复数、平面向量
考点1 复数
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数 a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b.
2．虚数单位i的in(n∈N)周期为4．
3．求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝和性质|，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝进行计算．
1．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝( )
A．10i B．2i
C．10 D．2
2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
3．(多选)(教材改编)方程x3－x2＋x－1＝0的根是( )
A．－2i B．1
C．i D．－i
4．(教材改编)若复数为实数，则实数m等于( )
A． B．－1
C．－ D．2
5．(教材改编)复数z＝＋mi＋m(m∈R，i是虚数单位)对应的点在第二象限， 则( )
A．m<－1或m>2 B．1C．－16．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
7．(2024·河北石家庄模拟)若(1＋ai)(a－i)>0，a∈R，则( )
A．a＝1 B．a＝±1
C．a≤－1或a≥1 D．a≥1
8．(多选)(2024·福建泉州模拟)已知复数z1，z2是方程x2－x＋2＝0的两根，则( )
A．＝z2
B．z1z2＝1
C．z1z2＝|z1|2
D．在复平面内所对应的点位于第四象限
9．(多选)(2024·山东济南二模)若复数z 满足z(1＋i)＝2－i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A．|z|＝
B．z的虚部为－i
C．z·＝
D．若复数ω满足|ω－2z|＝1，则|ω|的最大值为
10．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
考点2 平面向量的线性运算
解决平面向量问题的3种常用方法
(1)直接法：灵活运用三角形法则、平行四边形法则、共线向量定理，紧密结合图形的几何性质进行运算，如P是AB的中点 ＝＋；A，P，B三点共线 ＝(1－t)＋t(O为平面内任意一点，t∈R)．
(2)坐标法：若平面图形(如长方形、等腰三角形、菱形、直角梯形等)建系方便，则可借助向量的坐标运算巧解题．
(3)基底法：若平面图形建系不方便，则考虑选取合适基底求解．
1．(教材改编)已知不共线的平面向量a，b满足∥，则正数λ＝( )
A．1 B．
C． D．2
2．(教材改编)已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
3．(教材改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＝( )
A． B．
C． D．
4．(教材改编)已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A． B．
C．－ D．－
5．(2024·安徽合肥模拟)已知O为等边三角形ABC的中心，若＝3a，＝2b，则＝________．(用a，b表示)
6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ()，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
8．(2024·江苏苏锡常镇二模)已知非零向量a＝，b＝，若a∥b，则sin 2α＝( )
A．－1 B．
C． D．
9．(2024·浙江宁波模拟)点O在△ABC的内部，且满足：＝＋，则△ABC的面积与△AOB的面积之比是( )
A． B．3
C． D．2
10．如图，在△ABC中，＝，P是BN的中点，若＝m＋n，则m＋n＝________．
考点3 平面向量的数量积
平面向量的数量积的运算转换技巧
(1)抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换．
①若a＝(x，y)，则|a|＝＝．
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝＝．
(2)用坐标法或极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，解决与数量积有关的最值问题．
1．(教材改编)已知向量a，b满足＝1，a·b＝－1，则a·(a－b)的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．0
2．若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且＝＝1，＝3，则＝( )
A．2 B．5
C．2或5 D．或5
3．(教材改编)已知点O为△ABC的外接圆圆心，·＝1，则＝( )
A． B．
C．2 D．
4．(多选)(2024·山东聊城二模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则( )
A．λ＝3 B．a∥b
C．a⊥ D．a与b的夹角为45°
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________．
6．若向量a，b满足＝1，＝2，|2a＋b|＝2，则向量a，b夹角的大小为( )
A． B．
C． D．
7．(2024·浙江绍兴二模)已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，且a⊥b，则λ＝( )
A． B．
C．1 D．2
8．(2024·湖北荆门模拟)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则·的取值范围为( )
A．[2，6] B．[2，3]
C．[4，6] D．[4，8]
9．(2024·山东济南模拟)已知非零向量满足＝，且·＝，则△ABC为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
11．(2024·江西上饶一模)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为________．
6 / 6 复数、平面向量
考点1 复数
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数 a＝0且b≠0，复数的实部为a，虚部为b.
2．虚数单位i的in(n∈N)周期为4．
3．求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a＋bi|＝和性质|，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝进行计算．
提醒：实系数方程的复根成对出现．
1．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝( )
A．10i B．2i
C．10 D．2
A [由z＝5＋i ＋z)＝10i．
故选A．]
2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C． D．2
C [若z＝－1－i，则|z|＝＝．故选C．]
3．(多选)(教材改编)方程x3－x2＋x－1＝0的根是( )
A．－2i B．1
C．i D．－i
BCD [原方程可化为(x－1)(x2＋1)＝0，所以x＝1或x＝±i.故选BCD．]
4．(教材改编)若复数为实数，则实数m等于( )
A． B．－1
C．－ D．2
D [＝＝＋i，若复数为实数，则2－m＝0，即m＝2．
故选D．]
5．(教材改编)复数z＝＋mi＋m(m∈R，i 是虚数单位)对应的点在第二象限， 则( )
A．m<－1或m>2 B．1C．－1C [由z＝＋mi＋m＝＋mi＋m＝m－2＋(m＋1)i，
故有解得－16．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
C [因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C．]
7．(2024·河北石家庄模拟)若(1＋ai)(a－i)>0，a∈R，则( )
A．a＝1 B．a＝±1
C．a≤－1或a≥1 D．a≥1
A [(1＋ai)(a－i)＝2a＋(a2－1)i，依题意，2a＋(a2－1)i是正实数，因此
所以a＝1.故选A．]
8．(多选)(2024·福建泉州模拟)已知复数z1，z2是方程x2－x＋2＝0的两根，则( )
A．＝z2
B．z1z2＝1
C．z1z2＝|z1|2
D．在复平面内所对应的点位于第四象限
AC [复数z1，z2是方程x2－x＋2＝0的两根，则有z1＝－i，z2＝＋i，
＝＋i＝z2，A选项正确；
z1z2＝－＝＋＝2，B选项错误；
|z1|2＝＋＝2，z1z2＝|z1|2，C选项正确；
＝＝＋i，在复平面内所对应的点位于第一象限，D选项错误．
故选AC．]
9．(多选)(2024·山东济南二模)若复数z 满足z(1＋i)＝2－i(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A．|z|＝
B．z的虚部为－i
C．z·＝
D．若复数ω满足|ω－2z|＝1，则|ω|的最大值为
AC [对于A，因为z(1＋i)＝2－i，所以z＝＝＝－i，
所以|z|＝＝，故A正确；
对于B，由上可知，z 的虚部为－，故B错误；
对于C，因为＝·＝，故C正确；
对于D，记复数ω对应的点为A(a，b)，复数2z对应的点为B(1，－3)，
则由|ω－2z|＝1可得＝＝1，即点A在以点B为圆心，1为半径的圆上，
所以的最大值为＋1＝＋1，即|ω|的最大值为＋1，D错误．
故选AC．]
10．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
2 [法一(代数法)：设z1＝a＋bi(a∈R，b∈R)，z2＝c＋di(c∈R，d∈R)，
∴z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i＝＋i，
∴
又|z1|＝|z2|＝2，
∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，
∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2(ac＋bd)＝4，
∴ac＋bd＝－2，
∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|
＝＝
＝＝2．
法二(几何法)：如图所示，设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，＝，
由已知||＝＝2＝||＝||，∴平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，∴∠Z1OZ2＝120°，||2＝||2＋||2－2||||cos 120°＝22＋22－2×2×2×＝12．
∴|z1－z2|＝||＝2．]
考点2 平面向量的线性运算
解决平面向量问题的3种常用方法
(1)直接法：灵活运用三角形法则、平行四边形法则、共线向量定理，紧密结合图形的几何性质进行运算，如P是AB的中点 ＝＋；A，P，B三点共线 ＝(1－t)＋t(O为平面内任意一点，t∈R)．
(2)坐标法：若平面图形(如长方形、等腰三角形、菱形、直角梯形等)建系方便，则可借助向量的坐标运算巧解题．
(3)基底法：若平面图形建系不方便，则考虑选取合适基底求解．
1．(教材改编)已知不共线的平面向量a，b满足∥，则正数λ＝( )
A．1 B．
C． D．2
B [法一：由已知有1×2＝λ·λ，λ>0，解得λ＝．
法二：设＝μ，μ∈R，由题意解得λ＝．
故选B．]
2．(教材改编)已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
D [对于A项，＝＝－a＋3b＋a＋3b＝6b与不共线，A错误；
对于B项，＝4a＋6b，＝－a＋3b，则与不共线，B错误；
对于C项，＝－a＋3b，＝a＋3b，则与不共线，C错误；
对于D项，＝＝4a＋6b＋＝3a＋9b＝3，
即∥，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确．故选D．]
3．(教材改编)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＝( )
A． B．
C． D．
A [＝＝
＝＋＝()＝，故选A．]
4．(教材改编)已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A． B．
C．－ D．－
C [＝＝()＝＝－＋，
所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－．
故选C．]
5．(2024·安徽合肥模拟)已知O为等边三角形ABC的中心，若＝3a，＝2b，则＝________．(用a，b表示)
－9a－2b [如图所示，∵O是等边三角形ABC的重心，＝3a，O是△ABC各边中线的交点，
∴＝ ＝a，∴＝＝a ＝－a．
又D为BC的中点，＝2b，∴＝)，∴＝2，∴＝－9a－2b．]
6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
A [法一(直接法)：作出示意图如图所示．
＝＝＝)＋)＝.故选A．
法二(坐标法)：不妨设△ABC为等腰直角三角形，
且∠BAC＝，AB＝AC＝1．
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D，E．
故＝(1，0)，＝(0，1)，＝(1，0)－＝，
即＝－.故选A．]
7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ()，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
A [由题意＝λ()，当λ∈(0，＋∞)时，如图，
可知点P在BC边上的中线所在直线上，
∴动点P的轨迹一定通过△ABC的重心．故选A．]
8．(2024·江苏苏锡常镇二模)已知非零向量a＝，b＝，若a∥b，则sin 2α＝( )
A．－1 B．
C． D．
D [因为a，b为非零向量，所以
即．
因为a∥b，所以sin2＝cos2α，
则1－cos ＝2cos 2α，即1＋sin 2α＝2cos 2α，
即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝2cos2α－2sin2α，
由于cos α≠0，所以两边同除以cos2α，
可得3tan2α＋2tan α－1＝0，
解得tan α＝或tan α＝－1(舍去)，
所以sin 2α＝＝＝．故选D．]
9．(2024·浙江宁波模拟)点O在△ABC的内部，且满足：＝＋，则△ABC的面积与△AOB的面积之比是( )
A． B．3
C． D．2
C [因为＝＋，
所以＝＋，
即＋2＋2＝0，取AC的中点为点D，
则＝2，即4＝－，
所以O在中线BD上，且OB＝BD．
过O，D分别作边AB上的高，垂足分别为M，N，
则＝＝，所以S△AOB＝S△ABD，S△ABD＝S△ABC，
所以S△AOB＝S△ABC，所以＝．故选C．]
10．如图，在△ABC中，＝，P是BN的中点，若＝m＋n，则m＋n＝________．
[因为P是BN的中点，所以＝．
所以＝＝＋＝＋()＝＋＝＋，所以m＝，n＝，所以m＋n＝．]
考点3 平面向量的数量积
平面向量的数量积的运算转换技巧
(1)抓住数量积的定义、几何意义及其性质，实现向量数量积、夹角、模的转换．
①若a＝(x，y)，则|a|＝＝．
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
③设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝＝．
(2)用坐标法或极化恒等式a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，解决与数量积有关的最值问题．
1．(教材改编)已知向量a，b满足＝1，a·b＝－1，则a·(a－b)的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．0
C [由题意知，a·(a－b)＝a2－a·b＝1－(－1)＝2.故选C．]
2．若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且＝＝1，＝3，则＝( )
A．2 B．5
C．2或5 D．或5
C [由向量a，b，c两两的夹角相等，得〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝0或〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝，当〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝0时，|a＋b＋c|＝5，当〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝时，|a＋b＋c|＝＝＝2.故选C．]
3．(教材改编)已知点O为△ABC的外接圆圆心，·＝1，则＝( )
A． B．
C．2 D．
A [如图所示，取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB，
所以·＝||·||·cos ∠OAD＝||·(||·cos ∠OAD)＝||·||＝||2＝1，所以||2＝2，所以||＝．故选A．]
4．(多选)(2024·山东聊城二模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则( )
A．λ＝3 B．a∥b
C．a⊥ D．a与b的夹角为45°
ACD [对于A，因为b在a上的投影向量为a，即·＝a，所以＝1，即＝1，解得λ＝3，故A正确；对于B，a＝(－1，2)，b＝(1，3)，所以(－1)×3－2×1≠0，故B错误；对于C，a·＝(－1，2)·(2，1)＝－2＋2＝0，所以a⊥，故C正确；对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，故D正确．故选ACD．]
5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________．
－16 [法一：如图，设∠AMB＝θ，则∠AMC＝π－θ．
又＝＝，
∴·＝()·()＝···＝－25－5×3cos θ－3×5cos(π－θ)＋9＝－16．
法二：因为M是BC的中点，
由极化恒等式得：·＝||2－||2＝9－×100＝－16．]
6．若向量a，b满足＝1，＝2，|2a＋b|＝2，则向量a，b夹角的大小为( )
A． B．
C． D．
D [由＝2，两边平方，得＝4a2＋4a·b＋b2＝4，
设向量a，b的夹角为θ，则有4＋8cos θ＋4＝4，
则cos θ＝－，因为0≤θ≤π，故θ＝．故选D．]
7．(2024·浙江绍兴二模)已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，且a⊥b，则λ＝( )
A． B．
C．1 D．2
B [由a⊥b，得a·b＝(2e1＋e2)·(λe1－e2)＝2λ＋(λ－2)e1·e2－＝0，即2λ＋－1＝0，解得λ＝．故选B．]
8．(2024·湖北荆门模拟)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则·的取值范围为( )
A．[2，6] B．[2，3]
C．[4，6] D．[4，8]
C [·＝·，由投影的定义知cos ∠PAB即为在上的投影向量的长度，结合图形得，当过P的直线与半圆弧BC相切于P点且平行于BC时，cos ∠PAB最大为3，此时·＝·(||cos ∠PAB)＝2×3＝6．
当P与C或B点重合时，cos ∠PAB最小为2，此时·＝·＝2×2＝4，∴·的取值范围为[4，6].故选C．]
9．(2024·山东济南模拟)已知非零向量满足＝，且·＝，则△ABC为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
D [∵＝，
∴＝，
∴cos 〈〉＝cos 〈〉，
∴B＝C，
∴△ABC为等腰三角形．
又∵·＝，
∴cos 〈〉＝，
∴cos A＝．又A∈(0，π)，∴A＝，
∴△ABC为等边三角形．故选D．]
10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得3a2－6a·b＝0，所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝．]
11．(2024·江西上饶一模)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为________．
[5，7] [由题意可得，·＝()·()＝()·()＝||2－||2＝||2－1，
当OM与正六边形的边垂直时，||min＝，
当点M运动到正六边形的顶点时，||max＝2，
所以||∈[，2]，则||2∈[6，8]，
即·的取值范围为[5，7]．]
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