[提示：重点培优练1－12]
第1天 小题满分练(一)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，B A，则实数a的值为( )
A．2 B．－1或2
C．1或2 D．0或2
A [由A＝{1，3，a2}，得a2≠1，即a≠±1，此时a＋2≠1，a＋2≠3，
由B A，得a2＝a＋2，而a≠－1，所以a＝2.故选A．]
2．已知(1－2x)9＝a0＋a1x＋…＋a9x9，则a0＋＝( )
A．－2 B．－19
C．15 D．17
D [令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，又(1－2x)9展开式的通项为Tk＋1＝(－2x)k＝(－2)kxk(0≤k≤9且k∈N)，
所以a1＝＝－18，所以a0＋＝－1－(－18)＝17.故选D．]
3．已知在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为.若z1＝1－i，z2＝4，则在上的投影向量为( )
A．(1，0) B．(1，－1)
C．(2，－2) D．(3，0)
B [因为z1＝1－i，z2＝4，
所以＝(1，－1)，＝(4，0)，
所以＝＝(4，0)－(1，－1)＝(3，1)，
所以·＝3×1＋1×(－1)＝2，＝＝，
所以在上的投影向量为·＝＝(1，－1)．故选B．]
4．命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≤－ B．a≤0
C．a≥6 D．a≥8
D [若命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题，则命题的否定“ x∈[－2，1]，x2－x－a≤0”为真命题，即a≥x2－x，x∈[－2，1]恒成立，令y＝x2－x＝－，x∈[－2，1]，当x＝－2时取得最大值y＝6，
所以a≥6，选项中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集，所以命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8．
故选D．]
5．一个正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A＝“x1＝3”，事件B＝“x2＝6”，事件C＝“x1＋x2＝9”，则 ( )
A．AB＝C B．A＋B＝C
C．A，B互斥 D．B，C相互独立
D [对于A，事件C发生时，事件AB不一定发生，所以A错误；
对于B，C发生时，A＋B不一定发生，所以B错误；
对于C，x1＝3，x2＝6时，A，B同时发生，所以C错误；
对于D，P(B)＝，P(C)＝，P(BC)＝，P(B)×P(C)＝P(BC)，所以D正确．
故选D．]
6．已知0<β<α<，sin (α－β)＝，tan α－tan β＝2，则sin αsin β＝( )
A． B．
C． D．
B [因为0<β<α<，所以0<α－β<，
因为sin (α－β)＝，
所以cos (α－β)＝＝，
因为2＝tan α－tan β＝－
＝＝，
所以cos αcos β＝，
因为cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋sin αsin β＝，
则sin αsin β＝．故选B．]
7．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且2＝3，·＝0，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
B [连接NF2，设|NF1|＝2n，则|MF1|＝3n，|MF2|＝2a－3n，|NF2|＝2a－2n，
在Rt△MNF2中，|MN|2＋|MF2|2＝|NF2|2，即(5n)2＋(2a－3n)2＝(2a－2n)2，
所以n＝，所以|MF1|＝，|MF2|＝，
在Rt△MF1F2中，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即25c2＝17a2，所以e＝．
故选B．]
8．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝4－f (x)，且f (x＋3)－2为奇函数，f (4)＝5，则＝( )
A．4 047 B．4 048
C．4 049 D．4 050
C [由f (x＋2)＝4－f (x)可得f (x＋4)＝4－f (x＋2)＝4－[4－f (x)]＝f (x)，
故f (x)的一个周期为4，
由f (x＋3)－2为奇函数可得f (0＋3)－2＝0，得f (3)＝2，
对于f (x＋2)＝4－f (x)，令x＝1，得f (1)＋f (3)＝4，则f (1)＝2，
令x＝2，得f (2)＋f (4)＝4，又f (4)＝5，
所以f (2)＝－1，
则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8，
故＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 026)
＝506×＋f (1)＋f (2)＝506×8＋2＋(－1)＝4 049．
故选C．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据(见表格)，若已求得经验回归方程为＝x＋0.34，则下列选项中正确的是( )
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
A．＝0.21
B．当x＝5时的残差为0.06
C．样本数据y的第40百分位数为1
D．去掉样本点(3，1)后，y与x的样本相关系数不会改变
BD [由＝＝3，＝＝1，所以样本点中心为(3，1)．
对于A，将点(3，1)代入＝x＋0.34，得3＋0.34＝1，解得＝0.22，故A错误；
对于B，当x＝5时，＝1.44，所以残差为y－＝1.5－1.44＝0.06，故B正确；
对于C，样本数据y的第40百分位数为＝0.95，故C错误；
对于D，由样本相关系数公式可知，
所以5组样本数据的样本相关系数为：
，
去掉样本点(3，1)后样本相关系数为：
＝，
所以去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确．故选BD．]
10．已知抛物线y2＝2px( p>0)的焦点为F，点P(5，y0)在抛物线上，且|PF|＝6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则( )
A．p＝2
B．抛物线的准线为直线y＝－1
C．y0＝2
D．△FPQ的面积为4
AD [抛物线y2＝2px( p>0)的准线为直线x＝－，设点P在第一象限，过点P向准线作
垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|＝5＋＝6，解得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x，准线为直线x＝－1，故A正确，B错误；
将x＝5代入抛物线方程，解得y0＝±2，故C错误；
焦点F(1，0)，点P(5，±2)，即|PQ|＝2，
所以S△FPQ＝×2×(5－1)＝4，故D正确．
故选AD．]
11．已知函数f (x)＝2sin (ω>0)的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为3π
B．f ＝1
C．f (x)的图象关于直线x＝π对称
D．f (x)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称
BC [因为函数f (x)＝2sin (ω>0)的图象关于点中心对称，
则－＝kπ，可得ω＝4k＋，
因为ω>0，可得ω＝4k＋，所以f (x)＝2sin．
对于A选项，f (x)的最小正周期T＝≤3π，A错误；
对于B选项，f ＝2sin ＝2sin ＝2sin ＝1，B正确；
对于C选项，f (π)＝2sin
＝2sin ＝2sin ＝2，
故函数f (x)的图象关于直线x＝π对称，C正确；
对于D选项，将f (x)的图象向左平移个单位长度后，可得到函数y＝2sin ＝2sin ＝
故f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，D错误．
故选BC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P(A＋)＝，则P(B|A)＝________．
[由题知，P(A)＝，P(B)＝，P(A＋)＝，
所以P(A＋)＝，
即＋－P(A)＝，
所以P(A)＝．
因为P(AB)＋P(A)＝P(A)，
所以P(AB)＝－＝，
则P＝＝＝．]
13．如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为x3＋y3－3axy＝0，该曲线的渐近线方程为x＋y＋a＝0.若a＝2，直线x－y＝0与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的圆的方程为 ________(写出一个即可)．
(x－1)2＋(y－1)2＝8(答案不唯一) [联立y＝x与x3＋y3－6xy＝0，得2y3－6y2＝0，解得y＝0或y＝3．
结合题意可得A(3，3)，渐近线方程为x＋y＋2＝0．
从点A向此渐近线作垂线，垂足为B，
设B(m，n)，则
解得即B(－1，－1)，
所以|AB|＝＝4，AB的中点坐标为＝(1，1)，
所以以AB为直径且与渐近线相切的圆的方程为
(x－1)2＋(y－1)2＝8．]
14．定义：[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，如[1.2]＝1，{1.2}＝2.设函数f (x)＝{x[x]}在定义域[0，n)上的值域为Cn，记Cn中元素的个数为an，则a2＝________，＋＋…＋＝________．
3 [由函数f (x)＝{x[x]}在定义域[0，n)上的值域为Cn，记Cn中元素的个数为an，当n＝1时，x∈[0，1)，可得[x]＝0，x[x]＝0，{x[x]}＝0，即a1＝1；
当n＝2时，x∈[0，2)，可得[x]＝0或1，x[x]＝0或x，{x[x]}＝0或1或2，即a2＝3；
当n＝3时，x∈[0，3)，可得[x]＝0或1或2，x[x]＝0或x或2x，{x[x]}＝0或1或2或4或5或6，即a3＝6；
当n＝k－1时，函数f (x)＝{x[x]}在定义域[0，k－1)上的值域为Ck－1，记Ck－1中元素的个数为ak－1；
当n＝k时，函数f (x)＝{x[x]}在定义域[0，k)上的值域为Ck．
记Ck中元素的个数为ak，设x∈[k－1，k)，则[x]＝k－1，(k－1)2≤x[x]所以ak＝ak－1＋k(k－1)－(k－1)2＋1＝ak－1＋k，
则可得递推关系：an＝an－1＋n，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，
当n＝1时，a1＝＝1成立，则an＝(n∈N*)，则＝＝2，
所以＋＋…＋＝2＝2＝．]
6 / 8[提示：重点培优练1－12]
第1天 小题满分练(一)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，B A，则实数a的值为( )
A．2 B．－1或2
C．1或2 D．0或2
2．已知(1－2x)9＝a0＋a1x＋…＋a9x9，则a0＋＝( )
A．－2 B．－19
C．15 D．17
3．已知在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为.若z1＝1－i，z2＝4，则在上的投影向量为( )
A．(1，0) B．(1，－1)
C．(2，－2) D．(3，0)
4．命题“ x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≤－ B．a≤0
C．a≥6 D．a≥8
5．一个正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A＝“x1＝3”，事件B＝“x2＝6”，事件C＝“x1＋x2＝9”，则 ( )
A．AB＝C B．A＋B＝C
C．A，B互斥 D．B，C相互独立
6．已知0<β<α<，sin (α－β)＝，tan α－tan β＝2，则sin αsin β＝( )
A． B．
C． D．
7．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且2＝3，·＝0，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
8．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＝4－f (x)，且f (x＋3)－2为奇函数，f (4)＝5，则＝( )
A．4 047 B．4 048
C．4 049 D．4 050
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据(见表格)，若已求得经验回归方程为＝x＋0.34，则下列选项中正确的是( )
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
A．＝0.21
B．当x＝5时的残差为0.06
C．样本数据y的第40百分位数为1
D．去掉样本点(3，1)后，y与x的样本相关系数不会改变
10．已知抛物线y2＝2px( p>0)的焦点为F，点P(5，y0)在抛物线上，且|PF|＝6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则( )
A．p＝2
B．抛物线的准线为直线y＝－1
C．y0＝2
D．△FPQ的面积为4
11．已知函数f (x)＝2sin (ω>0)的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为3π
B．f ＝1
C．f (x)的图象关于直线x＝π对称
D．f (x)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P(A＋)＝，则P(B|A)＝________．
13．如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为x3＋y3－3axy＝0，该曲线的渐近线方程为x＋y＋a＝0.若a＝2，直线x－y＝0与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的圆的方程为 ________(写出一个即可)．
14．定义：[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，如[1.2]＝1，{1.2}＝2.设函数f (x)＝{x[x]}在定义域[0，n)上的值域为Cn，记Cn中元素的个数为an，则a2＝________，＋＋…＋＝________．
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