§2 三角函数的图象和性质
【备考指南】 三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法．
基础考点 三角函数的图象与解析式
【典例1】 (1)(2024·江苏南京二模)为了得到函数y＝sin 的图象，只要把函数y＝sin 2x图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
(3)(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则( )
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f (x)的图象关于点对称
[听课记录]
由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由T＝，可得ω＝．
(3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
1．(2024·山东济南模拟)为了得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是( )
A． B．
C． D．
3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
能力考点 三角函数的性质及应用
【典例2】 (1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有( )
A．f (x)与g(x)有相同的零点
B．f (x)与g(x)有相同的最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f (x)是偶函数；
②f (x)在区间上单调递增；
③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点；
④f (x)的最大值为2．
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ________．
[听课记录]
研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解．
1．设a＝sin 1，b＝cos 1，c＝tan 1，则( )
A．c
C．b2．(多选)(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)在内有3个极值点
D．f (x)在区间上的最大值为
3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________．
4．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ．
(1)求y＝f (x)图象的一条对称轴；
(2)若f ＝，求φ．
1 / 1§2 三角函数的图象和性质
【备考指南】 三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法．
基础考点 三角函数的图象与解析式
【典例1】 (1)(2024·江苏南京二模)为了得到函数y＝sin 的图象，只要把函数y＝sin 2x图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
(3)(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则( )
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f (x)的图象关于点对称
(1)A (2)C (3)BD [(1)y＝sin ＝sin ，
则把函数y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度即可．故选A．
(2)因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点．故选C．
(3)由题图可得解得A错误；由题图可知，f (x)的最小正周期T＝－＝，所以＝，则ω＝4，B正确；
由题图可知，直线x＝×＝是函数f (x)图象的一条对称轴，
所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z．
又0<φ<，所以φ＝，C错误；
由上述可得f (x)＝2cos ＋1．
令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z．
当k＝0时，f (x)的图象的一个对称中心为，D正确．故选BD．]
由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由T＝，可得ω＝．
(3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
1．(2024·山东济南模拟)为了得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
B [因为y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos ，则y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得y＝cos ＝cos 的图象．故选B．]
2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是( )
A． B．
C． D．
B [令f (x)＝sin2x－cos2x，
则有f (x)＝－cos2x，
设f (x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的函数为g(x)，则有g(x)＝－cos [2(x－m)]＝－cos (2x－2m)，根据已知条件g(x)的图象与y＝sin 2x的图象关于原点对称，则有g(x)＝－sin (－2x)＝sin 2x，即－cos (2x－2m)＝sin 2x，所以－2m＝＋2kπ(k∈Z)，解得m＝－－kπ(k∈Z)，又因为m>0，所以当k＝－1时，m取最小值为．故选B．]
3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
(－2，－] [由f (x)的部分图象，可得A＝1．
由题图可知点在f (x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－，由五点作图法可得ω×＋φ＝，ω×＋φ＝2π－，解得ω＝，φ＝，则f (x)＝sin ．
将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象．
作出函数g(x)的部分图象如图所示，
根据函数g(x)的图象知：
当－2＜m≤－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点，
即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．]
【教师备选资源】
1．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为________．
2 [由题图可知，T＝＝(T为f (x)的最小正周期)，得T＝π，所以取ω＝2，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f (x)＝2cos ，所以f ＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝1，f ＝2cos ＝2cos ＝0，所以＞0，即( f (x)－1)f (x)＞0，可得f (x)＞1或f (x)＜0，所以cos ＞或cos ＜0.当x＝1时，2x－＝2－∈，cos ∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos ＜0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2．]
2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A．y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x
B．y＝sin x－sin 2x－sin 3x
C．y＝sin x＋cos 2x＋cos 3x
D．y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x
A [对于A，函数y＝f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，因为f (－x)＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f (x)，所以函数为奇函数，
又f ＝＋＋＝＋>0，
故A符合题意；
对于B，函数y＝f (x)＝sin x－sin 2x－sin 3x，因为f (－x)＝－sin x＋sin 2x＋sin 3x＝－f (x)，
所以函数为奇函数，
又f ＝－－＝－<－＝0，故B不符合题意；
对于C，函数y＝f (x)＝sin x＋cos 2x＋cos 3x，
因为f (0)＝，故C不符合题意；
对于D，当x＝0时，y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x＝，故D不符合题意．故选A．]
3．(多选)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 的图象( )
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
AC [将y＝sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，A正确；
将y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，C正确．故选AC．]
能力考点 三角函数的性质及应用
【典例2】 (1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有( )
A．f (x)与g(x)有相同的零点
B．f (x)与g(x)有相同的最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f (x)是偶函数；
②f (x)在区间上单调递增；
③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点；
④f (x)的最大值为2．
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ________．
(1)BC (2)C (3)[2，3) [(1)A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点，令g(x)＝sin ＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误；
B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．
故选BC．]
(2)法一：f (－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f (x)在区间上单调递减，故②不正确；f (x)在区间[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f (x)在区间[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C．
法二：∵f (－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故①正确，排除B；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f (x)在区间上单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，
∴f (x)的最大值为2，故④正确．故选C．
法三：画出函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确．故选C．
(3)因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3．
]
研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解．
1．设a＝sin 1，b＝cos 1，c＝tan 1，则( )
A．cC．bC [因为<1<，所以tan 1>1>sin 1>>cos 1，即b2．(多选)(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)在内有3个极值点
D．f (x)在区间上的最大值为
ABD [对于AB，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2，T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故AB正确；
对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
由于0<φ<，∴φ＝，∴f (x)＝2sin ．
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋kπ，k∈Z，
当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－；
当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误；
对于D，∵x∈，∴2x＋∈，
故当2x＋＝，此时f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD．]
3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________．
[因为f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z，
即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx，
又f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，
所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝3k＋，k∈Z，
因为当x∈时，函数单调，所以0≤ωx≤≤π，
即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．]
4．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ．
(1)求y＝f (x)图象的一条对称轴；
(2)若f ＝，求φ．
[解] (1)因为函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，所以函数f (x)的最小正周期T≥2×＝．
又因为f ＝f ，
所以直线x＝×，即x＝为y＝f (x)图象的一条对称轴．
(2)由(1)知T≥，故ω＝≤3，
由ω∈N*，得ω＝1，2或3．
由x＝为f (x)＝sin (ωx＋φ)的图象的一条对称轴，
得ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z．
因为f ＝，
所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z，
若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，则ω＝＋(k1－2k2)π，k1，k2∈Z，
即ω＝＋(k1－2k2)，k1，k2∈Z，
不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2或3．
若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，则ω＝－＋(k1－2k3)π，k1，k3∈Z，
即ω＝－＋(k1－2k3)，k1，k3∈Z，
不存在整数k1，k3，使得ω＝1或3．
当k1＝2k3＋1时，ω＝2．
此时φ＝＋2k3π，k3∈Z，由|φ|<，得φ＝．
【教师备选资源】
1．(2024·安徽合肥三模)“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称，
则＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－＋，k∈Z，
因为是的真子集，
所以“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的充分不必要条件．故选A．]
2．(多选)(2024·湖南衡阳模拟)若函数f (x)＝sin (ωx＋φ)图象的两条相邻对称轴距离为，且f (0)＝，则( )
A．φ＝
B．点是函数f (x)图象的对称中心
C．函数f (x)在上单调递增
D．直线x＝是函数f (x)图象的对称轴
AB [选项A：∵f (x)＝sin (ωx＋φ)图象的两条相邻对称轴距离为，
∴T＝·＝，∴ω＝2.∴f (x)＝sin (2x＋φ)．
∵f (0)＝，∴f (0)＝sin φ＝，又|φ|<，则φ＝．
∴f (x)＝sin ，∴A正确；
选项B：由2x＋＝kπ(k∈Z)，
可得函数f (x)图象的对称中心的横坐标x＝＝－．
当k＝0时，对称中心为，B正确；
选项C：当∴f (x)在上不单调递增，C错误；
选项D：由2x＋＝kπ＋，k∈Z，
可得2x＝kπ＋，x＝＋(k∈Z)．∴x＝不是f (x)图象的对称轴．
或把x＝代入得f ＝sin ≠±1，∴x＝不是f (x)图象的对称轴，∴D错误．故选AB．]
3．(多选)(2024·广东广州模拟)已知点P是函数f (x)＝sin ＋b(ω>0)的图象的一个对称中心，则( )
A．f －1是奇函数
B．ω＝－＋k，k∈N*
C．若f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴，则ω＝2
D．若f (x)在区间上单调递减，则ω＝2或ω＝
BC [依题意，点P是函数f (x)＝sin＋b(ω>0)的图象的一个对称中心，
所以b＝1，且sin ＝0，ω＋＝kπ，k∈N*，ω＝－＋k，k∈N*，B选项正确．
则f (x)＝sin ＋1，k∈N*，
所以f －1＝sin ＝sin ，
由于1－2k是奇数，所以f －1＝sin是偶函数，
A选项错误．
C选项，因为将ω＝－＋k，k∈N*代入得：
＋整理得kπ由于f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴，
所以<－≤，解得对应ω＝－＋＝2，所以C选项正确．
D选项，f (x)在区间上单调递减，
因为将ω＝－＋k，k∈N*代入得：
＋整理得k＋则k－－≤π，解得1≤k≤，而k∈N*，所以k＝1或k＝2，
当k＝1时，＜x＋＜，符合单调性，
当k＝2时，＜x＋＜，不符合单调性，所以k＝2舍去，
所以ω＝－＋×1＝2，所以D选项错误．
故选BC．]
专题限时集训(四) 三角函数的图象和性质
一、单项选择题
1．函数y＝sin x－cos x的最小正周期和最大值分别是( )
A．2π， B．π，
C．2π，2 D．π，2
C [由函数y＝sin x－cos x，可得y＝2＝2＝2sin ，故其最小正周期为2π，最大值为2.故选C．]
2．(2024·山东潍坊二模)将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)＝( )
A．sin 2x B．sin
C．－sin D．cos 2x
B [将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin ．故选B．]
3．已知函数f (x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在的最小值为( )
A．－ B．－
C．0 D．
A [ f (x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝，
即f (x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，sin 2x∈，
所以f (x)min＝－．
故选A．]
4．(2024·辽宁沈阳模拟)函数f (x)＝cos 在下列哪个区间上单调递增( )
A． B．
C． D．
C [令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
令k＝0可得，f (x)的一个单调递增区间为，结合选项可得C符合题意．
故选C．]
5．(2024·山西晋中模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．f (x)＝2sin
B．f (x)＝2sin
C．f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是偶函数
D．f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是奇函数
C [对于A，B选项：由题图可得A＝2，T＝－＝ T＝π，因为ω>0，所以ω＝＝2，
所以f (x)＝2sin(2x＋φ)，
因为图象过点，
所以2sin ＝2 φ＝2kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin ，故A，B错误；
对于C，D选项：f (x)的图象向右平移个单位长度后得到的新图象对应的函数是y＝2sin＝2sin ＝－2cos 2x，所以为偶函数，故C正确，D错误．故选C．]
6．(2024·广东广州模拟)若将函数f (x)＝2sin x的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＝－1在[0，π)内有两个不同的解α，β，则sin (α＋β)＝( )
A．－ B．
C． D．－
D [由函数f (x)＝2sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin 的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin 的图象，
因为x∈[0，π)，所以2x＋∈，
由g(x)＝－1，可得sin ＝－，
所以2α＋＋2β＋＝×2，得到α＋β＝，
所以sin (α＋β)＝sin ＝－．
故选D．]
二、多项选择题
7．设函数f (x)＝2sin ，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为π
B．f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x)的一个零点为x＝－
D．f (x)的最大值为1
AC [由周期公式知T＝＝π，A正确；
因为f ＝2sin ＝2sin ＝不是最值，所以直线x＝不是函数f (x)图象的对称轴，B错误；
因为f ＝2sin ＝2sin 0＝0，所以x＝－是函数f (x)的零点，C正确；
由正弦函数的值域可知，f (x)的最大值为2，D错误．故选AC．]
8．(2024·江苏南通三模)已知函数f (x)＝sin ，则( )
A．f (π＋x)＝f (x)
B．f ＝f (x)
C．x∈，f (x)>1
D．x∈，f ′(x)<0
AC [对于A，f (x)的最小正周期为＝π，∴f (π＋x)＝f (x)，故A正确；
对于B，令2x＋＝＋kπ，k∈Z ，则x＝＋，k∈Z，若f ＝f (x)成立，则f (x)的图象关于x＝对称，
令＋＝，解得k＝，因为k Z，故B错误；
对于C，∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin ∈，∴f (x)∈(1，]，故C正确；
对于D，f ′(x)＝2cos ，当x＝时，则f ′(x)＝0，故D错误．
故选AC．]
三、填空题
9．函数y＝3－sin x－2cos2x，x∈的值域为________．
[由正弦函数的性质可知，当x∈时，－≤sin x≤1，
y＝3－sin x－2cos2x＝2sin2x－sin x＋1＝2＋，
当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝1或sin x＝－时，ymax＝2，故值域为．]
10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
－ [设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，
ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．
因为f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．
所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)，
所以f (x)＝sin 或f (x)＝－sin ，
又因为f (0)<0，所以f (x)＝sin ，
所以f (π)＝sin ＝－．]
四、解答题
11．(2024·浙江台州一模)已知函数f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)．
(1)当ω＝0时，求f (x)的最小正周期以及单调递减区间；
(2)当ω＝2时，求f (x)的值域．
[解] (1)当ω＝0时，f (x)＝sin x＋cos x
＝sin ，T＝2π，
令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数f (x)的最小正周期为2π，单调递减区间为(k∈Z)．
(2)当ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x
＝2sin x cos x＋sin x＋cos x，
设sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)，
则sin 2x＝t2－1，
令g(t)＝t2＋t－1，t∈，
又g(t)＝－，
故当t＝时，g(t)取得最大值1＋，
当t＝－时，g(t)取得最小值－，
所以f (x)的值域为．
12．(2024·山东临沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b．
(1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值；
(2)将f (x)图象上所有的点向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数g(x)的图象，当x∈时，解不等式g(x)≥．
[解] (1)因为a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b，
所以f (x)＝2cos2x＋2sin x cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x
＝2＋1＝2sin ＋1，
因为f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝，
又x0∈，所以2x0＋∈，
所以cos ＝－＝－，
所以cos2x0＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝－×＋×＝．
(2)将f (x)图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的图象，
再将y＝2sin ＋1的图象向下平移1个单位长度得到y＝2sin 的图象，
最后将y＝2sin 的图象上所有点的纵坐标变为原来的得到y＝sin 的图象，
即g(x)＝sin ，
由g(x)≥，即sin ≥，所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈，
又x∈，所以x∈，
即当x∈时，不等式g(x)≥的解集为．
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