第6天 小题满分练(六)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z＝，表示z的共轭复数，则＝( )
A． B．
C． D．
C [z＝＝＝＝－＋i，因此＝－－i，
所以＝＝．故选C．]
2．将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数g(x)＝cos ωx的图象重合，则ω的最小值为( )
A．7 B．5
C．9 D．11
D [＝sin
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且{Sn}单调递增．若a5＝5，则d的取值范围是( )
A． B．
C． D．
A [因为{an}为等差数列，且a5＝5，所以an＝5＋(n－5)d，
又数列{Sn}为递增数列，所以{an}从第2项开始，各项均为正数．
由a2＝5＋(2－5)d>0，得d<．
因为an>0(n≥2)恒成立，所以数列{an}为常数数列或递增数列，所以d≥0.
综上，d∈.故选A.]
4．已知函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(－1)＝，则函数y＝loga(x2－2x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
C [因为函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，
所以g(x)＝ax(a>0，a≠1)，因为g(－1)＝，所以＝a-1，解得a＝3.
所以y＝loga(x2－2x)＝log3(x2－2x)，
由x2－2x>0，可得y＝log3(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
令t＝x2－2x，则t＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，
而y＝log3t在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可知，y＝log3(x2－2x)在(－∞，0)上单调递减．
故选C．]
5．为了解高中学生每天的体育活动时间，某市教育部门随机抽取1 000名高中学生进行调查，把每天进行体育活动的时间按照时长(单位：min)分成6组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]，然后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可估计这1 000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为( )
A．47.5 B．45.5
C．43.5 D．42.5
A [第25百分位数设为x，而0.1<0.25<0.1＋0.2，则所求百分位数在第二组，
则可列方程0.1＋0.02(x－40)＝0.25，解得x＝47.5．
故选A．]
6．在三棱锥P-ABC中，PA＝PB，CP＝4，BA＝BC＝2，∠ABC＝，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为( )
A．1 B．2
C．6 D．12
B [如图，
因为BA＝BC＝2，∠ABC＝，
由余弦定理得，AC2＝4＋4－2×2×2×cos ＝12，
所以AC＝2，设△ABC外接圆的圆心为D，
则半径CD＝×＝×＝2，
如图，当点P在三棱锥P-ABC的外接球的顶端，且PD⊥平面ABC时，
点P到平面ABC的距离PD最大，
又CP＝4，所以PD＝＝2，
又S△ABC＝×2×2×sin ＝，
所以三棱锥P-ABC的体积的最大值为S△ABC·PD＝××2＝2．
故选B．]
7．已知a＝ln ，b＝cos ，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
B [由ln (1＋x)≤x，当x＝0时等号成立，知acos ＝>，∴c故选B．]
8．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率记为e1，双曲线－＝1的离心率记为e2，若＝2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
A [由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，记椭圆和双曲线的半焦距分别为c1，c2，因为＝2，则＝－4×＝－4×＝＋1－4＝2，令＝k(0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲在一次面试活动中，7位考官给他的打分分别为：61，83，84，87，90，91，92.则下列说法正确的有( )
A．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小
B．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小
C．这7个分数的平均数小于中位数
D．这7个分数的第70百分位数为87
BC [对于A，7个数的平均数是＝84，
去掉最高分和最低分后的平均数是＝87，平均数变大了，故A错误；
对于B，去掉最高分和最低分，波动变小了，所以方差会变小，故B正确；
对于C，这7个数的中位数是87，84<87，故C正确；
对于D，7×70%＝4.9，所以这7个数的第70百分位数是第5个数字90，故D错误．
故选BC．]
10．已知函数f (x)＝，则( )
A．x<0时，f (x)>0
B．f (x)在(1，＋∞)上单调递增
C．f (x)的极大值为1
D．f (x)的极大值为4
AC [对于A，当x<0时，ex>0，2x－1<0，x－1<0，所以f (x)＝>0，所以A正确；对于BCD，由f (x)＝，得f ′(x)＝(x≠1)，
由f ′(x)>0，得x<0或x>，由f ′(x)<0，得0所以f (x)在(－∞，0)，上单调递增，在(0，1)，上单调递减，
所以f (x)的极大值为f (0)＝1，
所以BD错误，C正确．
故选AC．]
11．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是( )
A．三棱锥C1-EFG的体积为
B．A1C⊥平面EFG
C．BC1∥平面EFG
D．二面角G-EF-C的余弦值为
ABC [如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，B1(2，2，2)，A1(2，0，2)，
因为E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，
则E(1，0，0)，F(2，1，0)，G(1，2，2)，
＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，＝(－2，0，2)，
易知，所以共面，
又BC1 平面EFG，所以BC1∥平面EFG，C正确；
＝VB-EFG＝VG-BEF＝S△BEF·BB1＝××1×1×2＝，A正确；
＝(－2，2，－2)，＝－2＋2＋0＝0，同理＝0，
所以是平面EFG的一个法向量，即A1C⊥平面EFG，B正确；
平面CEF的一个法向量是n＝(0，0，1)，
cos 〈，n〉＝＝＝－，因此二面角G-EF-C的余弦值为，D错误．
故选ABC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合A＝，若1∈A∩B，则A∪B的子集的个数为________．
8 [由1∈A∩B可知，1∈B，可得1－3＋m＝0，解得m＝2，所以B＝＝{x|(x－1)(x－2)＝0}，即B＝{1，2}．
A＝＝{x∈N|3-1<3x+1<33}＝{x∈N|－2所以A∪B＝{0，1，2}，则A∪B的子集的个数为23＝8．]
13．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是边AB上的三等分点(靠近点A)且CD＝1，(a－b)sin A＝(c＋b)，则a＋2b的最大值为________ ．
2 [由(a－b)sin A＝(c＋b)(sin C－sin B)及正弦定理得(a－b)a＝(c＋b)(c－b)，
整理得a2＋b2－c2＝ab＝2ab cos C，所以cos C＝．
因为0因为点D是边AB上靠近点A的三等分点，
则＋＋＝＋，
即＝＋，
两边同时平方得＝＋＋
即1＝b2＋a2＋ab cos ∠ACB，
整理得a2＋4b2＋2ab＝9，即(a＋2b)2＝9＋a×2b≤＋9，
解得0＜a＋2b≤2，当且仅当a＝2b＝时取等号，
所以a＋2b的最大值是2．]
14．已知F1(－c，0)，F2(c，0)分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点P(3c，0)的直线l
交椭圆C于A，B两点，若则椭圆C的离心率为________．
[由，得A为线段PB的中点，且点P在椭圆外，所以3c>a，则e>的中点，所以＝m，则|BF1|＝2m，又|F2B|＝3|F2A|，所以|F2B|＝3m，由椭圆的定义可知，2a＝|BF1|＋|BF2|＝2m＋3m＝5m，得m＝a．
如图，延长BF1交椭圆C于点Q，连接QF2，则由椭圆的对称性可知，
|QF1|＝|F2A|＝m，又2a＝|QF1|＋|QF2|，故|QF2|＝4m，
由余弦定理的推论可得
cos ∠QBF2＝＝＝，
在△BF1F2中，＝2c，由余弦定理可得4c2＝4m2＋9m2－2×2m×3m×＝m2，
即c2＝m2＝×a2＝a2，所以椭圆C的离心率为e＝＝＝>．]
1 / 1第6天 小题满分练(六)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z＝，表示z的共轭复数，则＝( )
A． B．
C． D．
2．将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数g(x)＝cos ωx的图象重合，则ω的最小值为( )
A．7 B．5
C．9 D．11
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且{Sn}单调递增．若a5＝5，则d的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．已知函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(－1)＝，则函数y＝loga(x2－2x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
5．为了解高中学生每天的体育活动时间，某市教育部门随机抽取1 000名高中学生进行调查，把每天进行体育活动的时间按照时长(单位：min)分成6组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]，然后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可估计这1 000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为( )
A．47.5 B．45.5
C．43.5 D．42.5
6．在三棱锥P-ABC中，PA＝PB，CP＝4，BA＝BC＝2，∠ABC＝，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为( )
A．1 B．2
C．6 D．12
7．已知a＝ln ，b＝cos ，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
8．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率记为e1，双曲线－＝1的离心率记为e2，若＝2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲在一次面试活动中，7位考官给他的打分分别为：61，83，84，87，90，91，92.则下列说法正确的有( )
A．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小
B．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小
C．这7个分数的平均数小于中位数
D．这7个分数的第70百分位数为87
10．已知函数f (x)＝，则( )
A．x<0时，f (x)>0
B．f (x)在(1，＋∞)上单调递增
C．f (x)的极大值为1
D．f (x)的极大值为4
11．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是( )
A．三棱锥C1-EFG的体积为
B．A1C⊥平面EFG
C．BC1∥平面EFG
D．二面角G-EF-C的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合A＝，若1∈A∩B，则A∪B的子集的个数为________．
13．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是边AB上的三等分点(靠近点A)且CD＝1，(a－b)sin A＝(c＋b)，则a＋2b的最大值为________ ．
14．已知F1(－c，0)，F2(c，0)分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点P(3c，0)的直线l
交椭圆C于A，B两点，若则椭圆C的离心率为________．
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