第13天 大题抢分练(三)
(满分77分 建议用时70分钟)
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤．
1．(13分)已知函数f (x)＝－f ′(1)x2＋x＋2ln x．
(1)求f ′(1)并写出f (x)的表达式；
(2)证明：f (x)≤x－1．
[解] (1)由f (x)＝－f ′(1)x2＋x＋2ln x，得f ′(x)＝－2f ′(1)x＋1＋，取x＝1得f ′(1)＝－2f ′(1)＋1＋2，解得f ′(1)＝1．
将f ′(1)＝1代入f (x)＝－f ′(1)x2＋x＋2ln x可得f (x)＝－x2＋x＋2ln x，所以f (x)＝－x2＋x＋2ln x，x＞0．
(2)证明：设g(t)＝t－ln t(t＞0)，则g′(t)＝1－＝，故当01时g′(t)>0．
所以g(t)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(t)≥g(1)＝1．
从而f (x)＝－x2＋x＋2ln x＝－x2＋x＋ln x2＝x－g(x2)≤x－1，所以f (x)≤x－1．
2．(15分)已知函数f (x)＝sin x＋2cos2．在△ABC中，f (A)＝f (B)，且a≠b．
(1)求C的大小；
(2)若c＝5，且△ABC的面积为2，求△ABC的周长．
[解] (1)由函数f (x)＝sin x＋2cos2＝sin x＋cos x＋1＝2sin ＋1，
f (A)＝f (B)，可得sin ＝sin ．
在△ABC中，因为A，B∈(0，π)，
所以A＋∈，B＋∈，
又因为a≠b，所以A≠B，
所以＝π，解得A＋B＝．
因为A＋B＋C＝π，所以C＝．
(2)由(1)知C＝，因为△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝2，所以ab＝8，
在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得25＝a2＋b2－2ab cos ，
整理得a2＋b2－ab＝25，所以(a＋b)2－3ab＝25，
即(a＋b)2＝25＋3ab＝49，所以a＋b＝7，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝12．
3．(15分)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长．某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91．
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89．
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望．
[解] (1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94．
因为20×25%＝5，
所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为＝75．
(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；
分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人．
所以X的所有可能取值为1，2，3．
P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝．
4．(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD＝4，AB＝BC＝2，M为PA的中点．
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值．
[解] (1)证明：取AD的中点为O，连接PO.因为△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PO 平面PAD，故PO⊥平面ABCD，又AB 平面ABCD，故PO⊥AB，
又PD⊥AB，PO∩PD＝P，PO，PD 平面PAD，
故AB⊥平面PAD，因为DM 平面PAD，故AB⊥DM．
又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM⊥PA，
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
所以DM⊥平面PAB．
(2)由(1)知AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，故AB⊥AD，
连接CO，AO＝AD＝2，则AO∥BC，AO＝BC，
即四边形AOCB为平行四边形，故OC∥AB，所以OC⊥AD，
故以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，B(2，－2，0)，M(0，－1，)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，
＝(2，－2，－2)，＝(2，1，－)，＝(0，3，－)．
设平面MCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即令y＝1，则n＝(1，1，)为平面MCD的一个法向量．
设直线PB与平面MCD所成的角为θ，θ∈，
则sin θ＝＝＝＝．
所以直线PB与平面MCD所成角的正弦值为．
5．(17分)已知双曲线C：－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点P(4，0)的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
(1)若直线l的斜率k存在，求k的取值范围；
(2)记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求的值；
(3)设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分别为S1，S2，求的最小值．
[解] (1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋4，且m≠0，
联立方程整理得(m2－4)y2＋8my＋12＝0，
因为直线l与双曲线的右支交于M，N两点，可得
解得－2又由直线l的斜率为k＝，可得k的取值范围是．
(2)由双曲线C：－y2＝1，可得A1(－2，0)，A2(2，0)，
由(1)可得y1＋y2＝－，y1y2＝，
则2my1y2＝－3(y1＋y2)．
所以＝＝＝＝
＝＝
＝－．
(3)由(2)可知k2＝－3k1，
所以直线A1M与直线A2N的方程分别为y＝k1(x＋2)和y＝－3k1(x－2)，
联立两直线方程可得交点G的横坐标为xG＝1，
于是＝＝·＝·＝＝＝＝－1＋≥－1＋＝3，故的最小值为3，当且仅当m＝0时取等号．
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(满分77分 建议用时70分钟)
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤．
1．(13分)已知函数f (x)＝－f ′(1)x2＋x＋2ln x．
(1)求f ′(1)并写出f (x)的表达式；
(2)证明：f (x)≤x－1．
2．(15分)已知函数f (x)＝sin x＋2cos2．在△ABC中，f (A)＝f (B)，且a≠b．
(1)求C的大小；
(2)若c＝5，且△ABC的面积为2，求△ABC的周长．
3．(15分)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长．某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91．
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89．
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望．
4．(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD＝4，AB＝BC＝2，M为PA的中点．
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值．
5．(17分)已知双曲线C：－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点P(4，0)的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
(1)若直线l的斜率k存在，求k的取值范围；
(2)记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求的值；
(3)设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分别为S1，S2，求的最小值．
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