第8天 小题满分练(八)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|2x<4}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1，2} B．{－1，0，1}
C．{x|x≤2} D．{x|x<2}
2．设向量a＝，b＝(2，k2)，若a∥b，则实数k的值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D．1
3．已知点A(a，2)为抛物线x2＝2py( p>0)上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p＝( )
A． B．1
C．2 D．4
4．在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．过点E(a，－1)向圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝，则( )
A．a＝2或a＝－1 B．a＝－2或a＝1
C．a＝－3或a＝1 D．a＝3或a＝－1
6．若函数f (x)＝1＋lg x，则函数F(x)＝2[ f (x)]2－f (x2)的值域为( )
A． B．[1，8]
C．[2，16] D．[1，16]
7．某公司的员工中，有15%是行政人员，有35%是技术人员，有50%是研发人员，其中60%的行政人员具有研究生学历，40%的技术人员具有研究生学历，80%的研发人员具有研究生学历，从具有研究生学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为( )
A． B．
C． D．
8．已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为42，则该正三棱台的外接球表面积为( )
A．20π B．π
C．80π D．π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z1，z2，z3满足：|z1|＝|z2|＝2，z3＝z1＋z2＝＋i，若z1在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为( )
A．＝ B．2z1＋z2∈R
C．z1z2＝2＋2i D．＝－i
10．已知函数g(x)＝sin (ωx＋φ)(0<ω<4，0<φ<π)为偶函数，将g(x)图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数f (x)的图象，若f (x)的图象过点，则( )
A．函数f (x)的最小正周期为1
B．函数f (x)图象的一条对称轴为x＝
C．函数f (x)在上单调递减
D．函数f (x)在(0，π)上恰有5个零点
11．已知函数f (x)的定义域为R，且f (1)≠0，若f (x)f (y)－f (x＋y)＝xy，则( )
A．f (0)＝1 B．f (1)＝2
C．f (x＋1)是奇函数 D．f (π3)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知变量x与y的10对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，且＝91，＝180，若y关于x的经验回归方程为＝1.5x＋3，则变量x的平均值＝________；x10＝________．
13．已知α，β∈，sin (2α＋β)＝2sin β，tan α＝，则tan (α＋β)＝ ________．
14．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a3＝2，且anan＋2＝an＋1an＋3，则S16的最小值为________．
3 / 3第8天 小题满分练(八)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{x|2x<4}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1，2} B．{－1，0，1}
C．{x|x≤2} D．{x|x<2}
B [依题意，B＝{x|2x<4}＝{x|x<2}，又A＝{－1，0，1，2，3}，
所以A∩B＝{－1，0，1}．
故选B．]
2．设向量a＝，b＝(2，k2)，若a∥b，则实数k的值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D．1
D [因为a∥b，故k2－2＝0，解得k＝1．
故选D．]
3．已知点A(a，2)为抛物线x2＝2py( p>0)上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p＝( )
A． B．1
C．2 D．4
C [因为抛物线方程为x2＝2py( p>0)，
则其焦点在y轴正半轴上，焦点坐标为，
由于点A(a，2)为抛物线x2＝2py( p>0)上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，
所以点A到抛物线的焦点F的距离为|AF|＝2＋＝3，解得p＝2．
故选C．]
4．在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若sin A＝cos B，则A＋B＝或A－B＝，即C＝或A－B＝，
所以在△ABC中，“sin A＝cos B”不是“C＝”的充分条件．
若C＝，则A＋B＝，则sin A＝sin ＝cos B，
所以在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的必要不充分条件．
故选B．]
5．过点E(a，－1)向圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝，则( )
A．a＝2或a＝－1 B．a＝－2或a＝1
C．a＝－3或a＝1 D．a＝3或a＝－1
D [圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心M(1，1)，半径r＝，连接AM，ME，
依题意，AM⊥AE，∠AEM＝∠AEB＝，则|EM|＝2|AM|＝2，
于是＝2，整理得a2－2a－3＝0，所以a＝3或a＝－1．
故选D．]
6．若函数f (x)＝1＋lg x，则函数F(x)＝2[ f (x)]2－f (x2)的值域为( )
A． B．[1，8]
C．[2，16] D．[1，16]
D [函数f (x)＝1＋lg x在上单调递增，f (x)∈[0，3]，
令t＝[ f (x)]2－f (x2)＝[ f (x)]2－1－2lg x＝－2f (x)＋1＝[ f (x)－1]2∈[0，4]，
而函数y＝2t在[0，4]上单调递增，则1≤2t≤16，
所以函数F(x)＝2[ f (x)]2－f (x2)的值域为[1，16]．
故选D．]
7．某公司的员工中，有15%是行政人员，有35%是技术人员，有50%是研发人员，其中60%的行政人员具有研究生学历，40%的技术人员具有研究生学历，80%的研发人员具有研究生学历，从具有研究生学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为( )
A． B．
C． D．
C [设事件A＝“选出的员工是行政人员”，B＝“选出的员工是技术人员”，C＝“选出的员工是研发人员”，D＝“选出的员工具有研究生学历”，
由题可知，P(A)＝0.15，P(B)＝0.35，P(C)＝0.5，P(D|A)＝0.6，P(D|B)＝0.4，P(D|C)＝0.8，
所以P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝0.15×0.6＋0.35×0.4＋0.5×0.8＝0.63，
又P(D|B)＝＝＝0.4，所以P(DB)＝0.14，
所以P(B|D)＝＝＝．
故选C．]
8．已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为42，则该正三棱台的外接球表面积为( )
A．20π B．π
C．80π D．π
C [令给定的正三棱台为正三棱台ABC-A1B1C1，则A1B1＝2，AB＝4，
令△A1B1C1，△ABC的中心分别为O1，O2，而＝×(2)2＝3，S△ABC＝×(4)2＝12，
则V＝(3＋＋12)·O1O2＝42，解得O1O2＝6．
△A1B1C1的外接圆半径r1＝2，△ABC的外接圆半径r＝4，
显然正三棱台的外接球球心O在直线O1O2上，设外接球半径为R，OO1＝x，则|OO2|＝|6－x|，
因此R2＝x2＋22＝(6－x)2＋42，解得x＝4，R2＝20，
所以该正三棱台的外接球表面积S＝4πR2＝80π．
故选C．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z1，z2，z3满足：|z1|＝|z2|＝2，z3＝z1＋z2＝＋i，若z1在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为( )
A．＝ B．2z1＋z2∈R
C．z1z2＝2＋2i D．＝－i
BC [设复数z1，z2，z3在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，O为坐标原点，
则复数z1，z2，z3在复平面内对应的向量为，且＝＝＝2，
＝＝，
所以四边形OZ1Z3Z2为菱形，且∠Z1OZ3＝，
又OZ3与x轴正半轴所成的角为，
所以OZ1与x轴正半轴所成的角为，所以Z1与Z3关于x轴对称，
所以z1＝－i，则z2＝2i，所以2z1＋z2＝2∈R，故B正确；
因为z1－z2＝－i－2i＝－3i，所以＝＝2，故A错误；
z1z2＝2i＝2＋2i，故C正确；
＝＝＝－－i，故D错误．
故选BC．]
10．已知函数g(x)＝sin (ωx＋φ)(0<ω<4，0<φ<π)为偶函数，将g(x)图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数f (x)的图象，若f (x)的图象过点，则( )
A．函数f (x)的最小正周期为1
B．函数f (x)图象的一条对称轴为x＝
C．函数f (x)在上单调递减
D．函数f (x)在(0，π)上恰有5个零点
AC [由函数g(x)为偶函数，得φ＝＋kπ，k∈Z，而0<φ<π，则φ＝，
因此f (x)＝sin ＝cos ，f (0)＝cos ＝，
由0<ω<4，得0<<，于是＝，解得ω＝π，则f (x)＝cos ．
对于A，函数f (x)的最小正周期为T＝＝1，A正确；
对于B，f ＝cos ＝≠±1，函数f (x)的图象不关于x＝对称，B错误；
对于C，当1因此函数f (x)在上单调递减，C正确；
对于D，由f (x)＝0，得2πx＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
由0<＋<π，k∈Z，解得k∈{0，1，2，3，4，5}，因此函数f (x)在(0，π)上恰有6个零点，D错误．
故选AC．]
11．已知函数f (x)的定义域为R，且f (1)≠0，若f (x)f (y)－f (x＋y)＝xy，则( )
A．f (0)＝1 B．f (1)＝2
C．f (x＋1)是奇函数 D．f (π3)ABD [选项A：令x＝1，y＝0，得f (1)f (0)－f (1)＝0 f (1)[ f (0)－1]＝0，
因为f (1)≠0，所以f (0)＝1，所以选项A正确；
令x＝1，y＝－1，得f (1)f (－1)－f (0)＝－1 f (1)f (－1)＝0，因为f (1)≠0，所以f (－1)＝0；
令y＝－1，得f (x)f (－1)－f (x－1)＝－x f (x－1)＝x，所以f (x)＝x＋1．
选项B：f (1)＝2，故选项B正确；
选项C：f (x＋1)＝x＋2，显然不为奇函数，故选项C错误；
选项D: 因为f (x)＝x＋1，显然单调递增，
要证明f (π3)即证π3<3π，
而ln π3构造函数g(x)＝，
得g′(x)＝，
显然当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(π)故选ABD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知变量x与y的10对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，且＝91，＝180，若y关于x的经验回归方程为＝1.5x＋3，则变量x的平均值＝________；x10＝________．
10 9 [依题意，＝18，又＝10，由＝91，得x10＝10－＝9．]
13．已知α，β∈，sin (2α＋β)＝2sin β，tan α＝，则tan (α＋β)＝ ________．
2 [由sin (2α＋β)＝2sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]，
即sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α＝2sin (α＋β)cos α－2cos (α＋β)sin α，
整理得sin (α＋β)cos α＝3cos (α＋β)sin α，由α，β∈，得α＋β∈(0，π)，
则cos α>0，sin (α＋β)>0，cos (α＋β)≠0，于是＝，又tan α＝，所以tan (α＋β)＝3tan α＝2．]
14．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a3＝2，且anan＋2＝an＋1an＋3，则S16的最小值为________．
12＋8 [由anan＋2＝an＋1an＋3，得an＋1an＋3＝an＋2an＋4，则an＋4＝an，
即数列{an}是以4为周期的周期数列，而a1＝1，a3＝2，则a2a4＝a1a3＝2，
因此S16＝4(a1＋a2＋a3＋a4)＝12＋4(a2＋a4)≥12＋8＝12＋8，
当且仅当a2＝a4＝时取等号，
所以S16的最小值为12＋8．]
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