重点培优练1 平面向量中的最值与范围
平面向量中的最值与范围问题是高考的热点与难点，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用.
1．若向量a＝(1，2)与b＝的夹角为锐角，则t的取值范围为( )
A．(4，＋∞) B．
C． D．∪(4，＋∞)
2．(2024·湖北黄冈二模)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为( )
A．9 B．3
C． D．10
3．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为( )
A．4 B．6
C．8 D．9
4．(2024·湖北武汉四调)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为( )
A．2 B．
C．3 D．
5．(2024·河北沧州模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N，且＝x＝y，则＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．
6．(2024·北京朝阳一模)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P在线段BC上．当·取得最小值时，PA＝( )
A． B．
C． D．
7．(2024·河南濮阳模拟)如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，O，A在格点上，则·的取值范围是________．
8．(2024·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围为________．
3 / 3重点培优练1 平面向量中的最值与范围
平面向量中的最值与范围问题是高考的热点与难点，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用.
1．若向量a＝(1，2)与b＝的夹角为锐角，则t的取值范围为( )
A．(4，＋∞) B．
C． D．∪(4，＋∞)
D [因为a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不同向，即t－1＋3t>0，即t>，
由a，b共线得2t－2＝t，得t＝4，故t的取值范围为∪(4，＋∞)．
故选D．]
2．(2024·湖北黄冈二模)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为( )
A．9 B．3
C． D．10
C [根据条件得(a－λe)2＝|a|2＋λ2－2a·eλ＝λ2－6λ＋|a|2＝1，
得到|a|2＝－(λ2－6λ－1)＝－(λ－3)2＋10≤10，
所以|a|≤，即|a|的最大值为．故选C．]
3．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为( )
A．4 B．6
C．8 D．9
C [由题意得，＝＝(a－1，1)，
＝＝(－b－1，2)，
∵A，B，C三点共线，∴＝λ且λ∈R，
则可得2a＋b＝1，
∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当b＝2a＝时，等号成立，
∴＋的最小值为8．]
4．(2024·湖北武汉四调)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为( )
A．2 B．
C．3 D．
C [如图，分别取AB，DE的中点Q，R，连接PQ，QR，
则由题知，QA＝，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos ∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，即BD＝，所以QD＝＝＝＝，
由图可知当点P运动到D或E时PQ最大，
所以·＝()·()＝()·()＝－＝－≤－＝3，
所以·的最大值为3.故选C．]
5．(2024·河北沧州模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N，且＝x＝y，则＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．
A [因为G是AD的中点，且＝x＝y，
所以＝×()＝(x＋y)．
因为M，G，N三点共线，所以(x＋y)＝1，
所以＋＝(x＋y)·＝≥＝1，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
故选A．]
6．(2024·北京朝阳一模)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P在线段BC上．当·取得最小值时，PA＝( )
A． B．
C． D．
B [如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
由AB＝AC＝2，BC＝2，则OA＝＝1，
所以A(0，1)，B(－，0)，C(，0)，设P(x，0)，
则＝(－x，1)，＝(－－x，0)，
则·＝－x·(－－x)＝x2＋x＝－，
当x＝－时，·取得最小值，此时＝，PA＝＝．
故选B．]
7．(2024·河南濮阳模拟)如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，O，A在格点上，则·的取值范围是________．
[0，2] [·＝||·||·cos ∠AOP，
即·等于||与在方向上的投影的乘积，
||＝2，结合图形可知0≤||·cos ∠AOP≤1，
所以·的取值范围为[0，2]．]
8．(2024·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围为________．
[3－2，3＋2] [由已知，点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M，
则·＝()·()＝·＝||2－||2＝||2－1，又因为|PM|∈[|CM|－1，|CM|＋1]，|CM|＝，所以|PM|∈[－1，＋1]，则·∈[3－2，3＋2]．]
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