第9天 小题满分练(九)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为( )
A．14 B．15
C．16 D．18
D [将数据按从小到大排序可得10，12，14，14，15，16，20，24，共8个样本数据，8×0.75＝6，则上四分位数即第75百分位数为＝18．
故选D．]
2．在等差数列{an}中，a3＋a24＝20，则S26＝( )
A．130 B．260
C．320 D．520
B [S26＝＝＝＝260.故选B．]
3．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为( )
A．π B．28π
C．28π D．π
A [因为圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的高为＝，
所以圆台的体积为V＝π(22＋2×4＋42)×＝π．
故选A．]
4．在的展开式中，x2的系数为( )
A．80 B．240
C．1 600 D．2 400
D [的展开式的通项为Tk＋1＝＝·204-k·x8-3k，
令8－3k＝2，解得k＝2，
故x2的系数为×202＝2 400．
故选D．]
5．在平面直角坐标系中，＝(1，)，点B在直线x＋y－2＝0上，则在上的投影向量为( )
A．(1，) B．(1，3)
C． D．
C [根据题意，设点B(2－m，m)，则＝(2－m，m)，则在上的投影向量为·＝×(1，)＝.故选C．]
6．现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到A，B，C三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学．设事件A＝“恰有两人在同一个社区”，事件B＝“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件C＝“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下列说法正确的是( )
A．事件A与B相互独立
B．事件A与B是互斥事件
C．事件B与C相互独立
D．事件B与C是对立事件
A [对于A，依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件A是必然事件，P(A)＝1，
显然B A，P(AB)＝P(B)＝＝＝P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立，A正确；
对于B，由P(AB)＝，得事件A与B不是互斥事件，B错误；
对于C，显然事件B与C不可能同时发生，即P(BC)＝0，而P(C)＝P(B)＝，事件B与C不相互独立，C错误；
对于D，显然事件B与C可以同时不发生，如甲、丙在同一社区，因此事件B与C不是对立事件，D错误．故选A．]
7．已知f (x)＝sin (ln x)，x>0，则“x＝enπ(n∈N＋)”是“f (x)＝0成立”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [令f (x)＝0，则ln x＝kπ，k∈Z，所以x＝ekπ，k∈Z，
所以f (x)＝0推不出x＝enπ(n∈N＋)，
当x＝enπ(n∈N＋)时，则ln x＝ln enπ＝nπ，
所以f (x)＝sin(ln x)＝sin nπ＝0，
所以“x＝enπ(n∈N＋)”是“f (x)＝0成立”的充分不必要条件．
故选A．]
8．小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是( )
A． B．
C． D．
D [根据题意，设事件A为“小明爬到第4级台阶”，事件B为“小明走了3步爬到第4级台阶”，
事件A包含3种情况，
①走了4次1级台阶，其概率P1＝＝，
②走了2次1级台阶，1次2级台阶，其概率P2＝××＝，即P(AB)＝，
③走了2次2级台阶，其概率P3＝＝，
故小明爬到第4级台阶的概率P(A)＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝，
在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率P(A)＝＝＝．故选D．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z＝a＋bi，下列说法正确的是( )
A．若z为纯虚数，则a＋b＝0
B．若z是的共轭复数，则a＋b＝－
C．若z＝(1＋i)(1－3i)，则a＋b＝2
D．若|z－i|＝1，则|z|取最大值时，a＋b＝2
CD [对于A：复数z＝a＋bi的实部为a，虚部为b，若z为纯虚数，则
故a＋b＝b≠0，A错误；
对于B：因为＝＝－＋i，所以z＝－－i，则a＋b＝－，B错误；
对于C：z＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，则a＋b＝2，C正确；
对于D：因为|z－i|＝1，所以＝1，
即a2＋(b－1)2＝1，令
则|z|＝＝，
因为θ∈R，所以－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝1时，|z|取到最大值2，
此时所以a＋b＝2，D正确．
故选CD．]
10．已知f (x)＝(sin ωx＋cos ωx)(ω>0)，集合A＝，若存在ω，使得集合B＝{(x，y)| f (x)·f (y)＝4，x，y∈A}恰有五个元素，则ω的可能取值为( )
A． B．
C．3 D．
AB [函数f (x)＝(sin ωx＋cos ωx)＝2sin (ω>0)，
则f (x)·f (y)＝4sin sin ＝4，
所以sin ＝1，sin ＝1，
或sin ＝－1，sin ＝－1，
因为x，y∈，所以ωx＋，ωy＋∈，
因为使得集合B＝{(x，y)| f (x)·f (y)＝4，x，y∈A}恰有五个元素，
则ωx＋＝ωy＋＝，ωx＋＝ωy＋＝，ωx＋＝ωy＋＝，ωx＋＝，ωy＋＝，或ωx＋＝，ωy＋＝，所以≤＋<，解得≤ω<．
故选AB．]
11．已知抛物线C：x2＝4y的准线为l，焦点为F，过F的直线m与C交于A，B两点，则( )
A．l的方程为y＝－1
B．l与以线段AB为直径的圆相切
C．当线段AB中点的纵坐标为2时，|AB|＝3
D．当m的倾斜角等于45°时，|AB|＝8
ABD [由抛物线C：x2＝4y的方程可知＝1，所以准线方程为y＝－1，故A正确；
设AB中点为M，过B，M，A分别作准线的垂线，垂足分别为B′，M′，A′，
则由梯形中位线可得|MM′|＝，再由抛物线定义可得|BF|＝|BB′|，|AF|＝|AA′|，
所以|MM′|＝＝，即圆心到准线的距离等于半径，
所以l与以线段AB为直径的圆相切，故B正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB中点的纵坐标为2，所以y1＋y2＝4，
由抛物线的定义可知|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝6，故C错误；
当m的倾斜角等于45°时，由于F(0，1)，所以直线m的方程为y＝x＋1，
联立消去x，得y2－6y＋1＝0，所以y1＋y2＝6，
由抛物线定义可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8，故D正确．故选ABD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合A＝{x|－224 [A＝{x|－20，所以x>，
所以B＝{x|y＝ln (2x－1)}＝，所以A∩B＝{1，2，3，4}，
所以A∩B的所有元素之积为1×2×3×4＝24．]
13．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，若点O是线段AC的中点，则三棱锥O-AA1D的外接球的表面积为________．
8π [根据题意，取A1D的中点S，AD的中点P，连接SP，PO，SO，
则SP＝1，PO＝1，结合正方体结构特征易得SP⊥OP，所以SO＝，又SD＝SA＝SA1＝，所以点S为三棱锥O-AA1D的外接球的球心，且半径r＝，所以外接球的表面积为4π×()2＝8π．]
14．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2的一条直线与C交于A，B两点，|BF2|＝1，∠F1AF2＝60°，则椭圆的长轴的最小值为________．
3 [如图，∠F1AF2＝60°，
设|AF2|＝t(0根据椭圆定义可得|AF1|＝2a－t，|BF1|＝2a－1，
在△ABF1中，根据余弦定理的推论，得＝cos 60°，即＝，得2a＝＝＋＋≥2＋＝3，当且仅当＝，即t＝1时，等号成立，所以椭圆的长轴的最小值为3．]
6 / 6第9天 小题满分练(九)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为( )
A．14 B．15
C．16 D．18
2．在等差数列{an}中，a3＋a24＝20，则S26＝( )
A．130 B．260
C．320 D．520
3．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为( )
A．π B．28π
C．28π D．π
4．在的展开式中，x2的系数为( )
A．80 B．240
C．1 600 D．2 400
5．在平面直角坐标系中，＝(1，)，点B在直线x＋y－2＝0上，则在上的投影向量为( )
A．(1，) B．(1，3)
C． D．
6．现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到A，B，C三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学．设事件A＝“恰有两人在同一个社区”，事件B＝“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件C＝“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下列说法正确的是( )
A．事件A与B相互独立
B．事件A与B是互斥事件
C．事件B与C相互独立
D．事件B与C是对立事件
7．已知f (x)＝sin (ln x)，x>0，则“x＝enπ(n∈N＋)”是“f (x)＝0成立”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是( )
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z＝a＋bi，下列说法正确的是( )
A．若z为纯虚数，则a＋b＝0
B．若z是的共轭复数，则a＋b＝－
C．若z＝(1＋i)(1－3i)，则a＋b＝2
D．若|z－i|＝1，则|z|取最大值时，a＋b＝2
10．已知f (x)＝(sin ωx＋cos ωx)(ω>0)，集合A＝，若存在ω，使得集合B＝{(x，y)| f (x)·f (y)＝4，x，y∈A}恰有五个元素，则ω的可能取值为( )
A． B．
C．3 D．
11．已知抛物线C：x2＝4y的准线为l，焦点为F，过F的直线m与C交于A，B两点，则( )
A．l的方程为y＝－1
B．l与以线段AB为直径的圆相切
C．当线段AB中点的纵坐标为2时，|AB|＝3
D．当m的倾斜角等于45°时，|AB|＝8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合A＝{x|－213．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，若点O是线段AC的中点，则三棱锥O-AA1D的外接球的表面积为________．
14．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2的一条直线与C交于A，B两点，|BF2|＝1，∠F1AF2＝60°，则椭圆的长轴的最小值为________．
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