回归1 集合、常用逻辑用语、不等式
[盲点1] 描述法表示集合时，一定要理解集合的含义，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}表示函数的定义域；{y|y＝lg x}表示函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}表示函数图象上的点集．
案例1 (1)(教材改编)已知集合A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩B＝( )
A．{x|－2
C．{x|－1(2) (2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
(1)D (2)C [(1)由x2－x－2<0，即(x＋1)(x－2)<0，解得－1所以B＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1又A＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，
所以A∩B＝{x|－1(2)∵集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，
∴A∩B＝＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}．∴A∩B中元素的个数为4.故选C．]
[盲点2] 对于充分、必要条件问题，要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A．
案例2 (1)(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)(教材改编)下列条件中，为 “关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件的有( )
A．0≤m<4 B．0C．1(1)C (2)BC [(1)根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．
故选C．
(2)因为关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立，
当m＝0时，原不等式即为1>0，恒成立；
当m>0时，不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立，
可得Δ<0，即m2－4m<0，解得0当m<0时，y＝mx2－mx＋1的图象开口向下，原不等式不恒成立．
综上，m的取值范围为[0，4)．
所以“关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件有0[盲点3] 含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．
案例3 (1)(教材改编)命题p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和p正确的为( )
A．真命题，p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
B．假命题，p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
C．真命题，p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
D．假命题，p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
(2)若“ x∈(0，π)，sin 2x－m sin x<0”是假命题，则m的取值范围为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
(1)A (2)B [(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意实数a，方程都有实根，故命题p为真命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根．故选A．
(2)“ x∈(0，π)，sin 2x－m sin x<0”是假命题，即sin 2x－m sin x≥0对于任意x∈(0，π)恒成立，即m≤＝2cos x，x∈(0，π)，2cos x∈(－2，2)，故m≤－2.故选B．]
[盲点4] 不等式两端同时乘或同时除以一个不为零的数时，易忽略这个数的正负，导致出错．
案例4 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A．＞ B．＜
C．＞ D．＜
B [∵c－d>0，
∵a>b>0，∴－ac>－bd，∴－>－，
∴<．故选B．]
[盲点5] 解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，易忽视对系数a的讨论．
案例5 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－4，或x≥3}，则不等式cx2－bx＋a<0的解集为________．
[因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－4，或x≥3}，
则即b＝a，c＝－12a，a<0，
所以cx2－bx＋a<0等价于－12ax2－ax＋a<0，即12x2＋x－1<0，解得－[盲点6] 利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．
案例6 (1)(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋
(2)(教材改编)已知a，b∈(－∞，0)，且a＋4b＝ab－5，则ab的取值范围为( )
A．[25，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(0，5] D．(0，1]
(3)(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
(1)C (2)D (3)4 [(1)对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，
所以函数的最小值为3，故选项A错误；
对于B，因为0<|sin x|≤1，所以y＝|sin x|＋≥2＝4，
当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时取等号，
因为|sin x|≤1，所以等号取不到，
所以y＝|sin x|＋>4，故选项B错误；
对于C，因为2x>0，
所以y＝2x＋22-x＝2x＋≥2＝4，
当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项C正确；
对于D，因为当x＝时，y＝ln ＋＝－1－4＝－5<4，
所以函数的最小值不是4，故选项D错误．
故选C．
(2)因为a，b∈(－∞，0)，a＋4b＝ab－5，且a＋4b<0，所以0又ab－5＝a＋4b＝－[(－a)＋4(－b)]
≤－2＝－4，
即ab＋4－5≤0，即·(－1)≤0，
解得0<≤1，所以0即ab的取值范围为(0，1]．
故选D．
(3)因为a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2＋，b＝2－或a＝2－，b＝2＋ 时取等号，所以＋＋的最小值为4．]
回归2 复数、平面向量
[盲点7] 复数分类不清，如z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))．
案例7 (多选)已知复数z＝2＋(i为虚数单位)，则( )
A．z的共轭复数 的虚部为1
B．z－2为纯虚数
C．z2的模为5
D．复数z是方程x2－4x＋5＝0的一个根
BCD [z＝2＋＝2＋＝2＋i，
对于A，＝2－i，虚部为－1，错误；
对于B，z－2＝2＋i－2＝i，正确；
对于C，z2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以|z2|＝5，正确；
对于D，(2＋i)2－4(2＋i)＋5＝0，正确．故选BCD．]
[盲点8] 混淆向量与实数、复数与实数、复数与向量的运算法则，导致运算错误．00000000
案例8 (1)(多选)已知单位向量a，b的夹角为θ，则下列结论正确的有( )
A．(a＋b)⊥(a－b)
B．a在b方向上的投影向量为(a·b)b
C．若|a＋b|＝，则θ＝
D．若(a＋b)·a＝(a－b)·a，则a∥b
(2)(多选)下列命题正确的是( )
A．若复数z满足z2∈R，则z∈R
B．若复数z满足∈R，则z是纯虚数
C．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1＝±z2
D．若复数z1，z2满足z1z2＝|z1|2且z1≠0，则|z1|＝|z2|
(1)AB (2)BD [(1)对于A，因为a，b是单位向量，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1－1＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，故A正确；对于B，因为a，b是单位向量，所以a在b方向上的投影向量为·＝(a·b)b，故B正确；对于C，因为|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2cos θ＋1＝3，所以cos θ＝，又因为0≤θ≤π，所以θ＝，故C错误；对于D，因为(a＋b)·a＝(a－b)·a，所以a2＋b·a＝a2－b·a，所以b·a＝0，所以a⊥b，故D错误．故选AB．
(2)若z＝i，则z2＝－1∈R，故A错误；
∵z满足∈R，不妨设＝m(m∈R且m≠0)，
∴z＝i是纯虚数，故B正确；
若复数z1＝1＋i，z2＝1－i，则|z1|＝|z2|，
但z1≠z2且z1≠－z2，故C错误；
令复数z1＝c＋di，c，d∈R，∵z1≠0，∴c2＋d2≠0．
由z1z2＝|z1|2得，z2＝＝＝＝c－di，则|z2|＝＝|z1|，故D正确．故选BD．]
[盲点9] 利用向量的线性运算法则和平面向量基本定理时，不会利用“共线、基向量”等要素解题．
案例9 如图，在△ABC中，D为边BC的中点，E为AD靠近A点的三等分点，若＝m＋n，则m＋n＝________．
－ [因为点E为AD靠近A点的三等分点，所以＝．
因为点D为边BC的中点，所以＝＋，
故＝＝＝＋，
所以＝－.又＝m＋n，
所以m＝－，n＝，所以m＋n＝－＋＝－．]
[盲点10] 对平面向量的数量积概念和性质理解不透彻，不能灵活运用数量积探求位置关系或求解与之相关的最值、范围问题．
案例10 (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
A [法一：
·＝||·||·cos ∠PAB＝2||·cos∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，· ＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A．
法二：(坐标法)如图，取点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，
F(－1，)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1回归3 三角函数与解三角形
[盲点11] 对三角函数的概念理解不深入，不能把与单位圆有关的知识与三角函数概念相融合．
案例11 (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．||＝||
B．||＝||
C．·＝·
D．·＝·
AC [如图，建立平面直角坐标系，
A(1，0)，作出单位圆O，并作出角α，β，－β，
使角α的始边与OA重合，终边交圆O于点P1，角β的始边为OP1，终边交圆O于点P3，
角－β的始边为OA，终边交圆O于点P2，
于是P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，由向量的模与数量积可知，A、C正确，B、D错误．故选AC．]
[盲点12] 求函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后再求解．
案例12 (教材改编)函数y＝sin 的单调递减区间是________．
，k∈Z [由题意，得y＝－sin ，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．]
[盲点13] 在三角函数的图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin (ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ．
案例13 (2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
D [因为y＝2sin ＝2sin ，所以把函数y＝2sin 图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin 3x的图象．故选D．]
[盲点14] 三角函数的图象和性质要结合研究，注意函数y＝A sin (ωx＋φ)中的“ωx＋φ”可视为一个整体，令t＝ωx＋φ，然后利用y＝A sin t的图象和性质进行求解．
案例14 (2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
C [依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，
又y＝sin x，x∈的图象如图所示：
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，则ω∈.故选C．]
[盲点15] 在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．若题设中含有“锐角三角形”等条件，要注意角的范围．
案例15 (1) (教材改编)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，c＝2.若△ABC有两解，则b的取值范围是________．
(2)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为________．
(1) (2)(2，2) [(1)过点A作AD⊥BC，垂足为D．
当AD又AD＝2×＝，所以(2)因为A＝2B，且△ABC为锐角三角形，所以A∈，所以B∈，
又A＋B＝3B，所以3B∈，
所以B∈，
所以B∈，
所以cos B∈，
由正弦定理＝，
得a＝＝＝＝4cos B，
所以a∈(2，2)．]
回归4 数列
[盲点16] 已知数列{an}的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用an＝Sn－Sn－1表示．作答时，应验证a1是否满足an＝Sn－Sn－1，若满足，则an＝Sn－Sn－1，否则，an＝
案例16 数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
an＝ [数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋n，n∈N*，①
当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1＋n－1，②
由①－②，得nan＝2n－2n-1＋1＝2n-1＋1，
∴an＝．
当n＝1时，a1＝3不满足an＝，
故an＝ ]
[盲点17] 注意函数与数列的区别与联系，在讨论数列的单调性和最值问题时，易忽视数列中的n∈N*这一条件．
案例17 (1)已知数列{an}满足an＝n2＋λn，n∈N*，若数列{an}是递增数列，则λ的取值范围是________．
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－11，a5＋a6＝－4，则公差d＝________；当n的值为________时，Sn取得最小值．
(1)(－3，＋∞) (2)2 6 [(1)因为数列{an}是递增数列，
所以当n≥1时，an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，
即λ>－2n－1，因为n≥1，所以(－2n－1)max＝－3，所以λ>－3．
(2)由a1＝－11，a5＋a6＝－4，得
解得d＝2．
∴an＝a1＋(n－1)d＝－11＋2(n－1)＝2n－13，
由an＝2n－13≤0，得n≤，又n∈N*，
∴n≤6，
可知当n的值为6时，Sn取得最小值．]
[盲点18] 运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．当公比q的值不确定时，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
案例18 (2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为 ________．
－ [若q＝1，则由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，则a1＝0，不合题意，所以q≠1．
当q≠1时，因为8S6＝7S3，
所以＝，
即8(1－q6)＝7(1－q3)，
即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，
即8(1＋q3)＝7，解得q＝－．]
回归5 立体几何与空间向量
[盲点19] 易混淆几何体的表面积与侧面积，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数．
案例19 (1) (教材改编)已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为( )
A．6π B．
C．6π D．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为 ________．
(1)B (2) [(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意可得
解得l＝3r＝6，
则圆锥的高h＝＝4，
所以此圆锥的体积为h×πr2＝．故选B．
(2)如图，设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面中心分别为M，N，
过A1作A1H⊥AC，垂足为点H，由题意易知A1M＝HN＝，又AN＝，∴AH＝AN－HN＝，又AA1＝，∴A1H＝MN＝，∴该四棱台的体积为×(1＋4＋)×＝．]
[盲点20] 不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m α的限制条件．
案例20 (教材改编)(1)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中，正确的命题是( )
A．若m α，n β，m⊥n，则α⊥β
B．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
C．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
(2)如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面BAC⊥平面DAC，则二面角B-CD-A的余弦值为( )
A． B．
C． D．
(3)(多选) (教材改编)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝4，AB＝3，BC＝4，则下列说法正确的是( )
A．此三棱锥的四个面均为直角三角形
B．此三棱锥的四个面中有四对相互垂直的面
C．此三棱锥内切球的半径为
D．此三棱锥外接球的半径为
(1)B (2)C (3)AC [(1)对于A，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD、平面A1B1C1D1分别为α，β，直线AB，B1C1分别为直线m，n，显然有m α，n β，m⊥n，而α∥β，A错误；
对于B，因为n∥β，α∥β，当n α时，由m⊥α，得m⊥n，
当n不在平面α内时，则存在过直线n的平面与β，α都相交，令交线分别为l，l′，
则有n∥l∥l′，而m⊥α，l′ α，于是m⊥l′，因此m⊥n，B正确；
对于C，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD、平面DCC1D1分别为α，β，
直线BB1，AB分别为直线m，n，满足α⊥β，m⊥α，n∥β，而m⊥n，C错误；
对于D，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD、平面DCC1D1分别为α，β，
直线CD，DD1分别为直线m，n，满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，而n β，D错误．故选B．
(2)设正方形的边长为a，取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，过O作AD的平行线OE交CD于E，连接BE，如图所示．
因为平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，BO 平面BAC，BO⊥AC，
则BO⊥平面DAC，而CD 平面DAC，于是BO⊥CD，又OE⊥CD，BO∩OE＝O，BO，OE 平面BOE，则CD⊥平面BOE，又BE 平面BOE，则CD⊥BE，因此∠BEO为二面角B-CD-A的平面角，显然BO＝a，OE＝，因为BO⊥OE，所以△BOE为直角三角形，由BE2＝BO2＋OE2＝a2，得BE＝a，所以cos ∠BEO＝＝＝．故选C．
(3)对于A，因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，因为AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为PB 平面PAB，所以BC⊥PB，所以易知此三棱锥的四个面均为直角三角形，故A正确；
对于B，因为PA⊥平面ABC，PA 平面PAB，PA 平面PAC，所以平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，
因为BC⊥平面PAB，BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，
此三棱锥的四个面中有三对相互垂直的面，故B不正确；
对于C，设内切球的半径为r，则此三棱锥的体积V＝S△ABC·PA＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PBC＋S△PAC)r，
可得r＝＝＝，故C正确；
对于D，设外接球的半径为R，取PC的中点O，由直角三角形的性质知，OA＝OB＝OC＝OP＝R，
所以点O为此三棱锥外接球的球心，
所以2R＝PC＝＝＝＝，
所以外接球的半径为，D错误．故选AC．]
[盲点21] 用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错．
案例21 (多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．点B到直线A1C1的距离为
B．直线CF到平面AEC1的距离为
C．直线A1C1与平面AEC1所成角的余弦值为
D．直线A1C1与直线B1F所成角的余弦值为
ABD [由题意，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
则B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，＝(0，2，－2)，＝(－2，2，0)，
则点B到直线A1C1的距离为d＝||·
＝2·＝，故A正确；
A(2，0，0)，F(2，1，0)，E(2，1，2)，＝(0，1，2)，＝(－2，2，2)，＝(0，1，0)，设平面AEC1的法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，2，－1)为平面AEC1的一个法向量，
由于E，F分别为A1B1，AB的中点，
所以EF∥CC1 且EF＝CC1，
因此四边形FCC1E为平行四边形，故EC1∥CF，
又CF 平面AEC1，EC1 平面AEC1，
所以CF∥平面AEC1，
所以直线CF到平面AEC1的距离为d＝＝＝，故B正确；
设直线A1C1与平面AEC1所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，故C错误；
B1(2，2，2)，＝(0，－1，－2)，
设直线A1C1与直线B1F所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，故D正确．故选ABD．]
回归6 概率与统计
[盲点22] 正确应用计数原理：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
案例22 (1)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
(1)D (2)64 [(1)5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2，2，1或3，1，1，
当分为3，1，1时，有＝60(种)实习方案，
当分为2，2，1时，有＝90(种)实习方案，
即共有60＋90＝150(种)实习方案，
其中甲、乙到同一家企业实习的情况有＝36(种)，
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为＝．故选D．
(2)若选2门，则只能各选1门，有＝16(种)；
若选3门，则分体育类选修课选2门，艺术类选修课选1门，或体育类选修课选1门，艺术类选修课选2门，则有＝24＋24＝48(种)．
综上，共有16＋48＝64(种)不同的方案．]
[盲点23] 注意区别“项的系数”与“二项式系数”，项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
案例23 (1)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________．
(2)已知＝，则(1＋x＋x2)(1－x)n的展开式中，x4项的系数为________．
(1)5 (2)135 [(1)二项式展开式的通项公式为Tk＋1＝xk，0≤k≤10且k∈Z，
设展开式中第k＋1项系数最大，
则
即≤k≤，又k∈Z，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．
(2)因为＝，即＝＝，所以n＋1＝6＋5＝11，所以n＝10，则(1＋x＋x2)(1－x)n＝(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1－x3)(1－x)9，因为(1－x)9的展开式的通项为Tk＋1＝·(－x)k，
故分别令k＝4，k＝1，可得展开式中x4项的系数为(－1)1＝135．]
[盲点24] 对互斥事件、对立事件、独立事件的概念理解不透彻导致错误，要通过概念把握它们的本质．
案例24 (多选)(教材改编)袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则( )
A．P(A)＝
B．P(B|C)＝
C．事件A与B是互斥事件
D．事件B与C相互独立
AC [因为“取出的球的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以P(A)＝＝＝，故A正确； “取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，
所以P(B)＝1－＝1－＝．
“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以P(C)＝2×＝．
A＋B表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以P(A＋B)＝1．
BC表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以P(BC)＝＝．
因为P(B|C)＝＝，故B错误；
因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，所以A，B互斥，故C正确；因为P(BC)≠P(B)·P(C)，所以B，C不独立，故D错误．故选AC．]
[盲点25] 要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
案例25 (多选)(教材改编)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%.随机取一个零件，记A＝“零件为次品”，Bi＝“零件为第i台车床加工” (i＝1，2，3)，下列结论正确的有( )
A．P(A)＝0.03
C．P(B1A)
D．P(B1A)＝P(B3|A)
BC [对于A，因为P(A)＝0.05×0.15＋0.03×0.25＋0.03×0.60＝0.033，故A错误；
对于B，因为＝0.15＋0.25＋0.60＝1，故B正确；
对于C，因为P(B1|A)＝＝＝，
P(B2|A)＝＝＝，
所以P(B1A)，故C正确；
对于D，由上可得P(B1A)＝，
又因为P(B3|A)＝＝＝，故D错误．故选BC．]
[盲点26] 涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布，其要注意二项分布与超几何分布、正态分布间的区别与联系．
案例26 (1)(多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3.则下列判断正确的是( )
A．随机变量X服从二项分布
B．随机变量Y服从超几何分布
C．P(X＝k)D．E(X)＝E(Y)
(2)(多选)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：s)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则( )
A．P(7<ξ<9)＝0.8 B．E(X)＝1.8
C．E(ξ)>E(5X) D．P(X≥1)>0.9
(1)ABD (2)BD [(1)对于A，B，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D，设该批产品有M件，则E(X)＝3·＝，E(Y)＝3·＝，因此D正确；
对于C，若C正确，可得E(X)(2)对于A选项，由正态分布的对称性可知，P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误；对于B选项，X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确；对于C选项，E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)所以P(X＝0)＝(0.6)0×(0.4)3＝0.064，
故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，D正确．故选BD．]
[盲点27] 对统计学的有关概念不清晰，如混淆样本数据的平均数(方差)与总体样本数据的平均数(方差)的概念．
案例27 (多选)(教材改编)在某次调查中，利用分层随机抽样选取了25名学生的测试得分，其中15名男生得分的平均数为75，方差为6，其余10名女生的得分分别为67，69，71，67，71，73，72，72，69，69，则下列选项正确的是( )
A．女生得分的平均数小于75
B．女生得分的方差大于6
C．女生得分的70%分位数是71.5
D．25名学生得分的方差为11.2
ACD [A项，女生得分的平均数为×(67＋69＋71＋67＋71＋73＋72＋72＋69＋69)＝70<75，故A正确；
B项，女生得分的方差为×[2×(67－70)2＋3×(69－70)2＋2×(71－70)2＋2×(72－70)2＋(73－70)2]＝4<6，故B错误；
C项，将女生得分从小到大排列：67，67，69，69，69，71，71，72，72，73，又10×0.7＝7，所以女生得分的70%分位数是＝71.5，C正确；
D项，25名学生的平均数为＝73，25名学生得分的方差为＋＝11.2，D正确．故选ACD．]
回归7 解析几何
[盲点28] 易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况，直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
案例28 已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________________．
[答案] 5x－y＝0或x＋y－6＝0
[盲点29] 在讨论两条直线的位置关系或求直线的方程时，易忽略直线的斜率为0或斜率不存在的情形．
案例29 (1)设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．
(2)过点P(3，－2)且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线方程为________________．
(1)－1 m≠3且m≠－1 3 (2)x＝3或3x＋4y－1＝0 [(1)当l1∥l2时，1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，
经检验，当m＝3时，l1与l2重合，不满足l1∥l2，
所以当m＝－1时，l1∥l2．
当l1⊥l2时，(m－2)＋3m＝0，解得m＝，
所以当m＝时，l1⊥l2．
易知当m≠3且m≠－1时，l1与l2相交．
当m＝3时，l1与l2重合．
(2)将圆C方程化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，得圆心C(1，2)，半径为r＝2，
当过点P(3，－2)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，是圆C的切线，满足题意；
当过点P(3，－2)的直线斜率存在时，
可设直线方程为y＋2＝k(x－3)，即kx－y－3k－2＝0，
利用圆心到直线的距离等于半径得＝2，解得k＝－，即此直线方程为3x＋4y－1＝0．]
[盲点30] 利用圆锥曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，即动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
案例30 (1)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
(2)(教材改编)在平面直角坐标系中，已知动点P与平面上两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率的积为定值－4，则动点P的轨迹方程为________________．
(1)－＝1(x≤－2) (2)x2＋＝1(x≠±1) [(1)设动圆M的半径为r，
由题意知|MC1|＝r＋5，|MC2|＝r＋1，
则|MC1|－|MC2|＝4<＝8，
所以M点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，
且a＝2，c＝4，则b2＝12，
则动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．
(2)设P点坐标为(x，y)，
∵定点M(－1，0)，N(1，0)，直线PM与直线PN的斜率之积为－4，∴·＝－4，
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1(x≠±1)．]
[盲点31] 由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解．
案例31 已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为________．
或 [当双曲线C的焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，则＝，
所以离心率e＝＝＝＝．
当双曲线C的焦点在y轴上时，
其渐近线方程为y＝±x，
则＝，即＝，
所以离心率e＝＝＝＝．
综上，可得双曲线的离心率为或．]
[盲点32] 直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，Δ≥0的限制．其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“Δ≥0”，在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ＞0”下进行．
案例32 (多选)过双曲线C：－＝1的右焦点作直线l与该双曲线交于A，B两点，则( )
A．存在四条直线l，使|AB|＝
B．与该双曲线有相同渐近线且过点(8，10)的双曲线的标准方程为－＝1
C．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率k的取值范围是
D．存在直线l，使弦AB的中点为M(4，1)
BC [对于A，由于双曲线C：－＝1，所以右焦点为(3，0)，设直线l的方程为x＝my＋3．
联立消去x，得(5m2－4)y2＋30my＋25＝0，Δ>0恒成立．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝．
所以|AB|＝
＝＝．
所以＝，解得m2＝，所以只有两条，故A错误；
对于B，双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，过点(8，10)的双曲线的标准方程为－＝1，故B正确；
对于C，若A，B都在该双曲线的右支上，则y1y2＝<0，
即5m2－4<0，所以5－4k2<0，解得k∈，故C正确；
对于D，假设存在直线l，使弦AB的中点为M(4，1)，则直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－1＝k(x－4)，与双曲线C：－＝1联立，得(5－4k2)x2＋(32k2－8k)x－64k2＋32k－24＝0，Δ>0恒成立．
所以x1＋x2＝＝8，所以k＝5，所以直线l的方程为y－1＝5(x－4)，但是由于点(3，0)不在直线上，故不存在这样的直线l，故D错误．故选BC．]
回归8 函数与导数
[盲点33] 解决函数问题时要树立定义域优先原则，其注意对数型复合函数的性质问题．
案例33 (1)(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是( )
A．f (x)＝ B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝
(2)若函数f (x)＝loga(ax－x3)(a>0且a≠1)在区间(0，1)内单调递增，则a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(1，3]
C． D．
(3)(2022·全国乙卷)若f (x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
(1)B (2)A (3)－ ln 2 [(1)对于A，f (x)＝，函数定义域为R，但f (－1)＝，f (1)＝，则f (－1)≠f (1)，故A错误；
对于B，f (x)＝，函数定义域为R，且f (－x)＝＝＝f (x)，则f (x)为偶函数，故B正确；
对于C，f (x)＝，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则f (x)不是偶函数，故C错误；
对于D，f (x)＝，函数定义域为R，因为f (1)＝，f (－1)＝，则f (1)≠f (－1)，则f (x)不是偶函数，故D错误．
故选B．
(2)令μ＝g(x)＝ax－x3，则g′(x)＝a－3x2，
当x>或x<－时，g′(x)<0，
当－0，
所以g(x)在和上单调递减，在上单调递增．
当a>1时，y＝logaμ为增函数，且函数f (x)在区间(0，1)内单调递增，所以得a≥3，
此时g(x)在(0，1)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0恒成立；
当0综上所述，a的取值范围是[3，＋∞)．故选A．
(3)f (x)＝ln ＋b，
若a＝0，则函数f (x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，∴a≠0．
由函数解析式有意义可得x≠1且a＋≠0，
∴x≠1且x≠1＋．
∵函数f (x)为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，
∴1＋＝－1，解得a＝－，
∴f (x)＝ln ＋b的定义域为{x|x≠1且x≠－1}，
由f (0)＝0，得ln ＋b＝0，∴b＝ln 2，
即f (x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f (－x)＝－f (x)，符合题意．
综上，a＝－，b＝ln 2．]
[盲点34] 研究分段函数的单调性，一定要比较分界点处函数值的大小．
案例34 已知函数f (x)＝ x1，x2∈R，x1≠x2，满足(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]>0，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3] B．(1，3)
C． D．
D [由题意，得f (x)是R上的增函数，
则解得1[盲点35] 已知可导函数f (x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则 x∈(a，b)，f′(x)≥0(≤0)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立．
案例35 (2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f (x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
[由题意得当x>0时，f ′(x)＝ax ln a＋(1＋a)x ln (1＋a)＝ax≥0，设g(x)＝ln a＋ ln (1＋a)，因为ax>0，所以g(x)≥0．
因为a∈(0，1)，所以ln (1＋a)>0，＋1>1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)≥0，即ln a＋ln (1＋a)＝ln (a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥，又0[盲点36] f ′(x)＝0的解不一定是函数f (x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f ′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
案例36 (1)(教材改编)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值8，则f (1)等于( )
A．－4 B．16
C．－4或16 D．16或18
(2)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)＝a ln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
(1)A (2)BCD [(1)由题意知f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，若函数f (x)在x＝－1处有极值8，则 f (－1)＝8且f ′(－1)＝0，
即解得a＝3，b＝3或 a＝－2，b＝－7．
当a＝3，b＝3时，f ′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时x＝－1不是极值点，故舍去；
当a＝－2，b＝－7时，f ′(x)＝3x2－4x－7＝(3x－7)(x＋1)，
当x>或x<－1时，f ′(x)>0；当－1故a＝－2，b＝－7符合题意，
故f (x)＝x3－2x2－7x＋4，故f (1)＝－4．
故选A．
(2)函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝，
由题意，方程f ′(x)＝0，即ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实数根，设为x1，x2，
则有x1＋x2＝>0，x1x2＝－>0，Δ＝b2＋8ac>0，∴ab>0，ac<0，
∴ab·ac＝a2bc<0，即bc<0．
故选BCD．]
28 / 28回归1 集合、常用逻辑用语、不等式
[盲点1] 描述法表示集合时，一定要理解集合的含义，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}表示函数的定义域；{y|y＝lg x}表示函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}表示函数图象上的点集．
案例1 (1)(教材改编)已知集合A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩B＝( )
A．{x|－2C．{x|－1(2) (2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
[盲点2] 对于充分、必要条件问题，要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A．
案例2 (1)(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)(教材改编)下列条件中，为 “关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件的有( )
A．0≤m<4 B．0C．1[盲点3] 含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．
案例3 (1)(教材改编)命题p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和p正确的为( )
A．真命题，p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
B．假命题，p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
C．真命题，p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
D．假命题，p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
(2)若“ x∈(0，π)，sin 2x－m sin x<0”是假命题，则m的取值范围为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
[盲点4] 不等式两端同时乘或同时除以一个不为零的数时，易忽略这个数的正负，导致出错．
案例4 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A．＞ B．＜
C．＞ D．＜
[盲点5] 解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，易忽视对系数a的讨论．
案例5 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－4，或x≥3}，则不等式cx2－bx＋a<0的解集为________．
[盲点6] 利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．
案例6 (1)(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋
(2)(教材改编)已知a，b∈(－∞，0)，且a＋4b＝ab－5，则ab的取值范围为( )
A．[25，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(0，5] D．(0，1]
(3)(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
回归2 复数、平面向量
[盲点7] 复数分类不清，如z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))．
案例7 (多选)已知复数z＝2＋(i为虚数单位)，则( )
A．z的共轭复数 的虚部为1
B．z－2为纯虚数
C．z2的模为5
D．复数z是方程x2－4x＋5＝0的一个根
[盲点8] 混淆向量与实数、复数与实数、复数与向量的运算法则，导致运算错误．
案例8 (1)(多选)已知单位向量a，b的夹角为θ，则下列结论正确的有( )
A．(a＋b)⊥(a－b)
B．a在b方向上的投影向量为(a·b)b
C．若|a＋b|＝，则θ＝
D．若(a＋b)·a＝(a－b)·a，则a∥b
(2)(多选)下列命题正确的是( )
A．若复数z满足z2∈R，则z∈R
B．若复数z满足∈R，则z是纯虚数
C．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1＝±z2
D．若复数z1，z2满足z1z2＝|z1|2且z1≠0，则|z1|＝|z2|
[盲点9] 利用向量的线性运算法则和平面向量基本定理时，不会利用“共线、基向量”等要素解题．
案例9 如图，在△ABC中，D为边BC的中点，E为AD靠近A点的三等分点，若＝m＋n，则m＋n＝________．
[盲点10] 对平面向量的数量积概念和性质理解不透彻，不能灵活运用数量积探求位置关系或求解与之相关的最值、范围问题．
案例10 (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
回归3 三角函数与解三角形
[盲点11] 对三角函数的概念理解不深入，不能把与单位圆有关的知识与三角函数概念相融合．
案例11 (多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
A．||＝||
B．||＝||
C．·＝·
D．·＝·
[盲点12] 求函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后再求解．
案例12 (教材改编)函数y＝sin 的单调递减区间是________．
[盲点13] 在三角函数的图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin (ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ．
案例13 (2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[盲点14] 三角函数的图象和性质要结合研究，注意函数y＝A sin (ωx＋φ)中的“ωx＋φ”可视为一个整体，令t＝ωx＋φ，然后利用y＝A sin t的图象和性质进行求解．
案例14 (2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[盲点15] 在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．若题设中含有“锐角三角形”等条件，要注意角的范围．
案例15 (1) (教材改编)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，c＝2.若△ABC有两解，则b的取值范围是________．
(2)设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为________．
回归4 数列
[盲点16] 已知数列{an}的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用an＝Sn－Sn－1表示．作答时，应验证a1是否满足an＝Sn－Sn－1，若满足，则an＝Sn－Sn－1，否则，an＝
案例16 数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
[盲点17] 注意函数与数列的区别与联系，在讨论数列的单调性和最值问题时，易忽视数列中的n∈N*这一条件．
案例17 (1)已知数列{an}满足an＝n2＋λn，n∈N*，若数列{an}是递增数列，则λ的取值范围是________．
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－11，a5＋a6＝－4，则公差d＝________；当n的值为________时，Sn取得最小值．
[盲点18] 运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．当公比q的值不确定时，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
案例18 (2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为 ________．
回归5 立体几何与空间向量
[盲点19] 易混淆几何体的表面积与侧面积，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数．
案例19 (1) (教材改编)已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为( )
A．6π B．
C．6π D．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为 ________．
[盲点20] 不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m α的限制条件．
案例20 (教材改编)(1)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中，正确的命题是( )
A．若m α，n β，m⊥n，则α⊥β
B．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
C．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
(2)如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面BAC⊥平面DAC，则二面角B-CD-A的余弦值为( )
A． B．
C． D．
(3)(多选) (教材改编)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝4，AB＝3，BC＝4，则下列说法正确的是( )
A．此三棱锥的四个面均为直角三角形
B．此三棱锥的四个面中有四对相互垂直的面
C．此三棱锥内切球的半径为
D．此三棱锥外接球的半径为
[盲点21] 用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错．
案例21 (多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．点B到直线A1C1的距离为
B．直线CF到平面AEC1的距离为
C．直线A1C1与平面AEC1所成角的余弦值为
D．直线A1C1与直线B1F所成角的余弦值为
回归6 概率与统计
[盲点22] 正确应用计数原理：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
案例22 (1)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
[盲点23] 注意区别“项的系数”与“二项式系数”，项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
案例23 (1)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________．
(2)已知＝，则(1＋x＋x2)(1－x)n的展开式中，x4项的系数为________．
[盲点24] 对互斥事件、对立事件、独立事件的概念理解不透彻导致错误，要通过概念把握它们的本质．
案例24 (多选)(教材改编)袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则( )
A．P(A)＝
B．P(B|C)＝
C．事件A与B是互斥事件
D．事件B与C相互独立
[盲点25] 要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
案例25 (多选)(教材改编)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%.随机取一个零件，记A＝“零件为次品”，Bi＝“零件为第i台车床加工” (i＝1，2，3)，下列结论正确的有( )
A．P(A)＝0.03
C．P(B1A)
D．P(B1A)＝P(B3|A)
[盲点26] 涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布，其要注意二项分布与超几何分布、正态分布间的区别与联系．
案例26 (1)(多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3.则下列判断正确的是( )
A．随机变量X服从二项分布
B．随机变量Y服从超几何分布
C．P(X＝k)D．E(X)＝E(Y)
(2)(多选)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：s)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则( )
A．P(7<ξ<9)＝0.8 B．E(X)＝1.8
C．E(ξ)>E(5X) D．P(X≥1)>0.9
[盲点27] 对统计学的有关概念不清晰，如混淆样本数据的平均数(方差)与总体样本数据的平均数(方差)的概念．
案例27 (多选)(教材改编)在某次调查中，利用分层随机抽样选取了25名学生的测试得分，其中15名男生得分的平均数为75，方差为6，其余10名女生的得分分别为67，69，71，67，71，73，72，72，69，69，则下列选项正确的是( )
A．女生得分的平均数小于75
B．女生得分的方差大于6
C．女生得分的70%分位数是71.5
D．25名学生得分的方差为11.2
回归7 解析几何
[盲点28] 易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况，直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
案例28 已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________________．
[答案] 5x－y＝0或x＋y－6＝0
[盲点29] 在讨论两条直线的位置关系或求直线的方程时，易忽略直线的斜率为0或斜率不存在的情形．
案例29 (1)设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．
(2)过点P(3，－2)且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线方程为________________．
[盲点30] 利用圆锥曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，即动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
案例30 (1)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
(2)(教材改编)在平面直角坐标系中，已知动点P与平面上两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率的积为定值－4，则动点P的轨迹方程为________________．
[盲点31] 由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解．
案例31 已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为________．
[盲点32] 直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，Δ≥0的限制．其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“Δ≥0”，在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ＞0”下进行．
案例32 (多选)过双曲线C：－＝1的右焦点作直线l与该双曲线交于A，B两点，则( )
A．存在四条直线l，使|AB|＝
B．与该双曲线有相同渐近线且过点(8，10)的双曲线的标准方程为－＝1
C．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率k的取值范围是
D．存在直线l，使弦AB的中点为M(4，1)
回归8 函数与导数
[盲点33] 解决函数问题时要树立定义域优先原则，其注意对数型复合函数的性质问题．
案例33 (1)(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是( )
A．f (x)＝ B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝
(2)若函数f (x)＝loga(ax－x3)(a>0且a≠1)在区间(0，1)内单调递增，则a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(1，3]
C． D．
(3)(2022·全国乙卷)若f (x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
[盲点34] 研究分段函数的单调性，一定要比较分界点处函数值的大小．
案例34 已知函数f (x)＝ x1，x2∈R，x1≠x2，满足(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]>0，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3] B．(1，3)
C． D．
[盲点35] 已知可导函数f (x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则 x∈(a，b)，f′(x)≥0(≤0)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立．
案例35 (2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f (x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
[盲点36] f ′(x)＝0的解不一定是函数f (x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f ′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．
案例36 (1)(教材改编)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值8，则f (1)等于( )
A．－4 B．16
C．－4或16 D．16或18
(2)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)＝a ln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
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