高考热点集训(一) 三角函数与解三角形
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·河南郑州三模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝7，c＝6，cos B＝，则a＝( )
A．5 B．6
C．8 D．10
2．(2024·广东广州模拟)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(－1，2)，则cos 2α＝( )
A． B．－
C． D．－
3．(2024·福建三明模拟)在△ABC中，已知b＝2，B＝30°，sin A＝sin C，则△ABC的面积为( )
A．4 B．
C．2 D．1
4．(2024·吉林二模)如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东 60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A．n mile B．2 n mile
C．2n mile D．3n mile
5．(2024·江苏苏州模拟)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，且为偶函数，则f (x)的一个单调递减区间为( )
A． B．
C． D．
6．(2024·山东青岛模拟)已知cos 2α＝－，sin (α＋β)＝－，α∈，β∈，则α－β＝( )
A． B．
C． D．或
7．(2024·海南海口二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－3c2，则＝( )
A． B．－
C． D．－2
8．(2024·辽宁沈阳三模)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的振幅是2，初相是
B．若函数f (x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后，对应函数为奇函数，则ω＝2
C．若函数f (x)在上单调递减，则ω的取值范围为
D．若函数f (x)的图象关于中心对称，则函数f (x)的最小正周期T的最小值为7π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·河南郑州模拟)古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f (x)＝cot x，其中cot x＝tan ，则下列关于余切函数的说法正确的是( )
A．定义域为
B．在区间上单调递增
C．与正切函数的图象有相同的对称中心
D．将函数y＝－tan x的图象向右平移个单位长度可得函数y＝cot x的图象
10．(2024·广东深圳模拟)已知O为坐标原点，点A，B，C，则下列说法中正确的是( )
A．＝
B．＝
C．·＝cos
D．＝
11．(2024·江苏盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝2，a＝2，则( )
A．bc cos A＝2a
B．b2＋c2＝8
C．A的最大值为
D．△ABC面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·江苏苏锡常镇二模)设钝角△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b sin A＝，c＝3，则b＝________．
13．(2024·北京通州二模)已知函数f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)的最小正周期为π，f (x)的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________；若f (x)在区间上有3个零点，则ω的一个取值为________．
14．(教材改编)在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1，0)进行一次T变换得到点(0，3)．若对点A(1，0)进行一次T变换得到点A1，则A1的坐标为________；若对点B进行一次T(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·河北保定二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A＝－a－c．
(1)求B；
(2)若a＝2，b＝2，D为AC边的中点，求BD的长．
16．(15分)(2024·山东泰安二模)已知函数f (x)＝sin ，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f ＝．
(1)求A；
(2)若sin C(1＋cos B)＝sin B(2－cos C)，求的值．
17．(15分)(2024·湖南长沙模拟)已知a＝(2cos ωx，f (x)－sin 2ωx)，b＝(cos ωx，－1)，x∈R，ω>0，且a⊥b，函数f (x)的最小正周期为π．
(1)求函数f (x)的解析式与单调递增区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，f (A)＝，点D在BC上，且AD平分∠BAC，a＝3，AD＝2，求△ABC的周长．
18．(17分)(2024·湖北武汉二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B－b cos C＝0．
(1)求B；
(2)已知b＝，求a＋2c的最大值．
19．(17分)(2024·福建厦门二模)定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形．如图，△ABC的面积为S，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＝．
(1)证明：△ABC是倍角三角形；
(2)若c＝9，当S取最大值时，求tan B．
4 / 5高考热点集训(一) 三角函数与解三角形
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·河南郑州三模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝7，c＝6，cos B＝，则a＝( )
A．5 B．6
C．8 D．10
A [在△ABC中，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，
化简得5a2－12a－65＝0，解得a＝5或a＝－(舍)．故选A．]
2．(2024·广东广州模拟)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(－1，2)，则cos 2α＝( )
A． B．－
C． D．－
D [因为角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(－1，2)，所以cos α＝＝－，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－．故选D．]
3．(2024·福建三明模拟)在△ABC中，已知b＝2，B＝30°，sin A＝sin C，则△ABC的面积为( )
A．4 B．
C．2 D．1
B [由正弦定理及sin A＝sin C a＝c，
由余弦定理的推论，得cos B＝，即＝，
解得c＝2，故a＝c＝2，
所以S△ABC＝ac sin B＝×2×2×＝．
故选B．]
4．(2024·吉林二模)如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东 60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距n mile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A．n mile B．2 n mile
C．2n mile D．3n mile
B [由题意知，AB＝，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，
由正弦定理得，＝，
所以BC＝＝＝2．
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile．
故选B．]
5．(2024·江苏苏州模拟)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，且为偶函数，则f (x)的一个单调递减区间为( )
A． B．
C． D．
D [由f (x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，可得＝π，解得ω＝2，
所以f (x)＝2sin (2x＋φ)，
又因为f (x)＝2sin (2x＋φ)为偶函数，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，
所以f (x)＝2sin ＝2cos 2x，
由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，可得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f (x)的单调递减区间为，k∈Z，当k＝0时，可得f (x)的一个单调递减区间为．
故选D．]
6．(2024·山东青岛模拟)已知cos 2α＝－，sin (α＋β)＝－，α∈，β∈，则α－β＝( )
A． B．
C． D．或
B [因为α∈，所以2α∈[0，π]，
所以sin 2α＝＝＝，
因为α∈，β∈，
所以α＋β∈，
所以cos(α＋β)＝＝＝，
又由α－β＝2α－(α＋β)知，
cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝×＋×＝－．
又因为α－β∈[0，π]，所以α－β＝．
故选B．]
7．(2024·海南海口二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2－3c2，则＝( )
A． B．－
C． D．－2
B [由a2＝b2－3c2，可得a2＋c2－b2＝－2c2，
由余弦定理可得－2c2＝2ac cos B，即－c＝a cos B，
由正弦定理得－sin C＝sin A cos B，
即－sin (A＋B)＝sin A cos B，
化简得2sin A cos B＝－cos A sin B，
即得＝－．
故选B．]
8．(2024·辽宁沈阳三模)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的振幅是2，初相是
B．若函数f (x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后，对应函数为奇函数，则ω＝2
C．若函数f (x)在上单调递减，则ω的取值范围为
D．若函数f (x)的图象关于中心对称，则函数f (x)的最小正周期T的最小值为7π
C [由题图可知A＝2，且f (0)＝2sin φ＝－1，即sin φ＝－，
又|φ|＜，所以φ＝－，所以f (x)＝2sin ，
故函数f (x)的振幅是2，初相是－，故A错误；
将f (x)＝2sin 的图象上的所有点向左平移个单位长度得到y＝2sin ＝2sin 的图象，
依题意ω－＝kπ，k∈N，解得ω＝2＋12k，k∈N，故B错误；
若函数f (x)在上单调递减，则＝，即T≥，则
解得0＜ω≤6，
又x∈，所以ωx－∈，
又－＜ω－，所以
解得2≤ω≤，
即函数f (x)在上单调递减，则ω的取值范围为，故C正确；
若函数f (x)的图象关于中心对称，则ω－＝kπ，k∈Z，解得ω＝k，k∈Z，
又ω＞0，所以ω＝k，k∈N，又函数的最小正周期T＝，显然T没有最小值，故D错误．
故选C．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·河南郑州模拟)古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f (x)＝cot x，其中cot x＝tan ，则下列关于余切函数的说法正确的是( )
A．定义域为
B．在区间上单调递增
C．与正切函数的图象有相同的对称中心
D．将函数y＝－tan x的图象向右平移个单位长度可得函数y＝cot x的图象
ACD [由正切函数的定义域可知－x≠kπ＋，
即x≠－kπ(k∈Z)，
所以余切函数的定义域为，故A正确；
当x∈时，－<－x<0，
因为t＝－x为减函数，y＝tan t在t∈上单调递增，由复合函数单调性知y＝cot x＝tan在区间上单调递减，故B错误；
因为y＝tan x的图象的对称中心为(k∈Z)，
令－x＝，解得x＝，
由k∈Z，可知x＝，
即f (x)＝cot x的图象的对称中心为，
故余切函数与正切函数的图象有相同的对称中心，故C正确；
y＝－tan x的图象向右平移个单位长度可得y＝－tan ＝tan ＝cot x的图象，故D正确．故选ACD．]
10．(2024·广东深圳模拟)已知O为坐标原点，点A，B，C，则下列说法中正确的是( )
A．＝
B．＝
C．·＝cos
D．＝
ABD [对于A，＝＝1＝＝，A正确；
对于B，·＝cos αcos ＋sin αsin ＝cos ，
·＝cos βcos ＋sin βsin ＝cos ，
－＝－＝－－2·＋2·＝0，
因此＝，B正确；
对于C，由选项B知，C错误；
对于D，如图，OC与线段AB交于M点，
由三角形全等易得OM垂直平分AB，
＝＝＝，
而在方向上的投影向量为，则＝＝正确．
故选ABD．]
11．(2024·江苏盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝2，a＝2，则( )
A．bc cos A＝2a
B．b2＋c2＝8
C．A的最大值为
D．△ABC面积的最大值为
BCD [·＝cos A＝bc cos A＝2≠2a＝4，故A错误；
根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，则b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝4＋4＝8，故B正确；
由选项A知，cos A＝≥＝，当且仅当b＝c时取等号，A∈(0，π)，则0
S＝bc sin A＝··sin A＝tan A，0故选BCD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·江苏苏锡常镇二模)设钝角△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b sin A＝，c＝3，则b＝________．
[由余弦定理的推论得，cos A＝＝＝，
而由b sin A＝，得sin A＝，
因为△ABC是钝角三角形，且c>a，故A为锐角，所以cos A＝，
所以＝，解得b2＝7或b2＝19，
当b2＝7，即b＝时，c>b>a，由大边对大角得，最大角为C，
cos C＝＝>0，故C为锐角，不符合题意；
当b2＝19，即b＝时，b>c>a，由大边对大角得，最大角为B，
cos B＝＝<0，故B是钝角，符合题意．]
13．(2024·北京通州二模)已知函数f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)的最小正周期为π，f (x)的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________；若f (x)在区间上有3个零点，则ω的一个取值为________．
cos x 6 [因为f (x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，解得ω＝2．
所以f (x)＝sin ，f (x)的图象向左平移个单位长度后，
可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象，
再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝cos x．
因为x∈，所以ωx＋∈，
f (x)在区间上有3个零点，
所以3π<＋≤4π，解得<ω≤，
则ω的一个取值可以为6．]
14．(教材改编)在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1，0)进行一次T变换得到点(0，3)．若对点A(1，0)进行一次T变换得到点A1，则A1的坐标为________；若对点B进行一次T(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为________．
[点A(1，0)，OA与x轴的夹角为0且|OA|＝1．
进行一次T变换，即将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转，再将OA的长度伸长为原来的2倍得到点A1，即坐标为A1．
因为对点B进行一次T(θ，ρ)变换后得到点B1(－3，－4)，
所以|OB|＝＝1，
|OB1|＝＝5，所以ρ＝5，
所以|OB2|＝|OB1|·ρ＝5×5＝25，
设OB与x轴的正方向的夹角为α，则sin α＝，cos α＝，tan α＝， 并且sin (α＋θ)＝－，cos(α＋θ)＝－，tan (α＋θ)＝，
则tan θ＝tan [(α＋θ)－α]＝＝＝，
因为π<θ<，所以sin θ＝－，cos θ＝－，所以cos [(α＋θ)＋θ]＝cos (α＋θ)cos θ－sin (α＋θ)sin θ＝＝，sin [(α＋θ)＋θ]＝sin (α＋θ)cos θ＋cos (α＋θ)sin θ＝＝，
所以B2，所以B2的坐标为B2．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·河北保定二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A＝－a－c．
(1)求B；
(2)若a＝2，b＝2，D为AC边的中点，求BD的长．
[解] (1)因为a cos B－b cos A＝－a－c，
根据正弦定理，得sin A cos B－cos A sin B＝－sin A－sin C＝－sin A－，
化简得2sin A cos B＝－sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝－，
因为B∈(0，π)，所以B＝．
(2)在△ABC中，由余弦定理得(2)2＝22＋c2－2×2c cos ，
所以c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)．
因为BD为△ABC的中线，所以2＝，
所以4||2＝c2＋a2＋2ac·cos ，
因为a＝2，c＝4，所以4||2＝12，解得＝．所以BD的长为．
16．(15分)(2024·山东泰安二模)已知函数f (x)＝sin ，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f ＝．
(1)求A；
(2)若sin C(1＋cos B)＝sin B(2－cos C)，求的值．
[解] (1)∵f ＝，
∴sin ＝，∴sin ＝，
∵0∴A－＝，∴A＝．
(2)法一：∵sin C(1＋cos B)＝sin B(2－cos C)，
即sin C＋sin C cos B＋sin B cos C＝2sin B，
∴sin C＋sin (B＋C)＝2sin B，
∴sin C＋sin A＝2sin B，
根据正弦定理得c＋a＝2b，
由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋bc，①
将a＝2b－c代入①式，得3b2－5bc＝0，
∴3b＝5c，∴＝．
法二：∵sin C(1＋cos B)＝sin B(2－cos C)，
∴由正弦定理、余弦定理可得c＝b，
∴c＋＝2b－，
∴c＋a＝2b，
由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋bc，①
将a＝2b－c代入①式，得3b2－5bc＝0，
∴3b＝5c，∴＝．
17．(15分)(2024·湖南长沙模拟)已知a＝(2cos ωx，f (x)－sin 2ωx)，b＝(cos ωx，－1)，x∈R，ω>0，且a⊥b，函数f (x)的最小正周期为π．
(1)求函数f (x)的解析式与单调递增区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，f (A)＝，点D在BC上，且AD平分∠BAC，a＝3，AD＝2，求△ABC的周长．
[解] (1)因为a⊥b，所以a·b＝0，
即2cos2ωx－f (x)＋sin2ωx＝0，
所以f (x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋
＝2sin ＋，
因为f (x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，
故ω＝1，所以f (x)＝2sin ＋．
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－π＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故f (x)的单调递增区间为，k∈Z．
(2)因为f (A)＝且A为三角形内角，
即f (A)＝2sin ＋＝，
故A＝或，
又因为△ABC为锐角三角形，故A＝．
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
所以bc sin A＝·AD·sin ·(b＋c)，
即bc＝2(b＋c)，
由余弦定理的推论可得cos A＝＝，
即b2＋c2－9＝bc，代入bc＝2(b＋c)，
可得(b＋c)2－2(b＋c)－9＝0，
解得b＋c＝3(负值舍去)，
故△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋3．
18．(17分)(2024·湖北武汉二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a－c)cos B－b cos C＝0．
(1)求B；
(2)已知b＝，求a＋2c的最大值．
[解] (1)∵(2a－c)cos B－b cos C＝0，
由正弦定理得cos B－sin B cos C＝0，
2cos B sin A－cos B sin C－sin B cos C＝0，
即2cos B sin A＝sin B cos C＋cos B sin C，
∴2cos B sin A＝sin (B＋C)＝sin A，
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝，
∵0(2)由正弦定理，得＝＝＝＝2，
∴a＋2c＝sin A＋4sin C＝sin A＋4sin ＝sin A＋2cos A＋2sin A＝3sin A＋2cos A＝sin (A＋φ)，
又∵0∴a＋2c的最大值为．
19．(17分)(2024·福建厦门二模)定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形．如图，△ABC的面积为S，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＝．
(1)证明：△ABC是倍角三角形；
(2)若c＝9，当S取最大值时，求tan B．
[解] (1)证明：因为sin C＝＝＝，
又sin C≠0，所以＝1，
则b2＝c2－ab，
又由余弦定理知，b2＝a2＋c2－2ac cos B，
故可得2c cos B＝a＋b，
由正弦定理，得2sin C cos B＝sin A＋sin B，
又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
代入上式可得sin C cos B＝sin B cos C＋sin B，
即sin C cos B－sin B cos C＝sin B，
sin (C－B)＝sin B，
则有C－B＝B(C－B＋B＝π舍去)，C＝2B，
故△ABC是倍角三角形．
(2)因为C＝2B，所以A＝π－B－C＝π－3B>0，
故0＝，则a＝＝＝，
则S＝ac sin B＝a sin B
＝××sin B＝×
＝×
＝
＝，
＝×．
设x＝tan B∈，f (x)＝，
则f ′(x)＝＝，
令f ′(x)＝0，得x2＝2－3或x2＝－2－3(舍)，
且当00，
当2－3则f (x)在上单调递增，
在上单调递减，
则当x＝时，f (x)取最大值，
此时S也取最大值，
故tan B＝．
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