第14天 大题抢分练(四)
(满分77分 建议用时70分钟)
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤．
1．(13分)已知f (x)＝ax＋b cos x在点处的切线方程为x＋2y－π＝0．
(1)求a，b的值；
(2)求f (x)在区间(0，π)上的单调区间和极值．
2．(15分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S＝sin B．
(1)求角B；
(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，a＝3，c＝4，求BD的长．
3．(15分)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q＞0，n∈N*．
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求．
4．(17分)如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
(1)求证：AD⊥BM；
(2)若＝λ(0<λ<1)，当二面角E-AM-D的大小为时，求λ的值．
5.(17分)某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数y与天数x的情况，对统计得到的样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
(1)依据散点图推断，y＝bx＋a与y＝ebx＋a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)依据(1)的结果和上表中的数据求出y关于x的回归方程．
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
性别 佩戴头盔 合计
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合计 22 18 40
依据α＝0.10的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：＝，＝－，χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2 / 3第14天 大题抢分练(四)
(满分77分 建议用时70分钟)
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤．
1．(13分)已知f (x)＝ax＋b cos x在点处的切线方程为x＋2y－π＝0．
(1)求a，b的值；
(2)求f (x)在区间(0，π)上的单调区间和极值．
[解] (1)由f (x)＝ax＋b cos x，得f ′(x)＝a－b sin x，
因为f (x)＝ax＋b cos x在点处的切线方程为x＋2y－π＝0，
所以
所以
即解得a＝，b＝1．
(2)由(1)知f (x)＝x＋cos x，f ′(x)＝－sin x，令f ′(x)＝0，则sin x＝
因为x∈(0，π)，所以x1＝，x2＝，
当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，
当x∈时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，
当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增．
所以f (x)的极大值为f ＝×＋cos ＝＋，极小值为f ＝×＋cos ＝－，
综上所述，f (x)在区间(0，π)上的单调递增区间为和，单调递减区间为；
极大值为＋，极小值为－．
2．(15分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S＝sin B．
(1)求角B；
(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，a＝3，c＝4，求BD的长．
[解] (1)在△ABC中，S＝ac sin B＝(a2＋c2－b2)sin B，而0即sin B>0，则a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理的推论得cos B＝＝，所以B＝．
(2)在△ABC中，由等面积法得S△ABC＝S△BAD＋S△BCD，
即BC·BA·sin B＝BA·BD·sin ＋BC·BD·sin ，
即×3×4×＝×4×BD×＋×3×BD×，
所以BD＝．
3．(15分)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q＞0，n∈N*．
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求．
[解] (1)由已知Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减，得an＋2＝qan＋1，n≥1．
又由S2＝qS1＋1，得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn-1．
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2．
所以an＝2n-1(n∈N*)．
(2)由(1)可知，an＝qn-1．
所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝．
由e2＝＝2，解得q＝．
所以＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n-1)]
＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n-1)]＝n＋
＝n＋(3n－1)．
4．(17分)如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
(1)求证：AD⊥BM；
(2)若＝λ(0<λ<1)，当二面角E-AM-D的大小为时，求λ的值．
[解] (1)证明：取AM的中点O，AB的中点N，连接OD，ON．
因为M为CD的中点，且CD＝AB＝2，所以DM＝1，
又DA＝1，O为AM的中点，所以OD⊥AM．
因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，OD 平面ADM，
所以OD⊥平面ABCM．
又AM＝BM＝，AB＝2，所以AM⊥BM．
因为O为AM的中点，N为AB的中点，
所以ON∥BM，所以ON⊥AM．
所以ON，OA，OD两两垂直．
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
根据已知条件，得A，B，M，D，
由于＝＝，则·＝0，故AD⊥BM．
(2)因为＝λ，则＝λ，
所以点E的坐标为(其中λ∈(0，1))．
易得平面ADM的一个法向量为n1＝(0，1，0)，
设平面AME的法向量为n2＝(x，y，z)，
＝＝，
则
即
取y＝λ－1，则n2＝(0，λ－1，2λ)，
由于二面角E-AM-D的大小为，
则cos ＝＝＝＝，
由于λ∈(0，1)，故解得λ＝2－3．
5.(17分)某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数y与天数x的情况，对统计得到的样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
(1)依据散点图推断，y＝bx＋a与y＝ebx＋a哪一个更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)依据(1)的结果和上表中的数据求出y关于x的回归方程．
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
性别 佩戴头盔 合计
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合计 22 18 40
依据α＝0.10的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：＝，＝－，χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[解] (1)依据散点图可以判断，y＝ebx＋a更适合作为未佩戴头盔人数y与天数x的回归方程类型．
(2)由Yi＝ln yi，得Y＝ln ebx＋a＝bx＋a，
依题意得＝
＝＝－＝－0.3，
＝＝1.9－×5.5＝3.55，
所以Y＝－0.3x＋3.55，即y＝e-0.3x+3.55.
(3)零假设H0：市民佩戴头盔与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到：χ2＝≈3.636>2.706＝x0.10，
根据小概率值α＝0.10的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0.10.
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