重点培优练3 与解三角形有关的最值、 范围问题
以解三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点之一，主要考查边长(或周长)的最值、角的最值及面积的最值，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为( )
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin ＝b sin A，b＝1，则△ABC面积的最大值为( )
A． B．
C． D．
3．(2024·江苏连云港模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b cos A＝1＋cos B，则边b的取值范围为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(0，2) D．(2，3)
4．(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，BC边上的中线AD长为1，则bc的最大值为( )
A． B．
C． D．2
5．(多选)(2024·贵州黔南二模)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则下列说法正确的是( )
A．B＝
B．A的取值范围为
C．若b＝，则△ABC的外接圆的半径为2
D．若a＝，则△ABC的面积的取值范围为
6．(多选)(2024·江西鹰潭一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，·＝2S，下列选项正确的是( )
A．A＝
B．若b＝2，则△ABC只有一解
C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，4]
D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2＋
7．已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，且BD＝2，AD＝4，则cos ∠BAC的最小值为________．
8．(2024·四川南充二模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，则sin A的最大值为________．
9．(2024·辽宁沈阳一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b(b＋a)＝c2．
(1)求证：C＝2B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求2sin C＋cos B－sin B的最大值．
10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝20，∠BAD＝，∠BCD＝．
(1)若∠ABC＝，求BC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值．
2 / 3重点培优练3 与解三角形有关的最值、 范围问题
以解三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点之一，主要考查边长(或周长)的最值、角的最值及面积的最值，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为( )
A． B．
C． D．
A [设AB＝x，x>0，由余弦定理的推论可得
cos B＝＝＝＋≥2＝，
当且仅当x＝2时，等号成立．
因为0
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin ＝b sin A，b＝1，则△ABC面积的最大值为( )
A． B．
C． D．
B [由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A，
∴sin A sin ＝sin A cos ＝2sin cos sin A，
∵A∈(0，π)，∈，∴sin A≠0，cos ≠0，∴sin ＝，∴＝，解得B＝．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝1，
∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)，∴1≥2ac－ac＝ac，
∴(S△ABC)max＝×1×＝．
故选B．]
3．(2024·江苏连云港模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b cos A＝1＋cos B，则边b的取值范围为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(0，2) D．(2，3)
B [由a＝1，b cos A＝1＋cos B，得b cos A＝a＋a cos B，
由正弦定理可得sin B cos A＝sin A＋sin A cos B，即sin B cos A－sin A cos B＝sin A，
所以sin (B－A)＝sin A，所以B－A＝A或B－A＋A＝π(舍去)，所以B＝2A，
由正弦定理得，b＝＝＝2cos A，
而0故选B．]
4．(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，BC边上的中线AD长为1，则bc的最大值为( )
A． B．
C． D．2
A [由题意得∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
又a＝，且D是BC的中点，
所以DB＝DC＝，
在△ABD中，cos ∠ADB＝＝，
在△ADC中，cos ∠ADC＝＝，
所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝＋＝0，
即b2＋c2＝，得2bc≤b2＋c2＝ bc≤，当且仅当b＝c＝时取等号．故选A．]
5．(多选)(2024·贵州黔南二模)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则下列说法正确的是( )
A．B＝
B．A的取值范围为
C．若b＝，则△ABC的外接圆的半径为2
D．若a＝，则△ABC的面积的取值范围为
ABD [对于A，由题意可得ac sin B＝(a2＋c2－b2)，由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cos B，
即有ac sin B＝×2ac cos B＝ac cos B，
即sin B＝cos B，
故tan B＝，由B∈，得B＝，故A正确；
对于B，由A∈，C＝π－A－B＝π－A∈，解得A∈，故B正确；
对于C，由正弦定理可得2R＝＝＝2，即R＝1，故C错误；
对于D，若a＝，则S＝ac sin B＝×c×＝，
由正弦定理可得＝，即c＝·sin C＝，
即S＝＝×＝·＝·
＝＋，
由A∈，则tan A∈，
故S∈，故D正确．故选ABD．]
6．(多选)(2024·江西鹰潭一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，·＝2S，下列选项正确的是( )
A．A＝
B．若b＝2，则△ABC只有一解
C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，4]
D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2＋
ABD [对于A，因为·＝2S，所以bc cos A＝2×bc sin A，则tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确；
对于B，因为b＝2＝a，则B＝A＝，C＝，故△ABC只有一解，故B正确；
对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈，C∈，则
则即sin B∈，
由正弦定理可知b＝＝4sin B∈(2，4)，故C错误；
对于D，若D为BC边上的中点，则＝()，
所以＝(＋2·)＝(b2＋c2＋bc)，
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝bc＋4，
又b2＋c2＝bc＋4≥2bc，所以bc≤＝4＋8，
当且仅当b＝c＝＋时取等号，
所以＝(b2＋c2＋bc)＝(4＋2bc)≤＝7＋4，
即AD≤＝2＋，故D正确．
故选ABD．]
7．已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，且BD＝2，AD＝4，则cos ∠BAC的最小值为________．
[依题意，CD＝BD＝2，AD＝4，如图．
在△ABD中，由余弦定理得，
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB
＝20－16cos ∠ADB，
在△ACD中，由余弦定理得，
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC
＝20－16cos ∠ADC，
而∠ADB＋∠ADC＝π，
即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
两式相加得AB2＋AC2＝40，
于是2AB·AC≤AB2＋AC2＝40，当且仅当AB＝AC＝2时取等号．
在△ABC中，cos ∠BAC＝＝＝，
所以cos ∠BAC的最小值为．]
8．(2024·四川南充二模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，则sin A的最大值为________．
[因为a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，
所以由正弦定理可得b＋c＝3．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得22＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，
整理得cos A＝－1．
因为bc≤＝，当且仅当b＝c＝时，等号成立，
所以cos A≥，又sin2A＝1－cos2A，所以sin2A≤，即sin A≤．]
9．(2024·辽宁沈阳一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b(b＋a)＝c2．
(1)求证：C＝2B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求2sin C＋cos B－sin B的最大值．
[解] (1)证明：因为b(b＋a)＝c2，即c2＝b2＋ab，由余弦定理得c2＝b2＋a2－2ab cos C，
所以ab＝a2－2ab cos C，即b＝a－2b cos C，
所以sin B＝sin A－2sin B cos C，
又sin A＝sin (π－B－C)＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
所以sin B＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝cos B sin C－sin B cos C＝sin (C－B)，
又B，C∈(0，π)，所以B＝C－B或B＋C－B＝π(舍)，所以C＝2B，命题得证．
(2)由(1)知C＝2B，所以2sin C＋cos B－sin B＝2sin 2B＋cos B－sin B，
令t＝cos B－sin B＝sin ，
又因为△ABC为锐角三角形，
所以
得到又sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝，
所以t∈，又sin 2B＝1－(cos B－sin B)2＝1－t2，
所以2sin C＋cos B－sin B＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋，所以当t＝时，2sin C＋cos B－sin B取到最大值为．
10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝20，∠BAD＝，∠BCD＝．
(1)若∠ABC＝，求BC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值．
[解] (1)连接BD．
因为AB＝AD＝20，∠BAD＝，
故△ABD为等边三角形，所以BD＝20，
所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝－＝，
则∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝．
(2)在△BCD中，由余弦定理可得400＝BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ＝BC2＋CD2＋BC·CD＝(BC＋CD)2－BC·CD≥(BC＋CD)2－＝，
所以BC＋CD≤，当且仅当BC＝CD＝时，等号成立．
因此，四边形ABCD周长的最大值为40＋．
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