§2 圆锥曲线的定义、方程及性质
【备考指南】 在新高考中，圆锥曲线的定义、方程及性质常命制一道多选题和一道填空题，难度中等或偏上．备考时要立足圆锥曲线的定义和标准方程，融合几何图形的性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
基础考点1 圆锥曲线的定义、标准方程
【典例1】 (1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
(2)(2024·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
(3)(2024·陕西商洛三模)已知点M在抛物线C：y2＝4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为________．
[听课记录]
1．求圆锥曲线标准方程 “先定型，后计算”
(1)定型：确定圆锥曲线焦点的位置．
(2)计算：利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p．
2．涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离时，一般运用定义处理．
1．(多选)已知方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，则该方程可以是( )
A．圆的方程 B．抛物线的方程
C．椭圆的标准方程 D．双曲线的标准方程
2．已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(－，0)，F2(，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝，则椭圆C1的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
3．(多选)(2024·山东临沂模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则( )
A．椭圆C的离心率为
B．△PF2F1的周长为4
C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为
D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60°
基础考点2 圆锥曲线的几何性质
【典例2】 (1)(2024·山东潍坊三模)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P(x0，y0) 在C上，若∠F1PF2大于，则x0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px( p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为__________．
[听课记录]
1．确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键是充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e与其渐近线的斜率k满足关系式e2＝1＋k2．
3．涉及抛物线的焦半径、准线等问题时，可适当添加辅助线，借助几何图形求解．
1．(2024·重庆模拟)已知A，B是抛物线y2＝2px( p>0)上的不同两点，F是抛物线的焦点，且△OAB的重心恰为F，若|AF|＝5，则p＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(多选)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是( )
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为＋＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
3．(多选)(2024·安徽十校联考)设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是( )
A．M的轨迹方程为－＝1
B．M的轨迹与椭圆＋＝1共焦点
C．2x－3y＝0是M的轨迹的一条渐近线
D．过点N(0，2)能作4条直线与M的轨迹有且只有一个公共点
4．[高考变式]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝2·＝0，则椭圆C的离心率为________．
1 / 1§2 圆锥曲线的定义、方程及性质
【备考指南】 在新高考中，圆锥曲线的定义、方程及性质常命制一道多选题和一道填空题，难度中等或偏上．备考时要立足圆锥曲线的定义和标准方程，融合几何图形的性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
基础考点1 圆锥曲线的定义、标准方程
【典例1】 (1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
(2)(2024·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
(3)(2024·陕西商洛三模)已知点M在抛物线C：y2＝4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为________．
(1)B (2)C (3)3 [(1)因为离心率e＝＝＝，所以＝，b2＝a2．
由题意A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，
B为上顶点，则B(0，b)，
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)．
因为·＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＋＝1.故选B．
(2)如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°．
设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝．
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，
由＝|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，
则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.故选C．
(3)如图，不妨设点M在第一象限，依题知ON是△KMF的中位线，可知|MF|＝2|ON|，过M，N向准线作垂线，垂足分别为M1，N1，
同理NN1是△KMM1的中位线，|MM1|＝2|NN1|，
由抛物线定义知|MM1|＝|MF|，|NN1|＝|NF|，
故得|ON|＝|NF|，又F(1，0)，则N点的横坐标是，
代入y2＝4x可得其纵坐标为，
故|ON|＝＝，|MF|＝3．]
1．求圆锥曲线标准方程 “先定型，后计算”
(1)定型：确定圆锥曲线焦点的位置．
(2)计算：利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p．
2．涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离时，一般运用定义处理．
1．(多选)已知方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，则该方程可以是( )
A．圆的方程 B．抛物线的方程
C．椭圆的标准方程 D．双曲线的标准方程
ABC [因为方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，
所以当A＝B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1时，方程为x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当A＝1≥B＝C＝D＝0≥E＝－1≥F＝－2时，方程为x2－y－2＝0，即y＝x2－2是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当A＝2≥B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1时，方程为2x2＋y2－1＝0，即y2＋＝1是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有
AB<0，C＝D＝E＝0，F<0，这与A≥B≥C≥D≥E≥F矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程．故选ABC．]
2．已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(－，0)，F2(，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝，则椭圆C1的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
A [由题意知椭圆C1与双曲线C2共同的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以c1＝c2＝．
因为双曲线C2的离心率e2＝，所以a2＝＝1，b2＝＝，所以双曲线C2的方程为x2－＝1．
如图，根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2＝2，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
得12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，
又|PF1|－|PF2|＝2，得|PF2|＝2，|PF1|＝4．
根据椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a1＝6，所以a1＝3，b1＝＝，所以椭圆C1的方程为＋＝1.故选A．]
3．(多选)(2024·山东临沂模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则( )
A．椭圆C的离心率为
B．△PF2F1的周长为4
C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为
D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60°
ACD [对于A，由题意知a＋c＝3，a－c＝1，故a＝2，c＝1，离心率e＝，故A正确；
对于B，△PF2F1的周长为2a＋2c＝6，故B错误；
对于C，若∠F2PF1＝60°，则＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
即(2c)2＝(2a)2－3|PF1|·|PF2|，故|PF1|·|PF2|＝4，故＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，故C正确；
对于D，由余弦定理得＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ∠F2PF1
＝－2|PF1|·|PF2|(1＋cos∠F2PF1)，即4＝16－2×4(1＋cos ∠F2PF1)，解得cos ∠F2PF1＝，故∠F2PF1＝60°，故D正确．故选ACD．]
【教师备选资源】
1．古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯(Pappus，公元3世纪末)在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线．今有平面内三条给定的直线l1，l2，l3，且l2，l3均与l1垂直．若动点M到l2，l3的距离的乘积是M到l1的距离的平方的4倍，则动点M在直线l2，l3之间(含边界)的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
B [因为在平面内三条给定的直线l1，l2，l3，且l2，l3均与l1垂直，所以l2，l3平行，记l1为y＝0，直线l2为x＝－a，l3为x＝a(a>0)，
设M(x，y)，且动点M在直线l2，l3之间(含边界)，所以－a≤x≤a，所以M到l1的距离为|y|，M到l2的距离为x＋a，M到l3的距离为a－x.又因为动点M到l2，l3的距离的乘积与M到l1的距离的平方的4倍相等，所以4y2＝(a－x)(a＋x)，
所以4y2＝a2－x2，即x2＋4y2＝a2，故动点M的轨迹为椭圆．故选B．]
2．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，则|PO|＝( )
A．
C．
B [法一：设∠F1PF2＝2θ，0<θ<，
所以＝b2tan ＝b2tan θ，
由cos ∠F1PF2＝cos 2θ＝＝＝，解得tan θ＝，
由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，
所以＝·|F1F2|·|yP|＝·2·|yP|＝6×，解得|yP|＝，即＝3，则＝9×＝，因此|OP|＝＝＝．
故选B．
法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12，②
联立①②，解得|PF1||PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，
而＝，
所以|OP|＝
＝，
即＝
＝
＝
＝．
故选B．
法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12，②
联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，
由中线定理可知，
＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，
易知|F1F2|＝2，解得|OP|＝．故选B．]
3．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办法．如图，已知圆锥的高与底面半径均为2，过轴OO1的截面为平面OAB，平行于平面OAB的平面α与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分．若双曲线C的两条渐近线分别平行于OA，OB，则建立恰当的坐标系后，双曲线C的方程可以为( )
A．y2－＝1 B．－x2＝1
C．y2－x2＝1 D．－x2＝1
C [设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．将题设中双曲线C的一部分平移到平面OAB内，以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为圆锥的高与底面半径均为2，所以B(2，－2)，
则kOB＝＝－1，即渐近线OB的方程为y＝－x，即＝1，故a＝b．
选项中满足a＝b的只有选项C．故选C．]
4．(多选)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆相交于A，B两点，点P在该椭圆上，且|AB|≥1，则下列说法正确的是( )
A．存在点P，使得∠F1PF2＝90°
B．满足△F1PF2为等腰三角形的点P有2个
C．若∠F1PF2＝60°，则＝
D．|PF1|－|PF2|的取值范围为[－2，2]
ACD [根据题意可得c＝，|AB|的最小值为1，所以＝1，又c2＝a2－b2，所以a＝2，b＝1，所以椭圆M的方程为＋y2＝1．
当点P为该椭圆的上顶点时，tan ∠OPF2＝，所以∠OPF2＝60°，此时∠F1PF2＝120°，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，所以选项A正确；
当点P在椭圆的上、下顶点时，满足△F1PF2为等腰三角形．又因为2－≤|PF2|≤2＋，|F1F2|＝2，所以满足|PF2|＝|F1F2|的点P有两个，同理满足|PF1|＝|F1F2|的点P有两个，所以选项B不正确；
若∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝12，又|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16，所以|PF1|·|PF2|＝，所以＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝，所以选项C正确；
对于选项D，|PF1|－|PF2|＝|PF1|－＝2|PF1|－4，分析可得|PF1|∈[2－，2＋]，所以|PF1|－|PF2|∈[－2，2]，所以选项D正确．故选ACD．]
5．已知P(x0，y0)是双曲线E：－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12＋2，则cos ∠F1PF2＝________，△PF1F2的面积为________．
[在双曲线E中，a＝2，b＝1，则c＝＝．
根据对称性，不妨设点P在双曲线E的右支上，则|PF1|－|PF2|＝4．
因为|F1F2|＝2c＝2，△PF1F2的周长为12＋2，所以|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF1|＝8，|PF2|＝4．
在△PF1F2中，cos ∠F1PF2＝＝，
则sin ∠F1PF2＝＝＝，
所以＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×8×4×＝．]
6．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能到达的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片到达的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为________米．
80 [以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py( p＞0)，
由题意得A(80，－40)，将其代入抛物线方程，得
6 400＝80p，解得p＝80，故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80米．]
基础考点2 圆锥曲线的几何性质
【典例2】 (1)(2024·山东潍坊三模)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P(x0，y0) 在C上，若∠F1PF2大于，则x0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px( p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为__________．
(1)D (2)x＝－ (3) [(1)因为椭圆C：＋＝1，所以a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，所以F1(－2，0)，F2(2，0)．
因为点P(x0，y0)在C上，所以＋＝1，
所以＝2－，－又＝＝(2－x0，－y0)，
所以·＝－4＝－2，
又＝
＝|x0＋3|＝(x0＋3)，
＝＝|3－x0|＝(3－x0)，
所以·＝·cos ∠F1PF2．
因为∠F1PF2大于，所以·cos ∠F1PF2<||·||cos ，
所以－2<(x0＋3)·(3－x0)·，
解得－所以x0的取值范围是.故选D．
(2)法一：(解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－．
法二：(应用射影定理法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－．
(3)法一：如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，则＝(x－c，y)，＝(－c，n)，
又＝－，
则
可得A．
因为⊥，且＝＝(c，n)，
则·＝c2－n2＝0，化简得n2＝4c2．
又点A在C上，
则－＝1，整理可得－＝1，
将n2＝4c2代入，可得－＝9，即25e2－＝9，
解得e2＝或e2＝(舍去)，故e＝．
法二：由＝－，得＝，
设||＝2t，||＝3t，由对称性可得||＝3t，
则||＝2t＋2a，||＝5t，
设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝＝，
所以cos θ＝＝，解得t＝a，
所以||＝2t＋2a＝4a，||＝2a，
在△AF1F2中，由余弦定理的推论可得cos θ＝＝，即5c2＝9a2，则e＝．]
1．确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键是充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e与其渐近线的斜率k满足关系式e2＝1＋k2．
3．涉及抛物线的焦半径、准线等问题时，可适当添加辅助线，借助几何图形求解．
1．(2024·重庆模拟)已知A，B是抛物线y2＝2px( p>0)上的不同两点，F是抛物线的焦点，且△OAB的重心恰为F，若|AF|＝5，则p＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F，
因为△OAB的重心恰为F，
所以
解得
由y1＝－y2可知A，B关于x轴对称，即x1＝x2，
则x1＋x2＝2x1＝，即x1＝，
又|AF|＝x1＋＝＝5，
解得p＝4．
故选D．]
2．(多选)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是( )
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为＋＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
ACD [圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，A正确；椭圆的短轴长2b＝2，b＝，则c＝＝，离心率e＝＝，B错误；若以椭圆的长轴所在的直线为x轴，椭圆的短轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则椭圆的方程为＋＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－，D正确．故选ACD．]
3．(多选)(2024·安徽十校联考)设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是( )
A．M的轨迹方程为－＝1
B．M的轨迹与椭圆＋＝1共焦点
C．2x－3y＝0是M的轨迹的一条渐近线
D．过点N(0，2)能作4条直线与M的轨迹有且只有一个公共点
BC [对于A，设点M(x，y)，x≠±3，则kMA＝，kMB＝，所以·＝，化简得－＝1，所以点M的轨迹方程为－＝1(x≠±3)，故A错误；
对于B，由A选项可知，点M的轨迹的焦点为，与椭圆＋＝1共焦点，故B正确；
对于C，点M的轨迹对应曲线－＝1(x≠±3)的渐近线为2x±3y＝0，故C正确；
对于D，点N(0，2)在y轴上，A(－3，0)，B(3，0)，则kAN＝，kNB＝－，
所以直线AN，NB与渐近线平行，但点A，B不在点M的轨迹上，
故过点N(0，2)只能作两条点M的轨迹的切线，如图所示，故D错误．故选BC．
]
4．[高考变式]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝2·＝0，则椭圆C的离心率为________．
[设|AF1|＝2m(m>0)，因为＝2，
所以|BF1|＝m.又因为·＝0，|F1F2|＝2c，
所以|AF2|＝＝2．
又因为|BF2|＝＝，且|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以2m＋2＝m＋，
所以m＋2＝，
所以m2＋4c2－4m2＋4m＝4c2＋5m2，
所以c2＝5m2，所以c＝m．
又因为2a＝2m＋2
＝6m，所以a＝3m，
所以e＝＝＝．]
【教师备选资源】
1．已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A． B．
C． D．
A [如图，设椭圆E的右焦点为F′，连接PF′，QF′，根据椭圆的对称性可知四边形PFQF′为平行四边形，则|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°，
所以|PF|＋|PF′|＝4|PF′|＝2a，则|PF′|＝a，|PF|＝a．
在△PFF′中，由余弦定理可得(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF||PF′|cos 60°＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF||PF′|，即4c2＝4a2－a2＝a2，∴椭圆E的离心率e＝＝＝，故选A．]
2．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则( )
A．∠AF1B＝∠F1AB
B．双曲线C的离心率e＝
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上
ABC [如图，设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，
则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，
由双曲线的定义知，|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，即m＝2a．
|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－2m＝2a，
∴|BF1|＝3m＝|AB|，∴∠AF1B＝∠F1AB，故A正确；
在△ABF1中，由余弦定理的推论知，
cos ∠AF1B＝＝＝，
在△AF1F2中，由余弦定理的推论知，
cos ∠F1AB＝＝＝cos ∠AF1B＝，
化简整理，得12c2＝11m2＝44a2，
∴离心率e＝＝＝，故B正确；
双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x＝±x，故C正确；
若原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上，则c＝m＝2a，与＝不符，故D错误．故选ABC．]
3．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
C [依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得＝a2－，则|PB|2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋b2＝－－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤，即C的离心率的取值范围是.故选C．
4．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如图1)；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出(如图2)．封闭曲线E(如图3)是由椭圆C1：＋＝1和双曲线C2：－＝1在y轴右侧的一部分(实线)围成．光线从椭圆C1上一点P0发出，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为________．
图1 图2 图3
4 [椭圆C1中，a1＝4，b1＝2，c＝2；双曲线C2中，a2＝3，b2＝，c＝2，双曲线和椭圆的焦点重合．
根据双曲线的定义有|P1F1|－|P1F2|＝6，|P3F1|－|P3F2|＝6，
所以|P1F1|－6＝|P1F2|，|P3F1|－6＝|P3F2|，
根据椭圆的定义，有|P1F1|＋|P1P2|＋|P2F2|＝8，|P3F1|＋|P3P0|＋|P0F2|＝8，
所以路程|P0F2|＋|P1F2|＋|P1P2|＋|P2F2|＋|P3F2|＋|P3P0|
＝|P0F2|＋|P1F1|－6＋|P1P2|＋|P2F2|＋|P3F1|－6＋|P3P0|
＝＋(|P3F1|＋|P3P0|＋|P0F2|)－12＝8＋8－12＝4．]
专题限时集训(十九) 圆锥曲线的定义、方程及性质
一、单项选择题
1．(2024·山东济南二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，该抛物线上一点P到x＝－2的距离为4，则|PF|＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由题意可知，抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，
设P(x0，y0)，x0≥0，则x0＋2＝4，解得x0＝2，
所以|PF|＝x0＋1＝3.故选C．]
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝( )
A． B．
C． D．
A [由已知得e1＝，e2＝，
因为e2＝e1，所以＝×，解得a＝，故选A．]
3．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
C [设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝＝2．
故选C．]
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且双曲线过点，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．y2－＝1 D．x2－＝1
A [由双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
因为双曲线过点，
所以－＝λ，即λ＝1，
则双曲线方程为－＝1.故选A．]
5．(2024·河北石家庄二模)过椭圆C：＋＝1的中心作直线l交椭圆于P，Q两点，F是C的一个焦点，则△PFQ周长的最小值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
B [如图，设椭圆C的另一个焦点为F′，根据椭圆的对称性知|PF|＝|QF′|，
所以△PFQ的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|QF|＋|PQ|＝8＋|PQ|，
当线段PQ为椭圆短轴时，|PQ|有最小值6，所以△PFQ的周长的最小值为14.故选B．]
6．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则·的取值范围为( )
A．[－16，0] B．[－8，0]
C．[0，8] D．[0，16]
D [法一：由题意知A(－4，0)，F(2，0)．设M(x0，y0)，则·＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)
＝＝＋2x0－8＋12－
＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2．
因为＋＝1，所以＝1－≤1，
所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16．
法二：由题意知A(－4，0)，F(2，0)．设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1，0)，连接MN(如图)．
则·＝
＝＝－9＝－9
＝＋2x0＋1＋12－－9＝＋2x0＋4
＝(x0＋4)2．
因为＋＝1，所以＝1－≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16.故选D．]
7．(2024·湖南常德一模)已知抛物线方程为y2＝16x，焦点为F.圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1，设P为抛物线上的点， Q为圆上的一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
C [由抛物线方程为y2＝16x，得焦点F(4，0)，准线方程为x＝－4，过点P作准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，所以|PF|＝|PN|，
所以|PF|＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|≥|QN|，当Q点固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，
又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1得圆心M(5，1)，半径r＝1，所以|QN|min＝|MN|－r＝8．
故选C．]
二、多项选择题
8．已知定圆M：(x－1)2＋y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
ABD [因为Q是线段PA的中垂线上的点，所以|QA|＝|PQ|，
①若A在圆M内部，且不为圆心，则|MA|<4，|QM|＋|QA|＝|QM|＋|QP|＝4，
所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，故A正确；
②若A在圆M外部，则||QA|－|QM||＝||PQ|－|QM||＝|PM|＝4，|MA|>4，
所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，故B正确；
③若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q点的轨迹为点M．
若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，所以Q点的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，故D正确，不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误．
故选ABD．]
9．(教材改编)已知曲线C：＋＝1(λ>0)，则( )
A．当λ＝3时，C是圆
B．当λ＝2时，C是椭圆且其中一个焦点为(2，0)
C．当λ＝4时，C是椭圆且焦距为2
D．当0<λ<3时，C是焦点在y轴上的椭圆
AC [对于A项，当λ＝3时，曲线C：x2＋y2＝6是圆，A正确；
对于B项，当λ＝2时，曲线C：＋x2＝1是焦点在y轴上的椭圆，B错误；
对于C项，当λ＝4时，曲线C：＋＝1是椭圆，且c2＝13－7＝6，所以2c＝2，故C正确；
对于D项，当λ＝1时，曲线C不是椭圆，故D错误．
故选AC．]
10．已知椭圆C：＋＝1，F1，F2为C的左、右焦点，P为C上一点，且PF1⊥F1F2，若PF2交C于点Q，则( )
A．△PF1Q的周长为8
B．∠F1PF2<
C．△QF1F2的面积为
D．|F1Q|＝
AD [由题意，在椭圆C：＋＝1中，
a＝2，b＝c＝，△PF1Q的周长为4a＝8，A正确；
不妨设P在x轴上方，如图，则P(－，1)，|PF1|＝1，|PF2|＝2a－|PF1|＝3，
所以在Rt△PF1F2中，cos ∠F1PF2＝<，
所以∠F1PF2>，B错误；
设|F2Q|＝m，|F1Q|＝4－m，在△PF1Q中－2|F1P||PQ|cos ∠F1PF2＝|F1Q|2，
即1＋(m＋3)2－2×1×(m＋3)×＝(4－m)2，解得m＝，
所以|F1Q|＝，D正确；
因为|F2Q|＝|PF2|，
所以＝＝××2×1＝，
C错误．故选AD．]
11．(2024·山西晋中模拟)已知抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)为抛物线C上的任意三点(异于坐标原点O)，＝0，且|FA|＋|FB|＋|FD|＝6，则下列说法正确的有( )
A．p＝4
B．若FA⊥FB，则|FD|＝|AB|
C．设A，B到直线x＝－1的距离分别为d1，d2，则d1＋d2<|AB|
D．若直线AB，AD，BD的斜率分别为kAB，kAD，kBD，则＋＋＝0
BD [对于A，因为A，B，D为抛物线上任意三点，且＝0，
所以F为△ABD的重心，且F，
所以x1＋x2＋x3＝，y1＋y2＋y3＝0．
又|FA|＋|FB|＋|FD|＝x1＋x2＋x3＋＝6，即p＝2，故A错误；
对于B，延长DF交AB于点E，
因为F为△ABD的重心，所以|FD|＝2|FE|，且E是AB的中点，
因为FA⊥FB，在Rt△FAB中，有|AB|＝2|FE|，所以|FD|＝|AB|，故B正确；
对于C，抛物线方程为y2＝4x，所以抛物线的准线方程为x＝－1，
所以点A，B到直线x＝－1的距离之和d1＋d2＝|FA|＋|FB|，
因为F，A，B三点不一定共线，所以|FA|＋|FB|≥|AB|，
即d1＋d2≥|AB|，故C错误；
对于D，因为＝＝4x2，
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
所以kAB＝＝，
同理可得kBD＝，kAD＝，
所以＋＋＝＝0，故D正确．
故选BD．]
三、填空题
12．(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
x2＝12y [由题意设直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，
设圆M的半径为r，则点M到l′：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
13．已知点M在抛物线C：y2＝2px( p>0)上，过M作C的准线的垂线，垂足为H，F为C的焦点．若∠HMF＝60°，点M的横坐标为1，则p＝________．
[由题意知，∠HMF＝60°，|HM|＝|MF|，所以△MHF为等边三角形，又点M的横坐标为1，所以|HF|＝|MH|＝1＋，又|HF|＝2p＝1＋，所以p＝．]
14．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1，得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5，得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
23 / 23
