§4 解三角形中的高线、中线、角平分线问题
【备考指南】 三角形中的三线(高线、中线、角平分线)可以较好的考查学生对几何图形的认知、数形结合意识，是高考命题的热点之一，难度中等．求解此类问题务必注意转化与化归思想的应用．
基础考点1 高线问题
【典例1】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[解] 法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，
所以C＝．
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin ＝sin ，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sin A＞0，
所以sin A＝．
(2)由正弦定理，
得BC＝·sin A＝＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2．
由(1)得，tan A＝3＞，
所以＜A＜，
又A＋B＝，所以B＞，
即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2．
设AB边上的高为h，则×AC×BC sin C，
即5h＝2×3×，
解得h＝6，
所以AB边上的高为6．
法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝．
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，
易得cos A cos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，
又sin A＞0，
所以sin A＝．
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，
所以cos A＝，
所以sin B＝sin (cos A＋sin A)＝，
由正弦定理，
得AC＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6．
1．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度．
2．设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶∶∶．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b＝c．
(1)求A的大小；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长．
条件①：cos B＝，b＝1；条件②：a＝3，c＝条件③：b＝3，c＝．
[解] (1)在△ABC中，因为a cos B＋b＝c，
由正弦定理得sin A cos B＋sin B＝sin C，
所以sin A cos B＋sin B＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A，即sin B＝sin B cos A，
又因为A，B∈(0，π)，sin B≠0，
所以cos A＝，A＝．
(2)设BC边上的高为h．
若选条件①：因为cos B＝，所以B∈，sin B＝，
所以0
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝，
则ha＝ab sin C，解得h＝，即BC边上的高为．
若选条件②：由余弦定理的推论得cos A＝，
即＝，解得b＝3±，此时满足条件的△ABC有两个，条件②不符合题意．
若选条件③：根据条件可得△ABC存在且唯一确定，由余弦定理的推论得cos A＝，
即＝，解得a＝(舍负)，
则ha＝bc sin A，解得h＝，
即BC边上的高为．
【教师备选资源】
1．(2024·陕西西安模拟)在△ABC中，tan A＝，AB＝3，AC＝4，则点A到边BC的距离为( )
A． B．
C． D．
A [在△ABC中，由tan A＝，
所以
解得sin A＝，cos A＝．
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝9，故BC＝3．
设点A到边BC的距离为d，由三角形面积公式得AB·AC sin A＝·BC·d，故d＝．故选A．]
2．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，AD是BC边上的高线，则( )
A．＝＋
B．＝＋
C．＝＋
D．＝＋
D [由题意BC＝＝，根据射影定理，BD·BC＝AB2，BD＝＝＝，
∴＝，∴＋＋＝＋．
故选D．]
基础考点2 中线问题
【典例2】 (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1．
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
[解] (1)因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2×，
解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4．
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝．
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝．
在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC＝1＋4－2＝3，
所以b＝．
在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos B＝，
所以sin B＝＝，
所以tan B＝．
(2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC．
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得
，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2．
在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos ∠BAC＝，
所以S△ABC＝bc sin ∠BAC
＝bc＝bc
＝＝，
解得bc＝4．
则由解得b＝c＝2．
法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，
则，
所以(c2＋b2＋2bc cos A)，
又AD＝1，b2＋c2＝8，则1＝(8＋2bc cos A)，
∴bc cos A＝－2，①
S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2，②
由①②解得tan A＝－，∴A＝，
∴bc＝4，又b2＋c2＝8，∴b＝c＝2．
法三：在△ABC中，由中线长公式可得
2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2，
又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8，
则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)，
即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16，所以a2＝12．
又S△ABC＝bc sin A＝，因而bc sin A＝2，
又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得12＝8－2bc cos A，所以bc cos A＝－2，
故tan A＝－ cos A＝－，所以bc＝4，
又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2，
b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2，故b＝c＝2．
解答三角形的中线问题的两种思路
(1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，两次应用余弦定理，得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
(2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则(b2＋c2＋2bc cos A)．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，且4cos B＝c－b．
(1)求A；
(2)若AD是BC边上的中线，求AD长度的最大值．
[解] (1)因为a＝4，且4cos B＝c－b，
故a cos B＝c－b，
所以sin A cos B＝sin C－sin B，
即sin A cos B＝sin (A＋B)－sin B，
所以cos A sin B＝sin B ，
而B∈(0，π)，所以sin B≠0，
故cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)由题意a＝4，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即16＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2－16＝bc≤，
即b2＋c2≤32，当且仅当b＝c＝4 时取等号．
又AD是BC边上的中线，故＝，
所以＝(c2＋b2＋bc)≤(c2＋b2)≤×32＝12，即≤2，所以AD长度的最大值为2．
【教师备选资源】
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B．
(1)求A；
(2)若a＝，＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长．
[解] (1)∵cos ＝cos ＝sin ，
∴b sin ＝a sin B，
由正弦定理得sin B sin ＝sin A sin B，
∵sin B≠0，∴sin ＝sin A，
∴sin ＝2sin cos ，∵A∈(0，π)，∈，∴sin ≠0，
得cos ＝，即＝，
∴A＝．
(2)∵＝3，
∴bc cos (π－A)＝3，得bc＝6，
由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13，
∵AD是△ABC的中线，
∴＝，
∴＝2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝，
∴＝，
即AD的长为．
2．在①(a－c)sin (A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)；
②2S＝；③b cos C＝a－c sin B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角B的大小；
(2)若AC边上的中线BD＝2，求△ABC面积的最大值．
[解] (1)若选①，在△ABC中，因为sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，
故由(a－c)sin (A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)可得(a－c)sin C＝(a－b)(sin A＋sin B)，
由正弦定理得c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，
即c2＋a2－b2＝ac，则cos B＝．
又0若选②，2S＝，
即ac sin B＝ac cos B，
所以tan B＝，又B∈(0，π)，
所以B＝．
若选③，由b cos C＝a－c sin B及正弦定理得sin B cos C＝sin A－sin C sin B．
又A＝π－(B＋C)，所以sin B cos C＝sin (B＋C)－sin C sin B．
即sin C cos B－sin C sin B＝0，因为0又0综上所述：选择①②③，都有B＝．
(2)因为AC边上的中线BD＝2，所以2 42＝c2＋a2＋2ca cos B 16＝c2＋a2＋ca≥3ca ca≤．
又S△ABC＝ca≤(当且仅当c＝a＝时取等号)，
所以△ABC面积的最大值为．
基础考点3 角平分线问题
【典例3】 (2024·江西上饶模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2，且b cos C＝a＋c sin B．
(1)求B；
(2)若B的角平分线交AC于点D，BD＝，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积．
[解] (1)因为b cos C＝a＋c sin B，
由正弦定理可得sin B cos C＝sin A＋sin C sin B，
又A＝π－(B＋C)，所以sin B cos C＝sin (B＋C)＋sin C sin B，所以sin B cos C＝sin B cos C＋
即sin C cos B＋sin C sin B＝0，
因为C∈(0，π)，故sin C≠0，
所以cos B＋sin B＝0，即tan B＝－，
又B∈(0，π)，则B＝．
(2)由(1)可知，B＝，
又外接圆的半径为2．
由正弦定理可知＝4，所以b＝4sin ＝6，
因为BD是∠ABC的平分线，
故∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝，
又BD＝，由S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，
可得ac sin ＝a·sin ＋c·sin ，
即ac＝(a＋c)．①
由余弦定理可知，b2＝a2＋c2－2ac cos ，
即(a＋c)2－ac＝36.②
由①②可得a＝c＝2．
所以BD⊥AC，
又因为EC＝2AE，则DE＝1，
所以S△BDE＝×1×＝．
解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．
已知AD是△ABC的角平分线，则
(1)；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC．
已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．
(1)求角A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC 的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积．
[解] (1)在△ABC中，由正弦定理及2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，
得b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理的推论得cos A＝＝－，
又0(2)因为AD 是△ABC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC＝，
由S△ABC＝S△ABD＋S△CAD，
可得bc sin ＝c·AD·sin ＋b·AD·sin ．
因为b＝3，AD＝2，所以c＝6，
故S△ABC＝bc sin A＝×3×6×＝．
【教师备选资源】
1．(2024·广东广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝3，b＝2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的中线AH的长等于( )
A． B．
C． D．
A [设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAC＝2α，如图所示，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
可得×3×2sin 2α＝×3×sin α＋×2×sin α，
整理得3sin 2α＝2sin α，
即sin α＝0，
又因为sin α≠0，所以cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以sin2α＝＝，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝32＋22－2×3×2cos2α＝13－4＝9，所以a＝3．
由AH是BC边上的中线，得
＝，
所以＝
＝
＝
＝
＝．
所以AH＝．
故选A．]
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，B＝，点D是△ABC外一点，AC平分∠BAD，且∠ADC＝，则△BCD的面积的取值范围为________．
[如图，在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2，
所以BC＝2sin ∠BAC，
在△ACD中，＝＝＝2，
所以CD＝2sin ∠DAC，
又AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠DAC，
因为四边形ABCD的内角和为2π，且∠ABC＋∠ADC＝π，易知π－2∠BAC＝∠BCD，
所以S△BCD＝BC·CD sin ∠BCD
＝×2sin ∠BAC×2sin ∠DAC×sin ∠BCD
＝2sin2∠BAC×sin(π－2∠BAC)
＝2sin2∠BAC×sin2∠BAC
＝(1－cos 2∠BAC)sin 2∠BAC，
设2∠BAC＝x，则S△BCD＝(1－cos x)sin x＝sin x－cos x sin x，令f (x)＝sin x－cos x sin x，
则f ′(x)＝cos x－(－sin2x＋cos2x)＝－2cos2x＋cos x＋1＝(2cos x＋1)(－cos x＋1)，
因为在△ACD中，0<∠DAC<，
所以0<2∠BAC<，所以－故f ′(x)>0恒成立，又y＝cos x在区间上单调递减，
当cos x＝－，x＝时，f (x)＝，
当cos x＝1，x＝0时，f (x)＝0，
所以0所以03．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，∠ABC＝，AB＝3BC＝3，则sin ∠DAB的值为________．
[在△ABC中，∠ABC＝，AB＝3，BC＝1，
由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC
＝32＋12－2×3×1×＝7，所以AC＝．
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以sin ∠BAC＝＝＝，
所以cos ∠BAC＝．
又因为AC平分∠DAB，所以sin ∠DAB＝2sin ∠BAC cos ∠BAC＝．]
专题限时集训(六) 解三角形中的高线、中线、角平分线问题
一、单项选择题
1．(2024·安徽合肥模拟)在△ABC中，C＝，CA边上的高等于CA，则sin B＝( )
A． B．
C． D．
B [如图，CA边上的高为BD，BD＝CA，且C＝，所以CB＝CA，则CD＝BC·cos ＝CA，
则AD＝CA，AB＝＝AC，
所以∠ABC＝∠C＝，
则在△ABC中，sin B＝sin ＝．
故选B．]
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为( )
A．49 B．7
C． D．
D [因为S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝，故可得b＝5．
根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝19，
故c＝，不妨取AB的中点为M，故＝，
故＝
＝＝．
即AB边上的中线长为．
故选D．]
3．(教材改编)在△ABC中，∠C＝，AC＝2，M为AB边上的中点，且CM的长度为，则AB＝( )
A．2 B．4
C．2 D．6
A [如图，在△AMC中，cos ∠AMC＝，
在△BCM中，cos ∠BMC＝，
∵∠AMC＋∠BMC＝π，
∴cos ∠AMC＝－cos ∠BMC，
又∵AM＝BM，
∴＝－，
整理可得AC2＋BC2＝2(CM2＋AM2)，
即4＋BC2＝2(7＋AM2)，
∴2AM2＝AB2＝BC2－10，
∴2BC2－20＝AB2．
在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝4＋BC2－2BC，
∴4＋BC2－2BC＝2BC2－20，
解得BC＝－6(舍)或BC＝4，
∴AB＝＝2．
故选A．]
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，a>b，则AC边上的高线的长为( )
A． B．
C． D．3
D [因为b＝3，c＝3，B＝30°，
所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
可得9＝a2＋27－2×a×3×，
整理可得a2－9a＋18＝0，又a>b，
所以a＝6，S△ABC＝ac sin B＝，
所以AC边上的高线的长为＝3．
故选D．]
5．(2024·辽宁丹东二模)在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，AB＝2，AD＝，则AC＝( )
A．2 B．
C．3 D．2
B [因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以×AB×AC×sin 120°＝×AB×AD×sin 60°＋×AD×AC×sin 60°，
即AB×AC＝AB×AD＋AD×AC，代入AB＝AD＝，可得2×AC＝2×＋×AC，则×AC＝4，解得AC＝．
故选B．]
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为( )
A．3 B．
C． D．2
C [如图，在△ABC中，由A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，则C＝，
所以∠ACD＝∠BCD＝，
由CD＝，a＝3b，所以＝＝，
在△ACD和△BCD中，由余弦定理得
AD2＝b2＋3－2b·cos 30°＝b2－3b＋3，
DB2＝(3b)2＋3－2·3b·cos 30°＝9b2－9b＋3，
故9b2－9b＋3＝9(b2－3b＋3)，
解得b＝，故a＝4．
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
即c2＝16＋－2×4××＝，故c＝．]
二、多项选择题
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C，b＝2，若BC边上的中线AD＝3，则下列结论正确的有( )
A．A＝ B．A＝
C．＝6 D．△ABC的面积为3
ACD [由(2b－c)cos A＝a cos C，
得2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C，
得2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A
＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
因此2cos A＝1，得cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，A正确，B不正确；
因为AD是BC边上的中线，所以由＝，
得4，
得36＝c2＋12＋2×2×c，
得c＝2或c＝－4(舍去)，
因此＝2×2×＝6，C正确；
S△ABC＝bc sin A＝×2×2×＝3，D正确．故选ACD．]
8．(2024·山东淄博模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列结论正确的是( )
A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．若B＝，a＝2，且△ABC有两解，则b的取值范围是
D．若∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，则4a＋c的最小值为9
BCD [选项A，因为a cos A＝b cos B，
即＝，所以a2，
整理可得(a2－b2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，所以>A>－B>0，
由正弦函数y＝sin x在上单调递增，
则sin A>sin ＝cos B，故B正确；
选项C，如图，若△ABC有两解，则a sin B选项D，由S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，BD＝1，得ac sin 120°＝a sin 60°＋c sin 60°，
即ac＝a＋c，得＋＝1，得4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥＋5＝4＋5＝9，当且仅当＝，即c＝2a＝3时，取等号，故D正确．
故选BCD．]
三、填空题
9．在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则BC边上的中线AD的取值范围是________．
[2，) [设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4，
因为sin B＋sin C＝2sin A，
由正弦定理
得b＋c＝2a＝8，
所以c＝8－b，
因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理，
可得
则 解得3由bc＝b(8－b)＝－b2＋8b＝－(b－4)2＋16，
得15由＝，
所以
＝
＝
＝
＝，
结合bc的范围，
代入得|的取值范围为[，)．]
10．在△ABC中，AB>AC，BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6，则sin B＝________，∠BAC的平分线AM的长等于________．
[∵BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6＝AB·AC·sin A＝AB·
∴AB·AC＝24，①
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
可得28＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC＝(AB＋AC)2－3×24，
∴AB＋AC＝10，②
∴由①②联立解得 (由于AB>AC，舍去)或
∴cos B＝＝＝，可得sin B＝＝．
∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC＝30°，
∴S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
即S△ABC＝AB·AM sin∠BAM＋AC·AM sin ∠CAM，
即6＝×6×AM×＋×4×AM×，解得AM＝．]
四、解答题
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2b cos B，C＝．
(1)求B；
(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
①c＝b；②△ABC的周长为4＋2；③△ABC的面积为．
[解] (1)依题意c＝2b cos B，C＝，由正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin 2B＝，由于0(2)由(1)知，c＝2b cos ＝b，故不能选①．
如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线．
若选②，由(1)知A＝，
设BC＝AC＝2x，由C＝，
得cos ＝，
则AB＝2x，
故周长为x＝4＋2，解得x＝1．
从而BC＝AC＝2，AB＝2．
则在△ABD中，
由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，
解得AD＝．因此BC边上的中线长为．
若选③，由(1)知A＝B＝，因为S△ABC＝，
得S△ABC＝ab sin C＝b2＝，即b＝，则CD＝，
在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝3＋－2×××＝，
∴AD＝．因此BC边上的中线长为．
12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin ＝c sin B．
(1)求C；
(2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值．
[解] (1)由已知A＋B＋C＝π，所以b sin ＝b sin ＝b cos ，
所以b cos ＝c sin B，由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B，
因为B，C∈(0，π)，则sin B≠0，0<<，cos ≠0，
所以cos ＝sin C，则cos ＝2sin cos ，所以sin ＝，所以＝，则C＝．
(2)由S△ABC＝c·2＝ab sin C，得ab＝4c，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，
即c2≥4c，因为c>0，则c≥4，当且仅当a＝b＝c＝4时取等号，
此时△ABC面积的最小值为4．
20 / 21§4 解三角形中的高线、中线、角平分线问题
【备考指南】 三角形中的三线(高线、中线、角平分线)可以较好的考查学生对几何图形的认知、数形结合意识，是高考命题的热点之一，难度中等．求解此类问题务必注意转化与化归思想的应用．
基础考点1 高线问题
【典例1】 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[听课记录]
1．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度．
2．设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶∶∶．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b＝c．
(1)求A的大小；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长．
条件①：cos B＝，b＝1；条件②：a＝3，c＝条件③：b＝3，c＝．
基础考点2 中线问题
【典例2】 (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1．
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
[听课记录]
解答三角形的中线问题的两种思路
(1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，两次应用余弦定理，得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).
(2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则(b2＋c2＋2bc cos A)．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，且4cos B＝c－b．
(1)求A；
(2)若AD是BC边上的中线，求AD长度的最大值．
基础考点3 角平分线问题
【典例3】 (2024·江西上饶模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2，且b cos C＝a＋c sin B．
(1)求B；
(2)若B的角平分线交AC于点D，BD＝，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积．
[听课记录]
解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．
已知AD是△ABC的角平分线，则
(1)；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC．
已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．
(1)求角A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC 的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积．
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