第15天 仿真模拟练
(时间：120分 满分：150分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2，3}
C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
2．等差数列{an}中，设前n项和为Sn，a9＝5，则S17等于( )
A．80 B．85
C．90 D．95
3．已知双曲线C：－＝1(b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的离心率为( )
A． B．2
C． D．2或
4．比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比．某地区进行调研考试，共10 000名学生参考，测试结果(单位：分)近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为( )
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(|Z－μ|<σ)≈0.68．
A．82 B．78
C．74 D．70
5．设z∈C，且(z＋5)(＋5)＝4，则z2的实部的取值范围为( )
A．[8，36] B．[9，49]
C．[10，64] D．[11，81]
6．若函数f (x)＝sin (2x－φ)(0≤φ<π)在上单调递增，则φ的最小值为( )
A． B．
C． D．
7．已知α，β∈，且sin β＝cos (α＋β)sin α，则的值为( )
A． B．
C． D．－
8．小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体(过程中橡皮泥无损失)，则该正四面体外接球的体积为( )
A．π B．2π
C．3π D．9π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，b∈R，有一组样本数据为2＋a，3，6－b，7－a，8，10，11＋b，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则( )
A．平均数不变 B．中位数不变
C．方差不变 D．极差不变
10．已知向量a，b的夹角为，且＝1，＝2，则( )
A．⊥a
B．＝
C．＝
D．a在b方向上的投影向量为b
11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与双曲线交于A，B两点(点A在第一象限)，且∠F1AF2＝，若|BF2|＝3|AF2|，则下列结论正确的是( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．2a＝3b
D．若点P是双曲线上异于A，B的任意一点，则kPA·kPB＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为________，第三天不玩手机的概率为________．
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第三象限，若|AF1|≤3|BF1|，则C的离心率的取值范围是________．
14．已知函数f (x)＝和g(x)＝b(b>0)有相同的最大值，则a＋的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若m＝(a，cos A)，n＝(cos C，c)，且m·n＝3b cos B．
(1)求cos B的值；
(2)若2a，b，c成等比数列，求＋的值．
16．(15分)已知函数f (x)＝．
(1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)当x≥1时，f (x)≤a(x－1)，求a的取值范围．
17．(15分)现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期(单位：天)，按从小到大排序结果如下：
9697100 103 106 107 107 108
110 110 113 116 121 129 131
已知这组样本数据的第10百分位数、中位数、第80百分位数分别为a，b，c．
(1)求a，b，c；
(2)在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间(a，c)的稻株记为“甲类”，其余记为“乙类”．现从该品种水稻中随机抽取4株，设其中甲类有X株，求X的分布列和数学期望(以样本中甲类稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于甲类的概率)．
18．(17分)在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA＝3DQ＝3，AD＝2AB＝2，且∠ABC＝60°．
(1)求证：平面PAC⊥平面CDQ；
(2)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．(17分)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如k′(x－2)－(y－1)＝0表示过点(2，1)且斜率存在的直线族，y＝x＋t′表示斜率为1的直线族．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
(1)若直线族mx＋ny＋1＝0的包络曲线是圆O：x2＋y2＝16，求m，n满足的关系式；
(2)若点M(x0，y0)不在直线族φ：2λx－8y－λ2＝0(λ∈R)的任意一条直线上，对于给定的实数x0，求y0的取值范围和直线族φ的包络曲线E；
(3)在(2)的条件下，过直线x－4y－8＝0上一个动点P作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求原点O到直线AB距离的最大值．
5 / 5第15天 仿真模拟练
(时间：120分 满分：150分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2，3}
C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
D [由题意可得，A∩C＝{1，2}，则(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D．]
2．等差数列{an}中，设前n项和为Sn，a9＝5，则S17等于( )
A．80 B．85
C．90 D．95
B [由题意可得S17＝＝＝17×5＝85.故选B．]
3．已知双曲线C：－＝1(b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的离心率为( )
A． B．2
C． D．2或
A [令－＝0，解得y＝±x(b＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，又渐近线方程为y＝x，∴b＝1，又a＝，∴c＝＝2，
∴e＝＝＝．故选A．]
4．比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比．某地区进行调研考试，共10 000名学生参考，测试结果(单位：分)近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为( )
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(|Z－μ|<σ)≈0.68．
A．82 B．78
C．74 D．70
B [根据题意得标准差为57.4×0.36＝20.664，所以测试结果(单位：分)近似服从正态分布N，又因为84%＝0.5＋，且P(|Z－μ|<σ)≈0.68，所以全体学生成绩的第84百分位数约为μ＋σ＝57.4＋20.664≈78.故选B．]
5．设z∈C，且(z＋5)(＋5)＝4，则z2的实部的取值范围为( )
A．[8，36] B．[9，49]
C．[10，64] D．[11，81]
B [设z＝a＋bi，则＝a－bi，
所以z＋5＝a＋5＋bi，＋5＝a＋5－bi，
所以(z＋5)(＋5)＝(a＋5)2＋b2＝4．
设a＝－5＋2cos θ，b＝2sin θ，
z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，故z2的实部为a2－b2，所以a2－b2＝4cos2θ－20cos θ＋25－4sin2θ
＝21＋8cos2θ－20cos θ，又cos θ∈[－1，1]，所以a2－b2∈[9，49]，
即z2的实部的取值范围为[9，49].故选B．]
6．若函数f (x)＝sin (2x－φ)(0≤φ<π)在上单调递增，则φ的最小值为( )
A． B．
C． D．
B [令2kπ－≤2x－φ≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－＋≤x≤kπ＋＋(k∈Z)，由于f (x)在上单调递增，所以kπ－＋≤0
故选B．]
7．已知α，β∈，且sin β＝cos (α＋β)sin α，则的值为( )
A． B．
C． D．－
A [sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α，
又sin β＝cos (α＋β)sin α，所以sin (α＋β)cos α＝2cos (α＋β)sin α，
所以tan (α＋β)＝2tan α，则＝＝．故选A．]
8．小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体(过程中橡皮泥无损失)，则该正四面体外接球的体积为( )
A．π B．2π
C．3π D．9π
C [设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为底面BCD的中心，E为CD的中点，F在BE上，
O为正四面体外接球的球心，则AF为正四面体的高，O在AF上，
则BE＝a，BF＝×a＝a，则AF＝＝a，
即得V正四面体＝×a2×a＝a3＝V正方体＝2，所以a3＝24．
设正四面体外接球的半径为R，
则OB2＝OF2＋BF2，
即R2＝＋，即得R＝a，
故外接球体积V球＝＝＝××24＝3π.故选C．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，b∈R，有一组样本数据为2＋a，3，6－b，7－a，8，10，11＋b，12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则( )
A．平均数不变 B．中位数不变
C．方差不变 D．极差不变
AD [对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确；
对于B选项，取a＝－2，b＝1，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误；
对于C选项，新数据的方差为s′2＝[(2＋a－8)2＋(3－8)2＋…＋(13－8)2＋(8－8)2]<[(2＋a－8)2＋(3－8)2＋…＋(13－8)2]＝s2，错误；
对于D选项，因为3<8<13，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确．故选AD．]
10．已知向量a，b的夹角为，且＝1，＝2，则( )
A．⊥a
B．＝
C．＝
D．a在b方向上的投影向量为b
AB [a·b＝cos ＝1×2×＝1，·a＝－a·b＝1－1＝0，故A正确；
＝＋＋2a·b＝1＋4＋2＝7，所以＝，故B正确；
＝4＋＋4a·b＝4＋4＋4＝12，所以＝2，
又因为＝4，所以≠，故C错误；
a在b方向上的投影向量为·＝b，故D错误．故选AB．]
11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与双曲线交于A，B两点(点A在第一象限)，且∠F1AF2＝，若|BF2|＝3|AF2|，则下列结论正确的是( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．2a＝3b
D．若点P是双曲线上异于A，B的任意一点，则kPA·kPB＝
AD [如图，连接BF1，
由双曲线定义可知，|AF1|－|AF2|＝2a，
由题意得A，B关于原点对称，故|AF1|＝|BF2|且AF1∥BF2，即四边形BF1AF2为平行四边形，
因为|BF2|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|BF2|＝3|AF2|，
所以|BF2|＝3a，|AF2|＝a，
由∠F1AF2＝，所以∠AF2B＝，
由＝，得＝(||2＋||2＋2||·||cos ∠AF2B)，
即有c2＝＝a2，
所以＝，所以离心率e＝＝，故A正确；
又＝＝－1＝，所以＝，
所以渐近线方程为y＝±x，2b＝3a，故B、C错误；
设点P(x0，y0)，A(x1，y1)，因为A，B是直线y＝kx与双曲线的交点，
根据对称性可得B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝·＝．
又点P，A在双曲线上，代入可得
两式相减可得＝，
所以kPA·kPB＝＝，故D正确．
故选AD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为________，第三天不玩手机的概率为________．
0.3 0.55 [由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，
所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为1－0.7＝0.3，
由全概率公式知第三天不玩手机的概率为0.3×(1－0.8)＋(1－0.3)×0.7＝0.55．]
13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第三象限，若|AF1|≤3|BF1|，则C的离心率的取值范围是________．
[如图所示，
设|AF1|＝n，|AF2|＝m，因为点A在第一象限，所以n>m．
又因为A，B均在以线段F1F2为直径的圆上，
所以四边形AF1BF2为矩形，即|AF2|＝|BF1|．
因为|AF1|≤3|BF1|，所以n≤3m，即1<≤3．
因为m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，
所以(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝4c2＋2mn＝4a2，即mn＝2a2－2c2．
因为＝＝＋，
设y＝＋，v＝∈(1，3]，即y＝v＋，v∈(1，3]．
因为y′＝1－＝>0，所以y＝v＋在区间(1，3]上单调递增．
所以2即2<≤．
当2<时，解得2c2>a2，
即e2>，解得＜e＜1；
当≤时，解得8c2≤5a2，
即e2≤，即0综上，14．已知函数f (x)＝和g(x)＝b(b>0)有相同的最大值，则a＋的最小值为________．
e [由f (x)＝，得f ′(x)＝(x∈(0，＋∞))．
当a＝0时，f (x)＝0，最大值为0，
又g(x)＝b＝b，所以当＝时，g(x)max＝，
由＝0得b＝0，与题设矛盾．
当a≠0时，令f ′(x)＝0，得ln x＝1，即x＝e，
当x∈(0，e)时，1－ln x>0，当x∈(e，＋∞)时，1－ln x<0，当a<0时，
当x∈(0，e)时，f ′(x)<0，当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)>0，
∴f (x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
∴f (x)在x＝e处取到最小值，没有最大值，不符合题意；
当a>0时，
当x∈(0，e)时，f ′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)<0，
∴f (x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f (x)max＝f (e)＝．
∵f (x)与g(x)有相同的最大值，
∴＝，a＝，又∵a，b>0，
∴a＋＝＋≥2＝e，当且仅当＝，即b＝2时取等号．∴a＋的最小值为e．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若m＝(a，cos A)，n＝(cos C，c)，且m·n＝3b cos B．
(1)求cos B的值；
(2)若2a，b，c成等比数列，求＋的值．
[解] (1)因为m＝(a，cos A)，n＝(cos C，c)，且m·n＝3b cos B，
所以a cos C＋c cos A＝3b cos B，
由正弦定理，可得
sin A cos C＋sin C cos A＝3sin B cos B，
所以sin (A＋C)＝3sin B cos B，
即sin B＝3sin B cos B，
又B为三角形内角，所以sin B≠0，
所以cos B＝．
(2)因为2a，b，c成等比数列，所以b2＝2ac，
由正弦定理，可得sin2B＝2sin A sin C，
又cos B＝，B为三角形内角，所以sin B＝，
所以＋＝＋
＝＝
＝＝
＝＝．
16．(15分)已知函数f (x)＝．
(1)求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)当x≥1时，f (x)≤a(x－1)，求a的取值范围．
[解] (1)由于f (1)＝0，则切点坐标为(1，0)，
因为f ′(x)＝，
所以切线斜率为f ′(1)＝，
故切线方程为y－0＝(x－1)，
即y＝x－．
(2)当x∈[1，＋∞)时，f (x)≤a(x－1)等价于ln x≤a(x2－1)，
令g(x)＝a(x2－1)－ln x，x∈[1，＋∞)，
ln x≤a(x2－1)恒成立，则g(x)≥0恒成立，g′(x)＝2ax－＝，
当a≤0时，g′(x)＜0，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减，g(x)≤g(1)＝0，不符合题意；
当01，
x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，g(x)≤g(1)＝0，不符合题意；
当a≥时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2－1≥0，则g′(x)≥0，
所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(1)＝0，符合题意．
综上所述，a的取值范围为．
17．(15分)现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期(单位：天)，按从小到大排序结果如下：
9697100 103 106 107 107 108
110 110 113 116 121 129 131
已知这组样本数据的第10百分位数、中位数、第80百分位数分别为a，b，c．
(1)求a，b，c；
(2)在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间(a，c)的稻株记为“甲类”，其余记为“乙类”．现从该品种水稻中随机抽取4株，设其中甲类有X株，求X的分布列和数学期望(以样本中甲类稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于甲类的概率)．
[解] (1)依题意，样本数据的个数n＝15，
因为n×10%＝1.5，所以第10百分位数为第2个数据，即a＝97，
中位数为第8个数据，即b＝108，
因为n×80%＝12，所以第80百分位数为第12个数据与第13个数据的平均数，即c＝＝118.5，故a＝97，b＝108，c＝118.5．
(2)因为区间(a，c)为(97，118.5)，样本数据中共有10个数据位于该区间，
由题意，该品种水稻的一株稻株属于甲类的概率为＝，
则随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B，
P(X＝0)＝··＝，
P(X＝1)＝··＝，
P(X＝2)＝··＝，
P(X＝3)＝··＝，
P(X＝4)＝··＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝4×＝．
18．(17分)在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA＝3DQ＝3，AD＝2AB＝2，且∠ABC＝60°．
(1)求证：平面PAC⊥平面CDQ；
(2)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)证明：在△ABC中，BC＝2，AB＝1，∠ABC＝60°，
则AC2＝BC2＋AB2－2BC·AB cos ∠ABC＝3，可得AC＝，
所以BC2＝AB2＋AC2，所以AB⊥AC．
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以AB⊥AP，
又因为AC∩AP＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，所以AB⊥平面PAC，
因为CD∥AB，所以CD⊥平面PAC，
又因为CD 平面CDQ，所以平面PAC⊥平面CDQ．
(2)假设线段PC上存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，
以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，
如图所示，则A(0，0，0)，P(0，0，3)，C(0，，0)，Q(－1，，1)，
可得＝＝，
设＝λ＝λ(0，，－3)＝(0，λ，－3λ)(0≤λ≤1)，
则M，所以＝，
设平面PCQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝，可得x＝1，z＝1，所以n＝为平面PCQ的一个法向量，
设直线AM与平面PCQ所成角的大小为θ，
故sin θ＝＝＝，整理得2λ2－3λ＋1＝0，解得λ＝或λ＝1，所以＝或＝1．
19．(17分)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如k′(x－2)－(y－1)＝0表示过点(2，1)且斜率存在的直线族，y＝x＋t′表示斜率为1的直线族．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
(1)若直线族mx＋ny＋1＝0的包络曲线是圆O：x2＋y2＝16，求m，n满足的关系式；
(2)若点M(x0，y0)不在直线族φ：2λx－8y－λ2＝0(λ∈R)的任意一条直线上，对于给定的实数x0，求y0的取值范围和直线族φ的包络曲线E；
(3)在(2)的条件下，过直线x－4y－8＝0上一个动点P作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求原点O到直线AB距离的最大值．
[解] (1)依题意，直线族mx＋ny＋1＝0(m，n∈R)与圆O：x2＋y2＝16相切，
即圆心O(0，0)到直线族mx＋ny＋1＝0的距离为4，则＝4，
所以m，n满足的关系式为m2＋n2＝．
(2)点M(x0，y0)不在直线族φ：2λx－8y－λ2＝0的任意一条直线上，
则 λ∈R，方程λ2－2λx0＋8y0＝0无解，则Δ＝－32y0<0，解得y0>，
即y0的取值范围为．
猜想：直线族φ的包络曲线E为y＝，证明如下：
①设曲线E：y＝上任意一点Q，求导得y′＝，
则曲线E在点Q处的切线斜率为，切线方程为y－＝(x－u)，即2ux－8y－u2＝0，
令λ＝u，则切线方程为2λx－8y－λ2＝0，
因此曲线E上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线；
② λ∈R，直线族φ：2λx－8y－λ2＝0中的每条直线都是曲线E：y＝在点处的切线．
综上①②，直线族φ的包络曲线E为y＝．
(3)由(2)知，曲线E：y＝，设A，B，P(x，y)，
直线PA的方程为＝0，
直线PB的方程为＝0，
由以上两式得，x＝，y＝，即点P．
设直线AB的方程为y＝kx＋t，
由得x2－8kx－8t＝0，Δ＝64k2＋32t>0，
则x1＋x2＝8k，x1x2＝－8t，点P(4k，－t)，
而P(4k，－t)在直线x－4y－8＝0上，
则4k＋4t－8＝0，即t＝2－k，
因此直线AB的方程y＝k(x－1)＋2过定点(1，2)，
该点与原点确定直线的斜率为2，
当k＝－时，原点O到直线AB距离的最大值为＝．
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