第4天 小题满分练(四)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|log2x>1}，B＝{x|0A．{x|2C．{x|02．若复数z满足|z|＝|z－2－2i|，则|z|的最小值为( )
A．1 B．
C． D．2
3．若椭圆＋＝1与椭圆x2＋＝1(b>1)的离心率相同，则实数b的值为( )
A． B．
C． D．
4．一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球、2个黑球，从中不放回地每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为( )
A． B．
C． D．
5．若圆x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0与x轴没有交点，则实数a的取值范围为( )
A．(2，6) B．(3，5)
C．(2，3)∪(5，6) D．(2，3)∪(6，＋∞)
6．若函数f (x)＝sin 的图象在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数ω的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．在(1＋x)6的展开式中，的系数为( )
A．200 B．180
C．150 D．120
8．在某娱乐游戏中，若甲、乙、丙通关的概率分别是，，，且三人通关与否相互独立，则在甲、乙、丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为( )
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，15(单位：min)，10次骑自行车所花时间的平均值为15 min，方差为1.已知坐公交车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本平均数和样本方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的正态分布密度曲线如图所示．若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是( )
A．坐公交车所花时间的平均值为10，标准差为3
B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到
C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车
D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车
10．已知抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点为F，O为坐标原点，动点P在C上，若定点M＝2|OF|，则( )
A．C的准线方程为x＝－2
B．△PMF周长的最小值为5
C．四边形OPMF可能是平行四边形
D．的最小值为－3
11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是底面正方形ABCD对角线AC上一动点(含端点)，则( )
A．B1D1始终与A1P垂直
B．三棱锥A1-BPC1的体积始终为定值，其值为
C．若E，F，G，M，N分别是棱A1B1，B1C1，CC1，AD，AA1的中点，则MN∥平面EFG
D．以A1为球心，为半径的球面与正方体表面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．展开式的中间一项的系数为 ________．
13．(2024·湖北恩施期末)已知数列满足an＋1＝a1＝，则a2 025＝________．
14．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，其右焦点为F，若直线y＝kx与Γ在第一象限的交点为P且PF⊥x轴，则实数k的值为________．
1 / 1第4天 小题满分练(四)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|log2x>1}，B＝{x|0A．{x|2C．{x|0C [因为A＝{x|log2x>1}＝{x|x＞2}，所以 RA＝{x|x≤2}，因为B＝{x|0所以( RA)∩B＝{x|0故选C．]
2．若复数z满足|z|＝|z－2－2i|，则|z|的最小值为( )
A．1 B．
C． D．2
B [若复数z满足|z|＝|z－2－2i|，则由复数的几何意义可知复数z对应的点集表示的是线段OA的垂直平分线，其中O(0，0)，A(2，2)，
所以＝＝．
故选B．]
3．若椭圆＋＝1与椭圆x2＋＝1(b>1)的离心率相同，则实数b的值为( )
A． B．
C． D．
A [因为椭圆＋＝1与椭圆x2＋＝1(b>1)的离心率相同，
则＝，解得b＝>1满足题意．故选A．]
4．一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球、2个黑球，从中不放回地每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为( )
A． B．
C． D．
D [由题意，第一次取出的球可能为红球或黑球，故连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为×＋×＝．
故选D．]
5．若圆x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0与x轴没有交点，则实数a的取值范围为( )
A．(2，6) B．(3，5)
C．(2，3)∪(5，6) D．(2，3)∪(6，＋∞)
C [x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0，即＝a2－2a＋，
令a2－2a＋>0，解得a<3或a>5，
且其圆心坐标为，若该圆与x轴没有交点，
则>，解得2＜a＜6．
综上，实数a的取值范围为(2，3)∪(5，6)．
故选C．]
6．若函数f (x)＝sin 的图象在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数ω的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由题意知，ω>0且ω是整数，
若x∈，则ωx＋∈，
若函数f (x)＝sin 的图象在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，
则π<ω＋≤，ω∈N*，解得<ω≤，又ω∈N*，则ω＝3.故选C．]
7．在(1＋x)6的展开式中，的系数为( )
A．200 B．180
C．150 D．120
D [(1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝xr，令r＝3，则T4＝x3＝20x3．
展开式的通项为Tk＋1＝，令k＝2，可得T3＝＝．
故的系数为20×6＝120．
故选D．]
8．在某娱乐游戏中，若甲、乙、丙通关的概率分别是，，，且三人通关与否相互独立，则在甲、乙、丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的概率为( )
A． B．
C． D．
D [设甲、乙、丙通关分别为事件A，B，C，三人中恰有两人通关为事件D，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
P(D)＝P＝P＋＋P＝××＋××＋××＝，P(AD)＝P＝P＋P＝××＋××＝，∴P(A|D)＝＝＝．
故选D．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，15(单位：min)，10次骑自行车所花时间的平均值为15 min，方差为1.已知坐公交车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本平均数和样本方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的正态分布密度曲线如图所示．若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是( )
A．坐公交车所花时间的平均值为10，标准差为3
B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到
C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车
D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车
ACD [对于A，坐公交车所花时间的平均值为(7＋11＋8＋12＋8＋13＋6＋13＋7＋15)＝10，方差为 [(7－10)2＋(11－10)2＋(8－10)2＋(12－10)2＋(8－10)2＋(13－10)2＋(6－10)2＋(13－10)2＋(7－10)2＋(15－10)2]＝9，标准差为3，故A正确；
由题意知，X～N(10，32)，Y～N(15，12)，
对于B，若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，有50%以上的可能性会超过10 min，即8点之后到校会迟到，故B错误；
对于C，D，由题图可知，P(X≤18)＜P(Y≤18)，P(X≤13)＞P(Y≤13)，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具，所以小明早上7：42出发，有18 min可用，则应选择骑自行车，故C正确；小明早上7：47出发，有13 min可用，则应选择坐公交车，故D正确．
故选ACD．]
10．已知抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点为F，O为坐标原点，动点P在C上，若定点M＝2|OF|，则( )
A．C的准线方程为x＝－2
B．△PMF周长的最小值为5
C．四边形OPMF可能是平行四边形
D．的最小值为－3
BD [对于选项A：因为抛物线C的焦点为准线方程为x＝－，
又定点M＝2|OF|，
则＝2×，
整理得3p2＋8p－28＝0，解得p＝2或p＝－(舍去)，
即抛物线C：y2＝4x，
所以准线方程为x＝－1，焦点为F(1，0)，故A错误；
对于选项B：过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为H，
由抛物线的定义可知|PH|＝|PF|，
则△PMF周长C△PMF＝|PM|＋|MF|＋|PF|＝|PM|＋|MF|＋|PH|＝|PM|＋|PH|＋2≥|MH|＋2＝5，
当且仅当M，P，H三点共线时取等号，
所以△PMF周长的最小值为5，故B正确；
对于选项C：过点M作OF的平行线，交抛物线于点P，
联立解得即P，
则|MP|＝2－＝，
所以四边形OPMF不可能是平行四边形，故C错误；
对于选项D：设P，则，
可得＝＋y＝－3≥－3，
当且仅当y＝－2时，等号成立，
所以的最小值为－3，故D正确．
故选BD．]
11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是底面正方形ABCD对角线AC上一动点(含端点)，则( )
A．B1D1始终与A1P垂直
B．三棱锥A1-BPC1的体积始终为定值，其值为
C．若E，F，G，M，N分别是棱A1B1，B1C1，CC1，AD，AA1的中点，则MN∥平面EFG
D．以A1为球心，为半径的球面与正方体表面的交线长为
ABD [对于A，连接A1C1，则B1D1⊥A1C1，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
所以AA1⊥B1D1，因为AA1∩A1C1＝A1，AA1，A1C1 平面ACC1A1，
所以B1D1⊥平面ACC1A1，因为A1P 平面ACC1A1，所以B1D1始终与A1P垂直，故A正确；
对于B，由选项A可知B1D1⊥平面ACC1A1，因为B1D1∥BD，所以BD⊥平面ACC1A1，
所以＝××BD＝××1××＝，故B正确；
对于C，取CD中点O，连接OM，MN，NE，OG，延长EN交BA的延长线于Q，连接MQ，则∠A1NE＝∠QNA＝45°，因为∠QAN＝90°，所以△QAN为等腰直角三角形，所以AQ＝AN＝，因为OD＝CD＝，AB∥CD，所以AQ＝OD，AQ∥OD，
所以四边形AODQ为平行四边形，所以OQ过点M，所以OM∩NE＝Q，
因为OM∥AC，EF∥A1C1，A1C1∥AC∥NG，
所以OM∥EF∥NG，
所以E，F，G，M，N，O共面，所以MN 平面EFG，故C错误；
对于D，因为<<，故以A1为球心，为半径的球面只能与正方体6个面中3个面(底面ABCD，侧面BCC1B1，侧面CDD1C1)相交，且和每个面的交线长相等．
以底面ABCD为例，因为A1A⊥平面ABCD，所以A1A垂直于底面上任何一条直线，
因此底面ABCD上到A1距离为的点，就是正方形ABCD内到点A的距离为＝的点．
而底面ABCD上到点A的距离为的点在以A为圆心，半径为的圆上，
因为1<<，所以此圆只与BC，CD相交，设交点分别为S，T，
则BS＝DT＝＝，
所以tan ∠SAB＝＝，因为∠SAB为锐角，所以∠SAB＝，所以∠TAD＝，
所以∠SAT＝，所以弧ST的长为×＝，
故所求交线长为3×＝，故D正确．
故选ABD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．展开式的中间一项的系数为 ________．
[因为的展开式共有7项，它的中间一项是第4项，
所以展开式的中间一项的系数为26-3＝．]
13．(2024·湖北恩施期末)已知数列满足an＋1＝a1＝，则a2 025＝________．
[由题意，a1＝，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4＝，
所以{an}满足an＋4＝an，所以a2 025＝a4×506＋1＝a1＝．]
14．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，其右焦点为F，若直线y＝kx与Γ在第一象限的交点为P且PF⊥x轴，则实数k的值为________．
[因为双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，依题意有＝，
即b＝a，则c＝2a，又右焦点为F(c，0)，且PF⊥x轴，所以P，
所以k＝kOP＝＝＝＝．]
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