第3天 小题满分练(三)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线x2－＝1的离心率为( )
A． B．2
C． D．3
C [由双曲线的方程可得，
a2＝1，b2＝5，c2＝1＋5＝6，
所以e＝＝．
故选C．]
2．已知数列an＝(－1)n，则数列{an}前9项的下四分位数是( )
A．1 B．－1
C．0 D．
B [根据题意，数列{an}前9项为－1，1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，
对其从小到大排列为－1，－1，－1，－1，－1，1，1，1，1，
因为9×0.25＝2.25，则下四分位数为第3个数据，为－1．
故选B．]
3．若复数z满足(＋i)(1＋i)＝4，则复数z的虚部是( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3i
C [设z＝a＋bi，根据题意，可得(a－bi＋i)(1＋i)＝4，
化简为(a＋b－1)＋(a－b＋1)i＝4，
根据复数相等，得解得
所以z＝2＋3i，即复数z的虚部是3．
故选C．]
4．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{－a，a}．若P∪M＝P，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a≤1}
B．{a|－1
C．{a|－1D．{a|－1≤a≤1且a≠0}
D [∵P∪M＝P，∴M P，
∴a∈P，－a∈P且a≠－a，
∴－1≤a≤1，－1≤－a≤1，a≠0，解得－1≤a≤1且a≠0，
∴a的取值范围为{a|－1≤a≤1且a≠0}．故选D．]
5．已知四边形ABCD是平行四边形，＝2＝，则＝( )
A．－＋ B．－－
C．－＋ D．－－
A [在 ABCD中，由＝2＝，
得＝＝＋＝－＋.故选A．]
6．在母线长为4的圆锥PO中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A．32π B．
C． D．
C [设圆锥底面圆半径为r，则2πr＝×4，解得r＝1，
圆锥的高PO＝＝＝，显然圆锥PO的外接球的球心O1在线段PO上，
设球O1的半径为R，OO1＝x.连接AO1，则由R＝PO1＝AO1，
得－x＝，解得x＝，即R＝－x＝，所以该圆锥的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝．故选C．]
7．已知 A，B，C是直线y＝m与函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0，)，B，C两点的横坐标分别为x1，x2，若x2－x1＝，则( )
A．φ＝
B．f ＝－
C．f (x)的图象关于(π，0)中心对称
D．f (x)在上单调递减
B [由f (0)＝2sin φ＝，得sin φ＝，而0<φ<π，且点A在f (x)图象的下降部分，则φ＝，
于是f (x)＝2sin ，显然A，B，C是直线y＝与f (x)的图象的三个连续的交点，
由A点横坐标xA＝0，即ωxA＋＝，解得ωx1＋＝，ωx2＋＝，
解得x1＝，x2＝，则x2－x1＝，而x2－x1＝，因此ω＝2，所以f (x)＝2sin ．
对于A，φ＝，A错误；
对于B，f ＝2sin ＝－2sin ＝－，B正确；
对于C，f (π)＝2sin ＝2sin ＝≠0，f (x)的图象不关于(π，0)对称，C错误；
对于D，当x∈时，≤2x＋≤，当2x＋＝，即x＝时，函数f (x)取得最小值，又∈，因此f (x)在上不单调，D错误．
故选B．]
8．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为( )
A． B．
C． D．
C [设从甲袋中取出2个球，其中白球的个数为i的事件为Ai，事件Ai的概率为P(Ai)，从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2的事件为B，事件B的概率为P(B)，由题意得，
P(A0)＝＝，P(B|A0)＝＝；
P(A1)＝＝，P(B|A1)＝＝；
P(A2)＝＝，P(B|A2)＝＝．
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为P(A2|B)＝＝＝．
故选C．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数f (x)＝(x2＋ax＋b)ex，下列结论正确的是( )
A．若函数f (x)无极值点，则f (x)没有零点
B．若函数f (x)无零点，则f (x)没有极值点
C．若函数f (x)恰有一个零点，则f (x)可能恰有一个极值点
D．若函数f (x)有两个零点，则f (x)一定有两个极值点
AD [ f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋b]ex，设g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋b，
若函数f (x)无极值点，则Δ＝(a＋2)2－4(a＋b)≤0，
此时a2－4b＋4≤0，即a2－4b≤－4，所以f (x)＝(x2＋ax＋b)ex>0，没有零点；
若函数f (x)无零点，则有a2－4b<0，此时a2－4b＋4<4，
当a2－4b＋4>0时，f ′(x)先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点；
若函数f (x)恰有一个零点，则a2－4b＝0，
此时a2－4b＋4＝4>0，f ′(x)先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点；
若函数f (x)有两个零点，则a2－4b>0，此时a2－4b＋4>4>0，f ′(x)先正再负再正，
原函数先增再减再增，有两个极值点．
所以AD正确．
故选AD．]
10．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S，若a＝4，A＝60°，则( )
A．2S＝·
B．△ABC的外接圆周长为π
C．S的最大值为4
D．若M为线段AB的中点，且CM＝，则S＝4
AC [依题意，2S＝bc sin A＝bc，·＝bc cos A＝bc，故A正确；
记△ABC外接圆的半径为R，则2R＝＝＝，则△ABC的外接圆周长为π，故B错误；
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc≥bc，则bc≤16，
故S＝bc sin A＝bc≤4，当且仅当b＝c＝4时等号成立，故C正确；
由选项C可知，当S＝4时，△ABC为等边三角形，此时CM＝2，故D错误．故选AC．]
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和BD1的中点，则( )
A．C1F∥AE
B．C1F⊥A1D
C．点F到平面ACE的距离为
D．过E作平面α与平面ACE垂直，当α与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的取值范围为
BCD [在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，2，0)，A1(0，0，2)，D(0，2，0)，E(0，2，1)，C1(2，2，2)，F(1，1，1)．
对于A，＝(－1，－1，－1)，＝(0，2，1)，显然与不共线，即C1F与AE不平行，A错误；
对于B，＝(0，2，－2)，·＝－1×0＋(－1)×2＋(－1)×(－2)＝0，因此C1F⊥A1D，B正确；
对于C，＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则令y＝－1，得n＝(1，－1，2)为平面ACE的一个法向量，而＝(1，1，1)，则点F到平面ACE的距离为d＝＝＝，C正确；
对于D，过点E垂直于平面ACE的直线与平面A1B1C1D1相交，令交点为N，
则＝λn＝(λ，－λ，2λ)，点N(λ，2－λ，2λ＋1)，由2λ＋1＝2，得λ＝，即N，
当平面α经过直线EN并绕着直线EN旋转时，平面α与平面A1B1C1D1的交线绕着点N旋转，
当交线与线段A1D1，C1D1都相交时，α与正方体所成截面为三角形，
令平面α与平面A1B1C1D1的交线交A1D1于点G，交C1D1于点H，设GD1＝a，HD1＝b，
G(0，2－a，2)，H(b，2，2)，＝＝，由∥，得a＋b＝2ab，a，b∈，Rt△D1GH斜边GH上的高h′＝，
则截面△EHG边GH上的高h＝＝，
截面△EHG的面积S△EGH＝·＝
＝＝＝，
当a∈时，b＝，ab＝·
＝∈，
所以S△EGH∈，D正确．
故选BCD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．将函数y＝4sin 9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝f (x)的图象，则f (x)的最小正周期为 ________，f ＝________．
－2 [由题意知，f (x)＝4sin 3x，
则f (x)的最小正周期T＝，
f ＝4sin ＝－4sin ＝－2．]
13．学校安排甲、乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有A，B，C 3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 ________种．(用数字作答)
150 [依题意，将5名学生分成3组有2，2，1和3，1，1两种分法，
然后安排这3组去3个项目做志愿者，
所以不同的安排方法有＝150(种)．]
14．已知直线l：y＝x－3与抛物线C：y2＝4x交于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．
12 [联立方程消去y得(x－3)2＝4x，
即x2－10x＋9＝0，Δ＝64＞0，设交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝10，x1x2＝9，
由弦长公式可得|PQ|＝|x1－x2|＝＝8，
由点到直线的距离公式得，原点O到直线l的距离d＝＝，所以S△POQ＝×8×＝12．]
8 / 8第3天 小题满分练(三)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线x2－＝1的离心率为( )
A． B．2
C． D．3
2．已知数列an＝(－1)n，则数列{an}前9项的下四分位数是( )
A．1 B．－1
C．0 D．
3．若复数z满足(＋i)(1＋i)＝4，则复数z的虚部是( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3i
4．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{－a，a}．若P∪M＝P，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a≤1}
B．{a|－1C．{a|－1D．{a|－1≤a≤1且a≠0}
5．已知四边形ABCD是平行四边形，＝2＝，则＝( )
A．－＋ B．－－
C．－＋ D．－－
6．在母线长为4的圆锥PO中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A．32π B．
C． D．
7．已知 A，B，C是直线y＝m与函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0，)，B，C两点的横坐标分别为x1，x2，若x2－x1＝，则( )
A．φ＝
B．f ＝－
C．f (x)的图象关于(π，0)中心对称
D．f (x)在上单调递减
8．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为( )
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数f (x)＝(x2＋ax＋b)ex，下列结论正确的是( )
A．若函数f (x)无极值点，则f (x)没有零点
B．若函数f (x)无零点，则f (x)没有极值点
C．若函数f (x)恰有一个零点，则f (x)可能恰有一个极值点
D．若函数f (x)有两个零点，则f (x)一定有两个极值点
10．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S，若a＝4，A＝60°，则( )
A．2S＝·
B．△ABC的外接圆周长为π
C．S的最大值为4
D．若M为线段AB的中点，且CM＝，则S＝4
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和BD1的中点，则( )
A．C1F∥AE
B．C1F⊥A1D
C．点F到平面ACE的距离为
D．过E作平面α与平面ACE垂直，当α与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．将函数y＝4sin 9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝f (x)的图象，则f (x)的最小正周期为 ________，f ＝________．
13．学校安排甲、乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有A，B，C 3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 ________种．(用数字作答)
14．已知直线l：y＝x－3与抛物线C：y2＝4x交于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．
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