高考热点集训(五) 解析几何
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(教材改编)已知直线l的一个方向向量为a＝(3，－2)，则直线l的斜率为( )
A．－ B．－
C． D．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若△F1PF2是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．(2024·河南名校联盟模拟)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点，点M(x0，2)在C上，且|MF|＝2|OF|，则C的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝3x
C．y2＝2x D．y2＝x
4．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0)
C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0)
5．(2024·四川成都模拟预测)已知命题p：k<1，命题q：直线kx－y＋1＝0与抛物线y＝x2有两个公共点，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无公共点，则双曲线的离心率的最大值是( )
A． B．2
C．＋1 D．
7．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B．
C． D．
8．(2024·九省联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·山东青岛三模)已知动点M，N 分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则( )
A．圆C2的半径为3
B．圆C1和圆C2相离
C．|PM|＋|PN|的最小值为2
D．过点P作圆C1的切线，则切线长最短为
10．(2024·山东潍坊二模)已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则( )
A．C的焦距为2
B．C的离心率为
C．△F1PF2的周长为3＋
D．△F1PF2面积的最大值为2
11．(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝，则四边形PF1QF2的面积为________．
13．已知直线l1：kx－y＝0过定点A，直线l2：x＋ky－＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为________．
14．如图，已知抛物线y2＝2px( p>0)，P(2，1)为抛物线内一点，不经过P点的直线l：y＝2x＋m与抛物线相交于A，B两点，连接AP，BP并延长分别交抛物线于C，D两点，若对任意直线l，总存在λ，使得＝λ＝λ(λ>0，λ≠1)成立，则该抛物线的方程为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)设双曲线C：x2－＝1，正项数列{xn}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有(xn，xn－1)是C上的点．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)记Sn＝＋＋…＋，是否存在正整数m，使得－＝1与双曲线C有相同的渐近线？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
16．(15分)(2024·江苏南通模拟)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，且△AF1F2的周长是4＋2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当|AB|＝|DE|时，求△ODE的面积．
17．(15分)(2024·广东广州模拟)已知椭圆C：＋＝1(0(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点D(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，点A(－2，－1)，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求证：线段PQ的中点为定点．
18．(17分)在平面直角坐标系中，已知点P到点F(，0)的距离与到直线x＝2的距离之比为．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过点(0，1)且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求的取值范围．
19．(17分)(2024·湖北武汉二模)已知点P是圆E：(x－1)2＋y2＝16上的动点，F(－1，0)，M是线段EP上一点，且|PM|＝|MF|，设点M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)设不过原点的直线l与C交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率的乘积为－，平面上一点D满足＝，连接BD交C于点N(点N在线段BD上且不与端点重合)．试问△NAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由．
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(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(教材改编)已知直线l的一个方向向量为a＝(3，－2)，则直线l的斜率为( )
A．－ B．－
C． D．
B [因为直线l的一个方向向量为a＝(3，－2)，所以直线l的斜率为－．故选B．]
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C与y轴的交点，若△F1PF2是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [如图，因为△F1PF2是钝角三角形，所以∠OPF2∈，
所以sin ∠OPF2∈，即∈，
则椭圆C的离心率的取值范围是.故选D．]
3．(2024·河南名校联盟模拟)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点，点M(x0，2)在C上，且|MF|＝2|OF|，则C的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝3x
C．y2＝2x D．y2＝x
A [由抛物线的定义，可知|MF|＝x0＋，
又2|OF|＝2×＝p，|MF|＝2|OF|，
所以x0＋＝p，得x0＝．由点M在C上，得22＝2p×，结合p>0，解得p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.故选A．]
4．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0)
C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0)
A [设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＋＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＋＝1(y>0)．
故选A．]
5．(2024·四川成都模拟预测)已知命题p：k<1，命题q：直线kx－y＋1＝0与抛物线y＝x2有两个公共点，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由题意，联立可得消去y，整理可得x2－kx－1＝0，
则Δ＝k2＋4>0恒成立，则直线kx－y＋1＝0与抛物线y＝x2必定有两个交点，
则p q显然成立，q p不成立．故选A．]
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无公共点，则双曲线的离心率的最大值是( )
A． B．2
C．＋1 D．
D [双曲线的渐近线方程为y＝±x，若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无公共点，则应有0<≤2，所以离心率e＝＝≤．
故选D．]
7．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B．
C． D．
B [圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，设圆心为C，半径为r，则C(2，0)，r＝．
设P(0，－2)，切线为PA，PB，则|PC|＝＝2，
在Rt△PAC中，sin ＝＝，所以cos ＝＝，
所以sin α＝2sin cos ＝2××＝．
故选B．]
8．(2024·九省联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
D [由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，则四边形AF1BF2为平行四边形．
令|F1A|＝|F2B|＝m，则|F1B|＝|F2A|＝2m，
由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，
·＝·cos ∠AF2B＝2a·4a cos ∠AF2B＝4a2，
则cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
则有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即－＝－，则e2＝7，由e>1，得e＝．故选D．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·山东青岛三模)已知动点M，N 分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则( )
A．圆C2的半径为3
B．圆C1和圆C2相离
C．|PM|＋|PN|的最小值为2
D．过点P作圆C1的切线，则切线长最短为
BD [圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝．
对于A，圆C2的半径为，A错误；
对于B，|C1C2|＝2>1＋，圆C1和圆C2相离，B正确；
对于C，圆C1关于x轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)，连接C0C2交x轴于点P1，连接P1C1，
由圆的性质得，|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－＝|PC0|＋|PC2|－1－
≥|C0C2|－1－＝2－1－，当且仅当点P与P1重合，且M，N是线段P1C1，P1C2分别与圆C1和圆C2的交点时取等号，C错误；
对于D，设点P(t，0)，过点P的圆C1的切线长|PA|＝＝≥，
当且仅当t＝1，即P(1，0)时取等号，D正确．故选BD．]
10．(2024·山东潍坊二模)已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则( )
A．C的焦距为2
B．C的离心率为
C．△F1PF2的周长为3＋
D．△F1PF2面积的最大值为2
ABD [设椭圆C：＋＝1的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则a2＝9，b2＝4，c2＝9－4＝5，故a＝3，b＝2，c＝，
所以C的焦距为2，故A正确；
C的离心率为＝，故B正确；
△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋＝2a＋2c＝6＋2，故C错误；
对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，△F1PF2的面积最大，
最大值为×2×2＝2，故D正确．
故选ABD．]
11．(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
AC [对于A，直线y＝－(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点为F(1，0)，所以＝1，即p＝2，则A正确，且抛物线C的方程为y2＝4x；
对于B，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，由 消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，Δ＞0，即(x－3)(3x－1)＝0，
解得x1＝3，x2＝，
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，则B错误；
因为MN的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为1＋＝，
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
又M，N，
所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，|MN|＝，
所以△OMN不是等腰三角形，所以D错误．故选AC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝，则四边形PF1QF2的面积为________．
8 [因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，
且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝8，m2＋n2＝48，
所以64＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn，
mn＝8，即四边形PF1QF2的面积等于8．]
13．已知直线l1：kx－y＝0过定点A，直线l2：x＋ky－＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为________．
2 [直线l1：kx－y＝0过定点A(0，0)，
直线l2：x＋ky－＋2k＝0，即x－＋k(2＋y)＝0，则可得x＝，y＝－2，故过定点B(，－2)．直线l1：kx－y＝0与直线l2：x＋ky－＋2k＝0中，∵k×1＋(－1)×k＝0，∴l1⊥l2．
∵l1与l2的交点为C，
∴|CA|2＋|CB|2＝|AB|2＝6，
∴＝≤(|CA|2＋|CB|2)＝3，
∴≤，
∴|CA|＋|CB|≤2，当且仅当|CA|＝|CB|＝时，|CA|＋|CB|的最大值为2．]
14．如图，已知抛物线y2＝2px( p>0)，P(2，1)为抛物线内一点，不经过P点的直线l：y＝2x＋m与抛物线相交于A，B两点，连接AP，BP并延长分别交抛物线于C，D两点，若对任意直线l，总存在λ，使得＝λ＝λ(λ>0，λ≠1)成立，则该抛物线的方程为________．
y2＝4x [由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，C(x3，y3)，D(x4，y4)，x3≠x4，由＝λ可得(2－x1，1－y1)＝λ(x3－2，y3－1)，
所以
同理可得
则(*)
将A，B两点的坐标代入抛物线方程得＝＝2px2，
作差可得(y1＋y2)＝2p，而＝2，
即y1＋y2＝p，
同理可得y3＋y4＝p，代入(*)，
可得p＝2，此时抛物线的方程为y2＝4x．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)设双曲线C：x2－＝1，正项数列{xn}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有(xn，xn－1)是C上的点．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)记Sn＝＋＋…＋，是否存在正整数m，使得－＝1与双曲线C有相同的渐近线？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题知－＝1，
即＝1，n≥2，n∈N*，故}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故＝n，又xn>0，于是xn＝．
(2)由＝＝－，得
Sn＝＋＋…＋
＝＋…＋＝－1，
双曲线C的渐近线方程为y＝±x，－＝1的渐近线方程为y＝±x，故＝3，
即Sm＝－1＝99，故m＝9 999．
16．(15分)(2024·江苏南通模拟)在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，且△AF1F2的周长是4＋2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当|AB|＝|DE|时，求△ODE的面积．
[解] (1)由题意知，
解得a＝2，b＝1，c＝．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)若直线l1的斜率不存在，则直线l2的斜率为0，不满足|AB|＝|DE|，
若直线l1的斜率为0，则A，F1，F2三点共线，不合题意，
所以直线l1的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为x＝my＋．
由消去x，得y2＋y－＝0，Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|AB|＝＝·＝．
同理可得|DE|＝＝．
由|AB|＝|DE|，得＝·，
解得m2＝2，则|DE|＝，
所以直线l2的方程为y＝±，
所以坐标原点O到直线l2的距离为d＝＝，S△ODE＝××＝．
即△ODE的面积为．
17．(15分)(2024·广东广州模拟)已知椭圆C：＋＝1(0(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点D(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，点A(－2，－1)，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求证：线段PQ的中点为定点．
[解] (1)由题可得a2＝8，E(a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，
∴EB1的中点为G．
∵·＝(－a，b)·＝－＝1，∴b2＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1．
(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，
由 消去y并化简，得(1＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－8＝0，
由Δ＝1 024k4－4(1＋4k2)(64k2－8)>0，解得－设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
则xM＋xN＝－，xMxN＝，
依题意可知直线MA，NA的斜率存在，
可得直线MA的方程为y＋1＝(x＋2)，
令x＝－4，得yP＝
＝
＝
＝
＝－2k－1－，
同理可求得yQ＝－2k－1－，
∴yP＋yQ＝－4k－2－－＝－4k－2－(4k＋2)
＝－4k－2－(4k＋2)·
＝－4k－2－(4k＋2)·
＝－4k－2＋(4k＋2)＝0，
∴线段PQ的中点为定点(－4，0)．
18．(17分)在平面直角坐标系中，已知点P到点F(，0)的距离与到直线x＝2的距离之比为．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过点(0，1)且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求的取值范围．
[解] (1)设P(x，y)，由题意知＝，
因为|PF|＝，
所以＝，
即＝|x－2|，
两边平方并整理得＋＝1，
故点P的轨迹C的方程为＋＝1．
(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，
联立消去y并整理，
得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，显然Δ＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，
可得线段AB的中点坐标为，
所以线段AB中垂线的方程为
y－＝－，
令y＝0，可得N，
对于直线y＝kx＋1，令y＝0，可得M，
所以|MN|＝＝．
又|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝，
所以＝
＝2，
令t＝k2＋1∈，
则y＝8(k2＋1)＋－14＝8t＋－14，
因为y＝8t＋－14在上单调递增，
所以∈，
故的取值范围为．
19．(17分)(2024·湖北武汉二模)已知点P是圆E：(x－1)2＋y2＝16上的动点，F(－1，0)，M是线段EP上一点，且|PM|＝|MF|，设点M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)设不过原点的直线l与C交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率的乘积为－，平面上一点D满足＝，连接BD交C于点N(点N在线段BD上且不与端点重合)．试问△NAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由．
[解] (1)因为|ME|＋|MF|＝|ME|＋|PM|＝|EP|＝4>|EF|＝2，
所以点M的轨迹是以点E，F为焦点的椭圆，
设C：＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，即a＝2．
由c＝1知b＝＝，
所以点M的轨迹C的方程为＋＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由＝，得D(2x1，2y1)．
因为点A，B均在曲线C上，所以
相乘得＋＋＝1，
整理得＋＝1，
又因为kOAkOB＝＝－，所以＋＝0，
所以|x1y2－x2y1|＝2．
所以S△AOB＝＝×2＝．
设＝λ，则
又因为点N在曲线C上，
所以＋＝1，
整理得4λ2＋4λ(1－λ)＋(1－λ)2＝1，
又因为＋＝1，＋＝0，＋＝1，
代入上式得4λ2＋(1－λ)2＝1，即5λ2－2λ＝0，
又因为λ>0，所以λ＝，
所以S△NAB＝S△DAB＝S△OAB＝．
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