第2天 小题满分练(二)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1，b}，B＝{x|x2－3x<0，x∈Z}，若A∩B＝A，则b的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
2．已知2＋i是实系数方程x2＋px－q＝0的一个复数根，则p＋q＝( )
A．－9 B．－1
C．1 D．9
3．已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能是( )
A．f (x)＝sin (tan x) B．f (x)＝tan (sin x)
C．f (x)＝cos (tan x) D．f (x)＝tan (cos x)
4．如图，在直角坐标平面内，已知A(0，－1)，B(－3，－1)，C(－3，3)，以y轴为旋转轴，将△ABC旋转一周，得到一个旋转体，则此旋转体的表面积为( )
A．70π B．57π
C．63π D．48π
5．已知等差数列{an}中，a7是函数f (x)＝sin 的一个极大值点，则tan (a5＋a9)的值为( )
A． B．
C．± D．－
6．设x1，x2，…，xn是总体数据中抽取的样本，k为正整数，则称bk＝为样本k阶中心矩，其中＝为样本均值．统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数－－样本偏度βs＝来刻画偏离方向与程度．若将样本数据x1，x2，…，x100绘制柱形图如图所示，则( )
A．βs<0
B．βs＝0
C．βs>0
D．βs与0的大小关系不能确定
7．已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln (－x)的切线，则( )
A．k＝，b＝0 B．k＝1，b＝0
C．k＝，b＝－1 D．k＝1，b＝－1
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为线段C1D1上的动点，则三棱锥P-BCD外接球半径的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在一个有限样本空间中，假设P(A)＝P(B)＝P(C)＝，且A与B相互独立，A与C互斥，则( )
A．P(A∪B)＝
B．P＝2P
C．P＝1
D．若P＋P＝，则B与C互斥
10．已知圆C：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆C上仅存在一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值可以是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是侧面ADD1A1内的一点，点E是线段CC1上的一点，则下列说法正确的是( )
A．当点P是线段A1D的中点时，存在点E，使得A1E⊥平面PB1D1
B．当点E为线段CC1的中点时，过点A，E，D1的平面截该正方体所得的截面的面积为
C．点E到直线BD1的距离的最小值为
D．当点E为棱CC1的中点且PE＝2时，则点P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，那么〈a，b〉＝________．
13．甲、乙、丙等5人站成一排，甲、乙相邻，且乙、丙不相邻， 则不同排法共有________种．
14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的右支上有一点A，AF1与双曲线的左支交于点B，线段AF2的中点为M，且满足BM⊥AF2，若∠F1AF2＝，则双曲线C的离心率为________．
2 / 3第2天 小题满分练(二)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{1，b}，B＝{x|x2－3x<0，x∈Z}，若A∩B＝A，则b的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
C [由x2－3x<0，解得0因为A∩B＝A，所以A B，所以b＝2．
故选C．]
2．已知2＋i是实系数方程x2＋px－q＝0的一个复数根，则p＋q＝( )
A．－9 B．－1
C．1 D．9
A [因为2＋i是实系数方程x2＋px－q＝0的一个复数根，
则2－i也是实系数方程x2＋px－q＝0的一个复数根，
所以解得
所以p＋q＝－9．
故选A．]
3．已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能是( )
A．f (x)＝sin (tan x) B．f (x)＝tan (sin x)
C．f (x)＝cos (tan x) D．f (x)＝tan (cos x)
D [观察图象可知函数为偶函数，
对于A，f (－x)＝sin (tan (－x))＝sin (－tan x)＝－sin (tan x)＝－f (x)，为奇函数，排除；
对于B，f (－x)＝tan (sin (－x))＝tan (－sin x)＝－tan (sin x)＝－f (x)，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，k∈Z，不是R，舍去，故D正确．
故选D．]
4．如图，在直角坐标平面内，已知A(0，－1)，B(－3，－1)，C(－3，3)，以y轴为旋转轴，将△ABC旋转一周，得到一个旋转体，则此旋转体的表面积为( )
A．70π B．57π
C．63π D．48π
D [依题意，AB＝3，BC＝4，AB⊥BC，所以AC＝5，
所以旋转体是底面圆半径为3，高为4的圆柱挖去底面半径为3，高为4的圆锥，
其S表＝π×32＋2π×3×4＋π×3×5＝48π.故选D．]
5．已知等差数列{an}中，a7是函数f (x)＝sin 的一个极大值点，则tan (a5＋a9)的值为( )
A． B．
C．± D．－
D [由正弦函数性质知，当2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，函数f (x)＝sin 取得极大值，则a7＝＋kπ，k∈Z，由等差数列性质，得a5＋a9＝2a7＝＋2kπ，k∈Z，所以tan (a5＋a9)＝tan ＝tan ＝tan ＝－tan ＝－．
故选D．]
6．设x1，x2，…，xn是总体数据中抽取的样本，k为正整数，则称bk＝为样本k阶中心矩，其中＝为样本均值．统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数－－样本偏度βs＝来刻画偏离方向与程度．若将样本数据x1，x2，…，x100绘制柱形图如图所示，则( )
A．βs<0
B．βs＝0
C．βs>0
D．βs与0的大小关系不能确定
C [＝＝3.4，
样本偏度反应数据偏离方向与程度，由图表可得，
有比较多的小于样本均值＝3.4的数据，
当右侧有长尾时，受极端值影响，b3＝>0，而样本方差b2>0，则βs＝>0．
故选C．]
7．已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln (－x)的切线，则( )
A．k＝，b＝0 B．k＝1，b＝0
C．k＝，b＝－1 D．k＝1，b＝－1
A [设直线与曲线y＝ln x的切点为且x1>0，
与曲线y＝－ln (－x)的切点为(x2，－ln (－x2))且x2<0，
又y′＝(ln x)′＝，y′＝[－ln (－x)]′＝－，
则直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1，
直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln (－x)的切线方程为y＋ln (－x2)＝－(x－x2)，即y＝－x＋1－ln (－x2)，
则
解得故k＝＝，b＝ln x1－1＝0．
故选A．]
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为线段C1D1上的动点，则三棱锥P-BCD外接球半径的取值范围为( )
A． B．
C． D．
C [如图，连接AC，交BD于点E，易得E为△BCD的外心．
连接A1C1，B1D1交于点F，易知EF⊥平面BCD，则三棱锥P-BCD的外接球球心O在EF上．
设△PCD的外接圆圆心为O′，∴OO′⊥平面PCD，
由正方体中棱BC⊥平面CC1D1D，得OO′∥BC，又易得E，F分别是BD，B1D1中点，
∴OO′＝1，连接OC，O′C．
设△PCD的外接圆半径为r，三棱锥P-BCD的外接球半径为R，则R2＝1＋r2，
设PC1＝x，x∈[0，2]，∴S△PCD＝2＝PC·PD sin ∠CPD，∴＝＝，又r＝＝，∴r2＝．
设f (x)＝(x2－4x＋8)(x2＋4)，则f ′(x)＝4(x3－3x2＋6x－4)，
设g(x)＝f ′(x)，则g′(x)＝12(x2－2x＋2)>0，
∴f ′(x)在x∈[0，2]上单调递增，又f ′(1)＝0，
∴f (x)在x∈[0，1]上单调递减，在x∈[1，2]上单调递增，又f (1)＝25，f (0)＝f (2)＝32，
∴f (x)∈[25，32]，∴r2∈，∴R＝∈.故选C．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在一个有限样本空间中，假设P(A)＝P(B)＝P(C)＝，且A与B相互独立，A与C互斥，则( )
A．P(A∪B)＝
B．P＝2P
C．P＝1
D．若P＋P＝，则B与C互斥
BCD [对于A，A与B相互独立，
则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，A错误；
对于B，因为A与C互斥，所以A ，所以
P＝A)，P＝＝A)，
所以P＝2P，B正确；
对于C，P＝，因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，
所以P(A)＝P(A)，所以P＝＝＝1，C正确；
对于D，显然P(C)＝P(BC)＋P(C)＝，
即P(C)＝－P(BC)，
由P＋P＝，
得＋＝3P(BC)＋＝，
解得P(BC)＝0，所以B与C互斥，D正确．
故选BCD．]
10．已知圆C：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆C上仅存在一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值可以是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
BD [若圆C上仅存在一点P使PA⊥PB，则以AB为直径的圆与圆C相内切或外切，
由A(4，a)，B(4，－a)，则以AB为直径的圆的圆心为(4，0)，半径为a>0，则有＝1＋a或＝|1－a|，
分别解得a＝3或a＝5，故a＝3或a＝5．
故选BD．]
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是侧面ADD1A1内的一点，点E是线段CC1上的一点，则下列说法正确的是( )
A．当点P是线段A1D的中点时，存在点E，使得A1E⊥平面PB1D1
B．当点E为线段CC1的中点时，过点A，E，D1的平面截该正方体所得的截面的面积为
C．点E到直线BD1的距离的最小值为
D．当点E为棱CC1的中点且PE＝2时，则点P的轨迹长度为
ACD [对于A，如图所示，
因为点P是线段A1D的中点，所以点P也是线段AD1的中点，
所以平面PB1D1即为平面AB1D1．
根据正方体的性质，AD1⊥平面A1DC，AB1⊥平面A1BC，
所以AD1⊥A1C，AB1⊥A1C，
又因为AD1∩AB1＝A，AD1 平面AB1D1，AB1 平面AB1D1，
所以A1C⊥平面AB1D1，所以E与C重合时，A1E⊥平面PB1D1，故A正确；
对于B，如图所示，取BC的中点M，
根据E，M分别为CC1，BC的中点，易得EM∥AD1，所以A，M，E，D1四点共面，
所以截面为四边形AMED1，且该四边形为等腰梯形．
又因为ME＝，AD1＝2，AM＝ED1＝，
所以等腰梯形AMED1的高为＝，所以截面面积为(＋2)×＝，故B错误；
对于C，如图建立空间直角坐标系，
由图可得，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，所以＝(－2，－2，2)，
设E(0，2，m)(0≤m≤2)，所以＝(－2，0，m)，
所以点E到直线BD1的距离d＝＝，
所以m＝1时，距离最小，最小为，故C正确；
对于D，如图所示，取DD1的中点G，连接EG，GP，PE，
易得GE⊥平面AA1D1D，
又因为GP 平面AA1D1D，所以GE⊥GP，
所以GP＝＝＝2，
则点P在侧面AA1D1D内的运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为，
所以点P的轨迹长度为×2＝，故D正确．
故选ACD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，那么〈a，b〉＝________．
[cos 〈a，b〉＝
＝＝＝0，因为〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝．]
13．甲、乙、丙等5人站成一排，甲、乙相邻，且乙、丙不相邻， 则不同排法共有________种．
36 [甲、乙捆绑在一起看成一个整体，与丙以外的2人全排列，有＝12(种)，
又因为乙、丙不相邻，所以把丙放入一共有3种，所以一共有12×3＝36(种)．]
14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的右支上有一点A，AF1与双曲线的左支交于点B，线段AF2的中点为M，且满足BM⊥AF2，若∠F1AF2＝，则双曲线C的离心率为________．
[因为M是线段AF2的中点，且BM⊥AF2，所以|AB|＝|BF2|，又∠F1AF2＝，所以△ABF2是等边三角形，
设△ABF2的边长为m，由双曲线的定义知，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF1|＝m＋2a，|BF1|＝m－2a，
又|AF1|－|BF1|＝|AB|＝m，所以m＋2a－(m－2a)＝m，即m＝4a，所以|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，
在△AF1F2中，由余弦定理知，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos ，
所以(2c)2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×＝28a2，
即c＝a，所以离心率e＝＝．]
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