第7天 小题满分练(七)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝，N＝( )
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
2．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，则＝( )
A．0 B．
C． D．
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·2n-1－1，则t＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
5．已知△ABC是边长为1的正三角形，＝，P是BN上一点且＋，则＝( )
A． B．
C． D．1
6．已知复数z满足|z|＝1，且|z－1|＝|z＋i|，则z2＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
7．已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上运动(不与顶点重合)，设PF1与双曲线的左支交于点Q，△PQF2的内切圆与QF2相切于点M.若|QM|＝4，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
8．已知a，b∈R，定义：min{a，b}＝设f (x)＝min{2x－a，－x＋6－a}，x∈R．若函数y＝f (x)＋ax有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2)
C．(－1，0) D．(－2，0)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是( )
A．若a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，则a1＋a2＝5
B．若a2＋a13＝4，则S14＝28
C．若S15<0，则S7>S8
D．若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>0
10．存在函数f (x)满足：对于任意的x∈R，都有( )
A．f (sin x)＝cos 2x
B．f (cos 2x)＝sin x
C．f (x2＋2x)＝|x＋1|
D．f (x2＋1)＝|x＋1|
11．如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球为球O，E，F分别是棱AD，BB1的中点，G在棱AB上移动，则下列说法正确的是( )
A．对于任意点G，OD∥平面EFG
B．直线EF被球O截得的弦长为
C．过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D．当G为AB的中点时，过E，F，G的平面截该正方体所得截面的面积为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2a sin B，bc＝4，则△ABC的面积为________．
13．已知随机事件A，B，若P(A)＝＝，P＝，则P(B)＝ ________．
14．已知函数f (x)＝e2x-1－e1-2x＋sin ＋1，则不等式f (2x＋1)＋f (2－x)≥2的解集为 ________．
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(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝，N＝( )
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
A [M＝＝，N＝，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M N．
故选A．]
2．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，则＝( )
A．0 B．
C． D．
B [由题意可得P，则tan α＝＝，所以α＝＋2kπ，k∈Z，
所以cos ＝cos ＝cos ＝．
故选B．]
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝t·2n-1－1，则t＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
A [设等比数列的公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，不合题意；
当q≠1时，等比数列前n项和公式Sn＝＝－·qn＋，
依题意Sn＝t·2n-1－1＝t·2n－1 t＋(－1)＝0，t＝2．
故选A．]
4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
D [由已知可得极差是21－1＝20，而中位数是极差的，即中位数是12，
根据六个数的中位数是＝12，解得m＝12，
又6×0.45＝2.7，所以第45百分位数是12．
故选D．]
5．已知△ABC是边长为1的正三角形，＝，P是BN上一点且＋，则＝( )
A． B．
C． D．1
A [∵＝，∴＝，且＋＋，
而P，B，N三点共线，∴m＋＝1，
即m＝，
∴＝＋，
∴＝＋×cos 60°＝．
故选A．]
6．已知复数z满足|z|＝1，且|z－1|＝|z＋i|，则z2＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
D [设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|＝1，得a2＋b2＝1，
由|z－1|＝，即，
所以(a－1)2＋b2＝a2＋(b＋1)2，化简整理得a＋b＝0，得a＝－b，
所以a2＋b2＋2ab＝0，得2ab＝－1，
所以z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝－i．
故选D．]
7．已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上运动(不与顶点重合)，设PF1与双曲线的左支交于点Q，△PQF2的内切圆与QF2相切于点M.若|QM|＝4，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
A [设PF1，PF2分别与内切圆相切于点A，B，
则由双曲线的定义可得
即
根据内切圆的性质可得|PA|＝|PB|，|QA|＝|QM|，|MF2|＝|BF2|，
故＝4a，即|QM|＝2a＝4，故a＝2.故双曲线的离心率为＝．
故选A．
]
8．已知a，b∈R，定义：min{a，b}＝设f (x)＝min{2x－a，－x＋6－a}，x∈R．若函数y＝f (x)＋ax有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2)
C．(－1，0) D．(－2，0)
A [令函数g(x)＝2x－a－(－x＋6－a)＝2x＋x－6，显然函数g(x)在R上单调递增，
而g(2)＝0，则当x<2时，2x－a<－x＋6－a，当x≥2时，2x－a≥－x＋6－a，
于是函数f (x)＝
则f (x)＋ax＝
令函数h(x)＝由f (x)＋ax＝0，得h(x)＝－a(x－1)，
因此函数y＝f (x)＋ax的零点，即函数y＝h(x)的图象与直线y＝－a(x－1)交点的横坐标．
当x<2，恒有h(x)>0，在同一坐标系内作出直线y＝－a(x－1)与函数y＝h(x)的图象，如图，
观察图象知，当－a≥0，即a≤0时，直线y＝－a(x－1)与函数y＝h(x)的图象只有一个交点，
如图，直线y＝4(x－1)过点(1，0)，(2，4)，它与y＝2x的图象交于两点(2，4)，(3，8)，当x<2时，2x>4(x－1)；
当－a≤－1，即a≥1时，直线y＝－a(x－1)与函数y＝h(x)的图象只有一个交点；
当－1<－a<0，即0
所以若函数y＝f (x)＋ax有两个零点，实数a的取值范围是(0，1)．
故选A．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是( )
A．若a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，则a1＋a2＝5
B．若a2＋a13＝4，则S14＝28
C．若S15<0，则S7>S8
D．若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>0
BC [对于A，由a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，
可得(a7＋a8)－(a3＋a4)＝8d＝9，所以d＝，
又由a1＋a2＝(a3＋a4)－4d＝9－4×＝，所以A错误；
对于B，S14＝＝＝28，所以B正确；
对于C，S15＝＝15a8<0，所以a8<0，
又因为S8－S7＝a8<0，则S7>S8，所以C正确；
对于D，由{an}为递增数列，可得公差d>0，
由{anan＋1}为递增数列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d>0，
所以对任意的n≥2，an>0，但a1的正负不确定，所以D错误．故选BC．]
10．存在函数f (x)满足：对于任意的x∈R，都有( )
A．f (sin x)＝cos 2x
B．f (cos 2x)＝sin x
C．f (x2＋2x)＝|x＋1|
D．f (x2＋1)＝|x＋1|
AC [对于A，因为f (sin x)＝cos 2x＝1－2sin2x，
令t＝sin x，所以f (t)＝1－2t2，－1≤t≤1，故A正确；
对于B，f (cos 2x)＝sin x，取x＝和x＝－得，f (0)＝，f (0)＝－，故B错误；
对于C，令t＝x2＋2x，所以|x＋1|＝＝，即f (t)＝(t≥－1)符合题意，故C正确；
对于D，取x＝1，f (2)＝2；取x＝－1，f (2)＝0，故D错误．
故选AC．]
11．如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球为球O，E，F分别是棱AD，BB1的中点，G在棱AB上移动，则下列说法正确的是( )
A．对于任意点G，OD∥平面EFG
B．直线EF被球O截得的弦长为
C．过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D．当G为AB的中点时，过E，F，G的平面截该正方体所得截面的面积为2
BC [对于A，因为G在棱AB上移动，当G与A重合时，平面EFG即平面EFA，
因为D在直线AE上，所以D∈平面EFA，所以OD与平面EFG相交，A说法错误；
对于B，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意可得O(1，1，1)，E(1，0，0)，F(2，2，1)，D(0，0，0)，
则＝(0，－1，－1)，＝(1，2，1)，＝＝，
设直线OE与直线EF的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以sin θ＝＝，
过O作直线EF的垂线，垂足为M，
则在Rt△OEM中，由＝sin θ，解得OM＝，
设直线EF被球O截得弦长为l，
则l＝2＝2＝，B说法正确；
对于C，过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆半径最小时，OM垂直于过EF的平面，
此时圆的半径r＝＝，圆的面积为S＝π·＝，C说法正确；
对于D，当G为AB中点时，过E，F，G的平面截该正方体所得截面为正六边形EGFHNP，∠EAG＝90°，
在Rt△EAG中，AG＝AE＝1，所以EG＝＝，
所以截面面积S1＝6××××sin 60°＝，D说法错误．故选BC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2a sin B，bc＝4，则△ABC的面积为________．
1 [因为b＝2a sin B，由正弦定理可得
sin B＝2sin A sin B，又sin B≠0，
所以sin A＝，
则S△ABC＝bc sin A＝×4×＝1．]
13．已知随机事件A，B，若P(A)＝＝，P＝，则P(B)＝ ________．
＝＝，且P(A)＝，则P(AB)＝，
又因为P＝＝1－＝＝，
所以P(B)＝＝＝．]
14．已知函数f (x)＝e2x-1－e1-2x＋sin ＋1，则不等式f (2x＋1)＋f (2－x)≥2的解集为 ________．
[－2，＋∞) [由已知得，f (1－x)＝e1-2x－e2x-1＋sin ＋1＝e1-2x－e2x-1－sin ＋1，
所以f (x)＋f (1－x)＝2，
即f (1－x)＝2－f (x)，
则不等式f (2x＋1)＋f (2－x)≥2等价于f (2x＋1)≥2－f (2－x)＝f (x－1)，
再由f ′(x)＝2e2x-1＋2e1-2x＋cos ≥4＋cos
＝4＋cos >0，
可得f (x)在R上单调递增，
所以2x＋1≥x－1，
解得x≥－2．]
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