12：13；③a2：b2：c2＝2：5：7；④a2＝（b+c）（b﹣c）；⑤∠A＝∠C﹣∠B．其中能判断△ABC是直角三角形的是 　②③④⑤　 （填序号）．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】②③④⑤．
【分析】①求出最大角∠C＝75°，可判断△ABC不是直角三角形；
②可以得出a2+b2＝c2，可判断△ABC是直角三角形；
③以得出a2+b2＝c2，可判断△ABC是直角三角形；
④可以得出a2+c2＝b2，可判断△ABC是直角三角形；
⑤求出∠C＝90°，可判断△ABC是直角三角形．
【解答】解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC是锐角三角形，
所以此选项不符合题意；
②∵a：b：c＝5：12：13，
设a＝5x，则b＝12x，c＝13x，
∴a2+b2＝169x2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项符合题意；
③a2：b2：c2＝2：5：7，
设a2＝2x，则b2＝5x，c2＝7x，
∴a2+b2＝7x＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项符合题意；
④∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项符合题意；
⑤∵∠A＝∠C﹣∠B，
∴∠C＝∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
解得∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项符合题意；
故答案为：②③④⑤．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活掌握并使用勾股定理的逆定理．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 长沙期末）已知：四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝13，CD＝12．
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理求出BD即可；
（2）先判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，DA＝4，
根据勾股定理得，BD5；
（2）在△BCD中，BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴CD2+BD2＝122+52＝132＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
AB ADCD BD
3×412×5
＝36．
【点评】此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△BCD是直角三角形．
14．（2025春 封开县期末）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）利用勾股定理求出线段长：AB＝　　 ，AD＝　　 ，BC＝　2　 ，CD＝　　 ；
（2）求证：∠BCD＝90°．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理及勾股定理逆定理求证即可．
【解答】（1）解：根据勾股定理得，AB，AD，BC2，CD，
故答案为：；；2；；
（2）证明：如图，连接BD，
根据勾股定理得，BD5，
∵BC＝2，CD，
∴BD2＝BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD＝90°．
【点评】此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键．
15．（2025春 蚌埠期末）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点．
（1）直接写出下列线段的长度：AB＝ 　5　 ，AD＝ 　5　 ；
（2）连接BD，判断△ABD形状，并证明你的结论．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）5；5；
（2）△ABD是直角三角形，理由见解答过程．
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理求解即可．
【解答】解：（1）根据勾股定理得，AB5，AD5，
故答案为：5；5；
（2）△ABD是直角三角形，理由如下：
如图，
根据勾股定理得，BD5，
由（1）知，AB＝5，AD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理，熟记勾股定理的逆定理、勾股定理是解题的关键．