第12天 大题抢分练(二)
(满分77分 建议用时70分钟)
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤．
1．(13分)已知a1＝，an∈，tan an＋1＝(n∈N*)．
(1)求tan a1，tan a2，tan a3；
(2)证明：{tan2an}是等差数列，并求出tan2an；
(3)设bn＝，求{bn}的前n项和Sn．
[解] (1)a1＝，tan a1＝1，cos a1＝，tan a2＝，cos a2＝，tan a3＝．
(2)证明：tan2an＋1＝＝＝tan2an＋1，故{tan2an}是以1为首项，1为公差的等差数列，故tan2an＝n．
(3)因为bn＝＝＝－，所以Sn＝－1．
2．(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，已知·＝2S．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求b2＋c2的最大值．
[解] (1)因为·＝2S，所以bc cos A＝bc sin A，
可得tan A＝，因为0
(2)由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ，即12＝b2＋c2－bc，
因为b2＋c2≥2bc，所以bc≤，
所以bc＝b2＋c2－12≤，可得b2＋c2≤24，
当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以b2＋c2的最大值为24．
3．(15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD∥AB，∠ABC＝90°，AB＝2CD，三棱锥B-PCD的体积为，平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积，并画出交线l；
(2)若AB＝2BC＝4，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD，在l上是否存在点N，使平面PDC与平面DCN夹角的余弦值为？若存在，求PN的长度；若不存在，请说明理由．
[解] (1)记点P到平面ABCD的距离为h．
由VB-PCD＝VP-BCD＝·h·S△BCD＝，VP-ABCD＝·h·S四边形ABCD，
∵AB＝2CD，∴S△ADB＝2S△BCD，
∴S四边形ABCD＝3S△BCD，VP-ABCD＝3VP-BCD＝2．
延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM，
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM．
(2)取AD的中点E，连接PE，
∵PA＝PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，
VB-PCD＝VP-BCD＝·PE·S△BCD＝，
S△BCD＝BC·CD＝2，解得PE＝．
以点B为坐标原点，以BA，BM所在直线分别为x，y轴，以过点B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示．
则P，C(0，2，0)，D(2，2，0)，M(0，4，0)，
∴＝(2，0，0)，＝＝(－3，3，－)，
设＝λ＝，则＝＝(1－3λ，3λ－1，(1－λ))，
设平面PDC的法向量为m＝，
则即
令z1＝1，得m＝为平面PDC的一个法向量．
设平面DCN的法向量为n＝，
则即
令y2＝(1－λ)，可得n＝(0，(1－λ)，1－3λ)为平面DCN的一个法向量．
∵平面PDC与平面DCN夹角的余弦值为，
∴＝＝＝，
整理得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3，
即在直线l上存在点N，使平面PDC与平面DCN夹角的余弦值为，
此时＝或＝(－9，9，－3)，则PN＝＝或PN＝＝6．
4．(17分)甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．
(1)求甲通过初试的概率；
(2)求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量X为甲的得分成绩，求X的数学期望．
[解] (1)甲要通过初试，则需要答对2道或3道题目，
所以甲通过初试的概率为＝．
(2)①若甲初试答对2道题目，则甲晋级决赛，复试需要答对2题，
此时甲晋级决赛的概率为·＝．
②若甲初试答对3道题目，则甲晋级决赛，复试需要答对1题或2题，
当复试答对1题时，甲晋级决赛的概率为××＝，
当复试答对2题时，甲晋级决赛的概率为·＝，
综上所述，甲晋级决赛的概率为＋＋＝．
在甲晋级决赛的情况下，随机变量X可取24，30，
P(X＝24)＝＝，P(X＝30)＝＝，
所以E(X)＝24×＋30×＝．
5．(17分)已知抛物线C：x2＝2py的焦点与椭圆C′：＋y2＝1的上顶点重合，点A是直线l：x－2y－8＝0上任意一点，过点A作抛物线的两条切线，切点分别为M，N．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：直线MN过定点，并且求出定点坐标．
[解] (1)由题意知，椭圆C′：＋y2＝1的上顶点为(0，1)，则＝1，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y．
(2)证明：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(a，b)．
由y＝ y′＝，∴直线AM的斜率为kAM＝，∴lAM：y－y1＝(x－x1)，
即x1x＝2(y＋y1)，
同理可得lAN：x2x＝2(y＋y2)．
∵点A∈lAM，代入lAM得ax1＝2(y1＋b)，
点A∈lAN，代入lAN得ax2＝2(y2＋b)，
∴点M，N都满足关系ax＝2(y＋b)＝2y＋2b，
∴lMN：ax＝2(y＋b)＝2y＋2b①．
又点A∈l，∴2b＝a－8，代入①得ax＝2y＋a－8 a(x－1)－2y＋8＝0，
故直线MN恒过定点(1，4)．
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(满分77分 建议用时70分钟)
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤．
1．(13分)已知a1＝，an∈，tan an＋1＝(n∈N*)．
(1)求tan a1，tan a2，tan a3；
(2)证明：{tan2an}是等差数列，并求出tan2an；
(3)设bn＝，求{bn}的前n项和Sn．
2．(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，已知·＝2S．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求b2＋c2的最大值．
3．(15分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD∥AB，∠ABC＝90°，AB＝2CD，三棱锥B-PCD的体积为，平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积，并画出交线l；
(2)若AB＝2BC＝4，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD，在l上是否存在点N，使平面PDC与平面DCN夹角的余弦值为？若存在，求PN的长度；若不存在，请说明理由．
4．(17分)甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．
(1)求甲通过初试的概率；
(2)求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量X为甲的得分成绩，求X的数学期望．
5．(17分)已知抛物线C：x2＝2py的焦点与椭圆C′：＋y2＝1的上顶点重合，点A是直线l：x－2y－8＝0上任意一点，过点A作抛物线的两条切线，切点分别为M，N．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：直线MN过定点，并且求出定点坐标．
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