§3 直线与圆锥曲线
【备考指南】 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题．备考中学会几何问题代数化，注重转化与化归能力的培养．
基础考点1 弦长问题
【典例1】 (2024·四川绵阳模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2.已知＝3，＝1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，与以F1，F2为直径的圆交于C，D两点．若|AB|＝·|CD|，求直线l的方程．
[解] (1)由题意知，＝3＝a＋c，＝1＝a－c，解得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1．
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
则圆心到直线l的距离d＝<1，即m2<2，
所以|CD|＝2＝2＝×．
由消去y，整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0，
所以Δ＝64m2－4×7×(4m2－12)>0，解得m2<7，又m2<2，所以m2<2．
x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|AB|＝＝×＝，
因为|AB|＝|CD|，所以＝××，解得m2＝1，又m2<2，所以m＝±1，
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－1．
解决圆锥曲线弦长问题的基本步骤
(1)设直线方程，设交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x的一元二次方程，必要时计算Δ；
(3)列出根与系数的关系式；
(4)利用弦长公式|AB|＝|x1－x2|，计算弦长．
注意：过焦点的弦的问题，可考虑结合圆锥曲线的定义求解，如抛物线中过焦点F的弦长|AB|＝xA＋xB＋p．
1．(2024·浙江绍兴三模)已知直线y＝kx(k≠0)与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的左焦点F1，若|F1A|＝2|F1B|，则椭圆C的离心率是( )
A． B．
C． D．
C [如图，取右焦点F2，连接AF2，BF2，由F1在以线段AB为直径的圆上，故AF1⊥BF1，结合对称性可知四边形AF1BF2为矩形，有|AF2|＝|BF1|，|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c，又|F1A|＝2|F1B|，
由|F1A|2＋|F1B|2＝(2c)2，则|F1A|＝c，|F1B|＝c，
由椭圆定义可得|F1A|＋|AF2|＝2a，
故|F1A|＋|F1B|＝c＋c＝c＝2a，
则e＝＝＝．故选C．]
2．(2024·广东深圳一模)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos ∠BAF1＝( )
A．－ B．－
C． D．－
D [因为双曲线E的离心率为，所以c＝a.因为|AB|＝|AF1|，
所以|BF2|＝|AB|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝|BF1|－2a＝2a，
所以|BF1|＝4a＝2|BF2|．
在△BF1F2中，由余弦定理的推论得cos ∠BF2F1＝＝＝－，
在△AF1F2中，cos ∠F1F2A＝－cos ∠BF2F1＝．
设|AF2|＝m，则|AF1|＝m＋2a，
由|AF1|2＝|F1F2|2＋|AF2|2－2|F1F2||AF2|·cos∠F1F2A，得
(2a＋m)2＝(2a)2＋m2－2·2a·m·，解得m＝a，所以|AF1|＝，
所以cos ∠BAF1＝＝＝－．
故选D．]
3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则下列说法正确的是( )
A．过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
B．若T(3，2)，P为C上的动点，则|PT|＋|PF|的最小值为5
C．直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得的弦长为8
D．若抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则|MN|＝4
CD [因为抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p＝2，
从而抛物线C的方程是y2＝4x.过点A(－1，0)可以作2条直线与抛物线C相切，
而直线y＝0与抛物线C相交，只有1个交点，从而过点A(－1，0)恰有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故A错误；
抛物线C的准线方程是x＝－1，设T到准线的距离为d，则d＝4．
过P作准线的垂线，垂足为Q，则由抛物线的定义知|PQ|＝|PF|，所以|PT|＋|PF|＝|PT|＋|PQ|≥d，当且仅当T，P，Q三点共线时取“＝”，所以|PT|＋|PF|的最小值为4，故B错误；
抛物线的焦点为F(1，0)，直线x＋y－1＝0过焦点，
不妨设直线x＋y－1＝0与抛物线的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝x1＋x2＋p．
由 得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8，故C正确；
抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则M，N关于x轴对称．
设M(t>0)，则|OM|＝＝，解得t＝2，所以|MN|＝4，故D正确．
故选CD．]
4．[高考变式]已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝x＋1交C于M，N两点，点P(0，3)，则△PMN的周长为________．
4 [由题知a2＝6，b2＝3，c2＝3，
所以椭圆C：＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
由P(0，3)，得|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝2，
所以△PF1F2为等边三角形，且∠PF1F2＝60°．
当y＝0时，解方程0＝x＋1，得x＝－，
所以直线l：y＝x＋1过点F1，且倾斜角为30°，即∠MF1F2＝30°，
所以直线l：y＝x＋1为等边△PF1F2中∠PF1F2的平分线，
所以直线l：y＝x＋1为等边△PF1F2中边PF2的中垂线，
所以|MP|＝|MF2|，|NP|＝|NF2|．
因为|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a，|NF1|＋|MF1|＝|MN|，
所以△PMN的周长为|PM|＋|PN|＋|MN|＝|MF2|＋|NF2|＋|MN|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝4a＝4．
]
基础考点2 面积问题
【典例2】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
[解] (1)因为点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a＞1)上，所以－＝1，解得a2＝2，即双曲线C的方程为－y2＝1．
易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立消去y，可得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0 m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以由kAP＋kAQ＝0，可得＋＝0，
即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，
即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
所以2k×＋(m－1－2k)×－4(m－1)＝0，
化简得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，所以k＝－1或m＝1－2k，
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，
过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1．
(2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π，
因为tan ∠PAQ＝2，所以tan (β－α)＝2，
即tan 2α＝－2，
即tan2α－tan α－＝0，解得tan α＝或tan α＝－(舍去)，
于是，直线AP的方程为y＝(x－2)＋1，
直线AQ的方程为y＝－(x－2)＋1，
联立
消去y，可得x2＋2(1－2)x＋10－4＝0，
因为方程有一个根为2，
所以xP＝，yP＝，
同理可得，xQ＝，yQ＝．
所以直线PQ的方程为：x＋y－＝0，|PQ|＝，
点A到直线PQ的距离d＝＝，
故S△PAQ＝××＝．
如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点，P，Q是椭圆C上的两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP与OQ的斜率之积为－(O为坐标原点)，点D为射线OP上一点，且＝，若线段DQ与椭圆C交于点E，设＝λ(λ>0)．
①求λ的值；
②求四边形OPEQ的面积．
[解] (1)依题意有＝，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝1，故椭圆C的方程为＋＝1．
(2)①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为＝，
则D(2x1，2y1)．
因为P，Q均在椭圆C上，则＋＝1，＋＝1．
又kOP·kOQ＝－，则＝－，即3x1x2＋4y1y2＝0．
因为＝λ，
则(xE－x2，yE－y2)＝λ(2x1－xE，2y1－yE)，
可得E．
又点E在椭圆上，则
＋＝1，
4λ2＋＋＋4λ＝(1＋λ)2，4λ2＋1＝(1＋λ)2，解得λ＝．
②由①，可知＝得，S△PEQ＝S△QPD＝S△OPQ，则S四边形OPEQ＝S△OPQ．
当直线PQ的斜率为0时，易知kOP＝－kOQ，
又kOP·kOQ＝－，则kOP＝±．
根据对称性不妨取kOP＝，y1>0，
由得或
则P，Q，
此时S△OPQ＝×2×＝．
当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为x＝my＋t，
将直线方程与椭圆方程联立，
得消去x，
得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0．
Δ＝36m2t2－4(3m2＋4)(3t2－12)＞0，即－t2＋3m2＋4＞0，则由根与系数的关系知，
y1＋y2＝，y1y2＝．
因为3x1x2＋4y1y2＝3(my1＋t)(my2＋t)＋4y1y2＝(3m2＋4)·y1y2＋3mt(y1＋y2)＋3t2＝0，
即(3m2＋4)·－＋3t2＝0，
所以2t2－3m2－4＝0，2t2＝3m2＋4．
|PQ|＝
＝·
＝
＝＝2·．
又原点到直线PQ的距离为，
则此时S△OPQ＝××2×＝．
综上可得，四边形OPEQ的面积为．
基础考点3 中点弦问题
【典例3】 (1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点．
①求双曲线的方程；
②若直线l：y＝kx＋1与双曲线左支有两个交点，求k的取值范围；
③是否存在过点M的直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ的中点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
(1)D [依题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，设直线AB的方程为y＝kx＋m(提示：根据选项中点与双曲线的位置关系可知，若为线段AB的中点，则直线AB的斜率存在)，与双曲线方程联立可得(9－k2)x2－2kmx－m2－9＝0，则9－k2≠0，Δ＝4k2m2＋4(9－k2)(m2＋9)＞0，即k≠±3，且－k2＋m2＋9＞0.由点A，B在双曲线上，可得两式作差可得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
整理得＝·，即9·＝(提示：弦中点问题常利用点差法)．
对于A选项，直线AB的斜率为＝9，则直线AB的方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8，－k2＋m2＋9＝－81＋64＋9＜0，不合题意；
对于B选项，直线AB的斜率为＝－，则直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x－，－k2＋m2＋9＝－＋＋9＜0，不合题意；
对于C选项，直线AB的斜率为＝3，不合题意；
对于D选项，直线AB的斜率为＝，则直线AB的方程为y＋4＝(x＋1)，即y＝x－，－k2＋m2＋9＝－＋＋9＞0，符合题意．故选D．]
(2)[解] ①因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点，
则
解得
所以双曲线的方程为x2－y2＝1．
②设直线l交双曲线左支于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立 可得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0，
因为直线l：y＝kx＋1与双曲线左支有两个交点，
则
解得1③若直线m⊥x轴，则直线m与双曲线x2－y2＝1相切，不符合题意，所以直线m的斜率存在．
设点P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
因为M为线段PQ的中点，
则
将点P，Q的坐标代入双曲线的方程，可得
作差可得＝0，
即(x3－x4)(x3＋x4)＝(y3－y4)(y3＋y4)，
即2(x3－x4)＝(y3－y4)，
所以直线PQ的斜率kPQ＝＝3，
所以直线m的方程为y－＝3(x－1)，
即y＝3x－，
联立 可得8x2－16x＋＝0，
则Δ＝162－4×8×＝－<0，
因此，不存在满足题设条件的直线m．
处理中点弦问题常用的两种方法
(1)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
提醒：利用根与系数的关系解题时，需关注直线的斜率是否存在(为零)；点差法在确定范围方面略显不足．
1．设A，B为双曲线－＝1上的两点，若线段AB的中点为M(1，2)，则直线AB的方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0
C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有两式相减，
得＝，
因为线段AB的中点为M(1，2)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，
因此＝1，
即直线AB的方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，
代入双曲线方程中，得y2－4y－14＝0，
因为Δ>0，所以直线AB存在，故选C．]
2．(教材改编)已知圆M：(x＋3)2＋y2＝4，圆N：(x－3)2＋y2＝100，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)是否存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点？若存在，求该直线的方程；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设动圆P的半径为r，依题意得所以|PM|＋|PN|＝12，且12>|MN|＝6，
所以动点P的轨迹C是以M，N为焦点，长轴长为12的椭圆，所以2a＝12，2c＝6，即a＝6，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝36－9＝27，
所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)假设存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点．由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝3，
则两式相减得＝－，
得＝－×＝－×＝－，
即kAB＝－，
所以直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－4＝0．
所以存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点，且该直线的方程为x＋2y－4＝0．
专题限时集训(二十) 直线与圆锥曲线
一、单项选择题
1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B．6
C．12 D．7
C [由题意，得F.因为k＝tan 30°＝，故直线AB的方程为y＝，与抛物线y2＝3x联立，得16x2－168x＋9＝0，Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.故选C．]
2．(2024·辽宁葫芦岛一模)已知椭圆G：＋＝1，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为( )
A． B．
C．－ D．－
C [设P(x0，y0)，则有＋＝1，即－3＝－，
由椭圆方程不妨设短轴端点A，B的坐标分别为，则kAP·kBP＝·＝＝＝－．故选C．]
3．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B．
C． D．2
A [设点P(x0，y0)，由题意知B(0，1)，＝1，所以|PB|2＝＋(y0－1)2＝＋(y0－1)2＝－2y0＋6＝－4＋，
而－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，|PB|取得最大值为．
故选A．]
4．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( )
A． B．
C．－ D．－
C [将直线方程与椭圆方程联立得消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0．
因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2设F1到直线AB的距离为d1，F2到直线AB的距离为d2，易知F1，F2，
则d1＝，d2＝，
＝＝＝2，
解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C．
]
5．(2024·广东肇庆一模)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±4x
B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得－＝1，－＝1，
两式相减可得＝，
因为点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0，
可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，
即有b2＝4a2，即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.经验证此时直线与双曲线有两个交点，符合题意．
故选B．]
6．(2024·江苏南通二模)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且|FM|＝3|FN|，则直线MN的斜率为( )
A． B．
C． D．
A [根据题意可得抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，
则有A(－1，0)，设直线MN的方程为y＝k(x＋1)，k>0，
联立可得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
则Δ＝(2k2－4)2－4k2·k2＝－16(k－1)(k＋1)>0，得－1设M(x1，y1)，N(x2，y2)，0如图，M到准线的距离为|MM′|，N到准线的距离为|NN′|，
又|FM|＝3|FN|，有|MM′|＝3|NN′|，即1＋x1＝3(1＋x2)，得x1＝2＋3x2，
∴x1x2＝(2＋3x2)x2＝1，又0∴x1＋x2＝＝3＋，又k>0，解得k＝．
故选A．]
二、多项选择题
7．(2024·福建厦门一模)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于A，B两点，若＝2，且△ABF2的周长为8，则( )
A．a＝2
B．C的离心率为
C．|AB|可以为π
D．∠BAF2可以为直角
AC [由＝2c＝2 c＝1，△ABF2的周长为4a＝8 a＝2，故b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆离心率e＝，A正确，B错误；
当AB⊥x轴，即AB为通径时，|AB|min＝＝3，且|AB|<2a＝4，
所以3≤|AB|<4，故|AB|可以为π，C正确；
由椭圆性质知：当A为椭圆上、下顶点时∠BAF2最大，此时cos ∠BAF2＝＝，
且∠BAF2∈(0，π)，故(∠BAF2)max＝，
即∠BAF2不可能为直角，D错误．
故选AC．]
8．(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
ABD [A选项，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线l与⊙A相切，A选项正确；
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，
由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝＝＝，B选项正确；
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P点的坐标为(1，2)或(1，－2)，
当P点的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P点的坐标为(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1，
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，AF中垂线的斜率为－＝，
于是AF中垂线的方程为y＝x＋，与抛物线方程y2＝4x联立，可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：设点直接求解
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
根据两点间的距离公式，得＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个不同实数根，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PB|，D选项正确．
故选ABD．]
三、填空题
9．(2024·北京高考)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
10．(2024·河北衡水三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M(1，1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB的中点，则△AF1B的周长为________．
12 [由题意知F1(－3，0)，F2(3，0)，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
∴＋＝1，＋＝1，
两式相减得＋＝0，
由题意M为AB的中点，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入整理得＝－．
即由题意知kAB＝＝＝－，
因此－＝－，所以a2＝2b2，c2＝b2，由焦距为6，解得a＝3．
由椭圆定义知△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝＋(|BF1＋|BF2|)＝4a＝12．]
四、解答题
11．已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时，|MN|＝．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且|OQ|＝|MQ|，求O到直线MN的距离．
[解] (1)设双曲线C：x2－y2＝λ(λ>0)，
双曲线的右焦点为(c，0)(c>0)，
则直线MN的方程为y＝2(x－c)，其中c＝．
联立化简可得3x2－8cx＋＝0，Δ＞0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．|MN|＝·＝·＝·＝c＝，
解得c＝2，故λ＝2．
故双曲线C的方程为－＝1．
(2)易知直线MN一定不与坐标轴垂直，
设其方程为x＝my＋n(m≠0)．
联立整理得(m2－1)y2＋2mny＋n2－2＝0，
Δ＝4m2n2－4(m2－1)(n2－2)＞0且m2－1≠0，
∴2m2＋n2－2＞0，且m≠±1，则y1y2＝．
由于|OQ|＝|MQ|，|MQ|＝|NQ|，
故Q为△MNO的外接圆圆心，
可设外接圆方程为x2＋y2＋Ey＝0，
则
则＝，
即＋2)＝＋2)，
整理得2(y1y2－1)(y1－y2)＝0，
由题知y1≠y2，故y1y2＝1＝．
所以n2＝m2＋1，
故原点到直线MN的距离为＝1．
12．(2024·浙江金华模拟)设抛物线C：y2＝2px( p>0)，直线x＝－1是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，A(1，n)是不在直线l上的一点，直线AM，AN分别与准线交于P，Q两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：|BP|＝|BQ|；
(3)记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，若S1＝2S2，求直线l的方程．
[解] (1)因为x＝－1为抛物线的准线，
所以＝1，即2p＝4，
故抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)证明：如图，
设直线l的方程为x＝ty－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立y2＝4x，消去x得y2－4ty＋4＝0，
则Δ＝16(t2－1)>0，t2＞1，且
又直线AM的方程为y－n＝(x－1)，
令x＝－1，得P，
同理可得Q，
所以yP＋yQ＝n－＋n－
＝2n－
＝2n－
＝2n－
＝2n－＝0，
故＝．
(3)设点A到直线MN，PQ的距离分别为d1，d2，易知d2＝2.由(2)可得d1＝，|MN|＝＝4，则S2＝|PQ|d2＝＝＝，
S1＝d1
＝×4·
＝|2|·，
由S1＝2S2，得t2－1＝2，
解得t＝±，
所以直线l的方程为x±y＋1＝0．
21 / 21§3 直线与圆锥曲线
【备考指南】 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题．备考中学会几何问题代数化，注重转化与化归能力的培养．
基础考点1 弦长问题
【典例1】 (2024·四川绵阳模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2.已知＝3，＝1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，与以F1，F2为直径的圆交于C，D两点．若|AB|＝·|CD|，求直线l的方程．
[听课记录]
解决圆锥曲线弦长问题的基本步骤
(1)设直线方程，设交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x的一元二次方程，必要时计算Δ；
(3)列出根与系数的关系式；
(4)利用弦长公式|AB|＝|x1－x2|，计算弦长．
注意：过焦点的弦的问题，可考虑结合圆锥曲线的定义求解，如抛物线中过焦点F的弦长|AB|＝xA＋xB＋p．
1．(2024·浙江绍兴三模)已知直线y＝kx(k≠0)与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的左焦点F1，若|F1A|＝2|F1B|，则椭圆C的离心率是( )
A． B．
C． D．
2．(2024·广东深圳一模)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos ∠BAF1＝( )
A．－ B．－
C． D．－
3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则下列说法正确的是( )
A．过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
B．若T(3，2)，P为C上的动点，则|PT|＋|PF|的最小值为5
C．直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得的弦长为8
D．若抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则|MN|＝4
4．[高考变式]已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝x＋1交C于M，N两点，点P(0，3)，则△PMN的周长为________．
基础考点2 面积问题
【典例2】 (2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
[听课记录]
如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点，P，Q是椭圆C上的两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP与OQ的斜率之积为－(O为坐标原点)，点D为射线OP上一点，且＝，若线段DQ与椭圆C交于点E，设＝λ(λ>0)．
①求λ的值；
②求四边形OPEQ的面积．
基础考点3 中点弦问题
【典例3】 (1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且经过点．
①求双曲线的方程；
②若直线l：y＝kx＋1与双曲线左支有两个交点，求k的取值范围；
③是否存在过点M的直线m与双曲线交于P，Q两点，且使得M是PQ的中点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
[听课记录]
处理中点弦问题常用的两种方法
(1)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
1．设A，B为双曲线－＝1上的两点，若线段AB的中点为M(1，2)，则直线AB的方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0
2．(教材改编)已知圆M：(x＋3)2＋y2＝4，圆N：(x－3)2＋y2＝100，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)是否存在过点Q的直线交曲线C于A，B两点，使得Q为AB的中点？若存在，求该直线的方程；若不存在，请说明理由．
1 / 1
