重点培优练8 隐圆问题
隐圆问题在近几年高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”．
1．设定点M和N，动点为H，若·＝2，则动点H的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
2．(2024·河北邯郸二模)由动点P向圆M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若四边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为( )
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝2
C．(x－2)2＋(y－3)2＝4
D．(x－2)2＋(y－3)2＝2
3．(2024·山东济南二模)已知圆C：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆C上有且仅有一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值为( )
A．2或4 B．2或3
C．4或5 D．3或5
4．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最小值为( )
A．36－24 B．48－24
C．36 D．24
5．已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则||的最大值为( )
A．8 B．12
C．6 D．9
6．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知O(0，0)，A(2，0)，点P满足＝，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是( )
A．圆C的方程是(x＋2)2＋y2＝9
B．过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
C．圆C与圆(x－1)2＋(y－4)2＝8有四条公切线
D．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，该直线斜率为±
7．(2024·广东茂名一模)动点P与两个定点O(0，0)，A(0，3)满足|PA|＝2|PO|，则点P到直线l：mx－y＋4－3m＝0的距离的最大值为________．
8．(2024·浙江杭州模拟)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．
9．(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系Oxy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
1 / 2重点培优练8 隐圆问题
隐圆问题在近几年高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”．
1．设定点M和N，动点为H，若·＝2，则动点H的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
B [设|MN|＝2c，以线段MN的中点O为平面直角坐标系原点，MN所在直线为x轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则M(－c，0)，N(c，0)，
设H(x，y)，则·＝(x＋c，y)·(x－c，y)＝x2－c2＋y2＝2，
即x2＋y2＝2＋c2，所以动点H的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆．故选B．]
2．(2024·河北邯郸二模)由动点P向圆M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若四边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为( )
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝2
C．(x－2)2＋(y－3)2＝4
D．(x－2)2＋(y－3)2＝2
B [因为四边形APBM为正方形，且|MA|＝|MB|＝1，所以|MP|＝，
故动点P的轨迹是以M为圆心，为半径的圆，其方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝2.故选B．]
3．(2024·山东济南二模)已知圆C：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆C上有且仅有一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值为( )
A．2或4 B．2或3
C．4或5 D．3或5
D [由题意可知，圆C：x2＋y2＝1的圆心为C(0，0)，半径r＝1，且a>0，
因为PA⊥PB，可知点P的轨迹为以线段AB的中点M(4，0)为圆心，半径R＝a的圆，
又因为点P在圆C：x2＋y2＝1上，
可知圆C与圆M有且仅有一个公共点，则|CM|＝r＋R或|CM|＝|r－R|，
即4＝1＋a或4＝|1－a|，解得a＝3或a＝5.故选D．]
4．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最小值为( )
A．36－24 B．48－24
C．36 D．24
A [以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)，
设P(x，y)，因为＝，所以＝，
两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8，
所以点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆，
则|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2，
因为x2＋y2－6x＋1＝0，所以|PA|2＋|PB|2＝2(6x－1)＋2＝12x，
由y2＝8－(x－3)2≥0，得3－2≤x≤3＋2，
所以36－24≤12x≤36＋24，
由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24．
故选A．]
5．已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则||的最大值为( )
A．8 B．12
C．6 D．9
B [由题意知，M(4，0)，圆M的半径为4，设AB的中点D(x，y)，则ND⊥MD，即·＝0，
又＝(x－2，y)，＝(x－4，y)，
所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即点D的轨迹方程为E：(x－3)2＋y2＝1，圆心E(3，0)，半径为1，
所以|PD|的最大值为|PE|＋1＝＋1＝6，
因为||＝2||，所以||的最大值为12.故选B．]
6．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知O(0，0)，A(2，0)，点P满足＝，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是( )
A．圆C的方程是(x＋2)2＋y2＝9
B．过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
C．圆C与圆(x－1)2＋(y－4)2＝8有四条公切线
D．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，该直线斜率为±
BD [对于A选项，设P(x，y)，由＝可得＝，即(x－2)2＋y2＝2x2＋2y2，
化简可得(x＋2)2＋y2＝8，故A错误；
对于B选项，过点A且斜率为的直线方程为y＝(x－2)，即x－2y－2＝0，则圆(x＋2)2＋y2＝8的圆心(－2，0)到x－2y－2＝0的距离为＝，故所求弦长为2＝2＝，故B正确；
对于C选项，圆C的圆心到(x－1)2＋(y－4)2＝8的圆心(1，4)的距离为＝5，又两圆的半径和为2＋2＝4>5，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；
对于D选项，当直线l斜率为0时，圆C上有四个点到直线l的距离为，不合题意．设直线l：x＝ty＋2，则由题意知C到l的距离等于2－＝，即＝，解得t＝±，故直线斜率为＝±，故D正确．故选BD．]
7．(2024·广东茂名一模)动点P与两个定点O(0，0)，A(0，3)满足|PA|＝2|PO|，则点P到直线l：mx－y＋4－3m＝0的距离的最大值为________．
2＋ [设P(x，y)，则＝2，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，
所以点P的轨迹是圆心为(0，－1)，半径为2的圆，
又直线l：mx－y＋4－3m＝0可化为m(x－3)－(y－4)＝0，易知过定点(3，4)，由32＋(4＋1)2>4，故点(3，4)在圆x2＋(y＋1)2＝4外，则圆心到定点所在直线与直线l垂直，圆心与直线l距离最大，所以点P到直线l距离的最大值为＋2＝2＋．]
8．(2024·浙江杭州模拟)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．
[以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则A，B，C，设P(x，y)，
由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，
因此，点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆，
|PA|的最大值等于|MA|＋r＝＋＝．]
9．(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系Oxy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
[解] (1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由得x2－2k1x－－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知≠0，
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
则|TA|·|TB|＝＝
＝＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以＝，即＝，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
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