解答函数与导数综合问题
阅卷案例 四字解题
(2024·新高考Ⅱ卷T16，15分)已知函数f (x)＝ex－ax－a3． (1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 读 求切线方程 极小值小于0
想 导数的几何意义 极值的求法
算 f ′(1)，f (1) 求f (x)极小值
思 方程思想 分类讨论；转化与化归
规范解答 满分心得
[解] (1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1，f ′(x)＝ex－1，1分 可得f (1)＝e－2，f ′(1)＝e－1，·········2分 即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，···3分 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0.··············4分 (2)因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a，····5分 若a≤0，则f ′(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f (x)在R上单调递增，无极值，不合题意；··7分 若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a，········8分 令f ′(x)<0，解得x0， ······················11分 构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g′(a)＝2a＋>0， ···················12分 可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，··13分 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1.·14分 所以a的取值范围为(1，＋∞)．·········15分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，讨论f (x)的单调性时，务必要讨论a≤0的情况，无讨论，扣2分． 得关键分：如第(2)问，只要转化出“a2＋ln a－1>0”，就得1分，构建g(a)＝a2＋ln a－1，并正确求导再得1分． 得计算分： 如第(1)问，计算准确是得满分的保证． 学会思考、明确求导的目的，同时注意函数、导数、不等式间的内在联系是攻克导数问题的根本．
§1 函数的图象与性质
【备考指南】 分段函数、函数图象的识别与应用一般处于试卷的选择题位置；函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用是新高考的核心命题点，常与导数、不等式、创新性问题结合命题，一般处于试卷的多选题位置．备考时要特别注意与抽象函数相关的函数性质问题.
基础考点1 函数的表示
【典例1】 (1)(2024·重庆模拟)函数f (x)＝＋的定义域是( )
A．[1，4] B．[1，4)
C．[1，＋∞) D．[2，4)
(2)已知实数a≠1，函数f (x)＝ 若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为( )
A． B．－
C． D．－
(3)(多选)(2024·福建龙岩模拟)已知函数 f (＋1)＝x＋2， 则( )
A．f (x)＝x2－1(x∈R)
B．f (x)的最小值为－1
C．f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)
D．f 的值域为[0，＋∞)
[听课记录]
1．研究函数务必遵循“定义域优先”的原则．
2．形如f (g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
3．对于分段函数，要秉承“分段处理”的原则．
1．(2024·湖南长沙模拟)设f (x)＝ 则f (9)的值为( )
A．9 B．11
C．28 D．14
2．(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0，1]交汇函数”的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝1－x2 D．y＝
3．已知f (x)＝满足f (a)＜f (－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，0)∪(0，2) D．(－2，0)∪(2，＋∞)
4．(2024·浙江温州三模)定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足：f (xy)＝f (x)＋f (y)－1，f (4)＝2，则f ＝________．
基础考点2 函数的图象及应用
【典例2】 (1)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为( )
A B
C D
(2)(2023·天津高考)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝
B．f (x)＝
C．f (x)＝
D．f (x)＝
(3)(2019·全国Ⅱ卷)设函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋1)＝2f (x)，且当x∈(0，1]时，f (x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f (x)≥－，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
函数图象的识别及应用
(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如周期性、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．
1．[高考变式]定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，且当x∈[0，1)时，f (x)＝1－|2x－1|，当x∈时，y＝f (x)的值域为( )
A． B．[0，1]
C． D．
2．若函数y＝f (x)的图象如图所示，则函数y＝－f (x＋1)的图象大致为( )
A B
C D
3．已知函数f (x)＝若存在x1，x2，x3(x1A．(0，1] B．[0，1]
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
能力考点 函数的性质及应用
【典例3】 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (2x＋1)为奇函数，则( )
A．f ＝0 B．f (－1)＝0
C．f (2)＝0 D．f (4)＝0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则＝( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
[听课记录]
函数的奇偶性、单调性、周期性及对称性
(1)奇偶性：若函数的定义域关于原点对称，则f (x)是偶函数 f (－x)＝f (x)＝f (|x|)，f (x)是奇函数 f (－x)＝－f (x)．研究具有奇偶性的函数问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上．
(2)单调性：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将符号“f ”脱掉，使抽象函数转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)函数的对称性与周期性间的内在联系
①若定义在R上的函数f (x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则f (x)的一个周期为T＝2|b－a|．
②若定义在R上的函数f (x)的图象关于点(a，0)，(b，0)对称，则f (x)的一个周期为T＝2|b－a|．
③若定义在R上的函数f (x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则f (x)的一个周期为T＝4|b－a|．
1．已知函数f (x)同时满足性质：①f (－x)＝－f (x)；② x1，x2∈(0，1)，>0，则函数f (x)可能是( )
A．f (x)＝ex－e－x B．f (x)＝
C．f (x)＝sin 4x D．f (x)＝x2
2．已知函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)>0的解集为( )
A．(－2，4] B．(－3，5]
C． D．(－2，2]
3．(多选)(2023·四省联考)已知f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则( )
A．f ( f (1))B．f (g(1))C．g( f (1))D．g(g(1))4．[高考变式]已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，满足f －f ＝2x，记g(x)＝f ′(x)，其导函数为g′(x)，且g′(3－x)的图象关于原点对称，则g′(9)＋g＝( )
A．0 B．3
C．4 D．1
1 / 1解答函数与导数综合问题
阅卷案例 四字解题
(2024·新高考Ⅱ卷T16，15分)已知函数f (x)＝ex－ax－a3． (1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 读 求切线方程 极小值小于0
想 导数的几何意义 极值的求法
算 f ′(1)，f (1) 求f (x)极小值
思 方程思想 分类讨论；转化与化归
规范解答 满分心得
[解] (1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1，f ′(x)＝ex－1，·1分 可得f (1)＝e－2，f ′(1)＝e－1，·········2分 即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，···3分 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0.··············4分 (2)因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a，····5分 若a≤0，则f ′(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f (x)在R上单调递增，无极值，不合题意；··7分 若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a，········8分 令f ′(x)<0，解得x0， ······················11分 构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g′(a)＝2a＋>0， ···················12分 可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，··13分 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1.·14分 所以a的取值范围为(1，＋∞)．·········15分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，讨论f (x)的单调性时，务必要讨论a≤0的情况，无讨论，扣2分． 得关键分：如第(2)问，只要转化出“a2＋ln a－1>0”，就得1分，构建g(a)＝a2＋ln a－1，并正确求导再得1分． 得计算分： 如第(1)问，计算准确是得满分的保证． 学会思考、明确求导的目的，同时注意函数、导数、不等式间的内在联系是攻克导数问题的根本．
§1 函数的图象与性质
【备考指南】 分段函数、函数图象的识别与应用一般处于试卷的选择题位置；函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用是新高考的核心命题点，常与导数、不等式、创新性问题结合命题，一般处于试卷的多选题位置．备考时要特别注意与抽象函数相关的函数性质问题.
基础考点1 函数的表示
【典例1】 (1)(2024·重庆模拟)函数f (x)＝＋的定义域是( )
A．[1，4] B．[1，4)
C．[1，＋∞) D．[2，4)
(2)已知实数a≠1，函数f (x)＝ 若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为( )
A． B．－
C． D．－
(3)(多选)(2024·福建龙岩模拟)已知函数 f (＋1)＝x＋2， 则( )
A．f (x)＝x2－1(x∈R)
B．f (x)的最小值为－1
C．f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)
D．f 的值域为[0，＋∞)
(1)B (2)A (3)CD [(1)由题意知函数f (x)＝＋要有意义，需满足解得1≤x<4，故f (x)＝＋的定义域为[1，4)．故选B．
(2)由题意，函数f (x)＝
当a<1时，由f (1－a)＝f (a－1)可得41-a＝21，即22-2a＝21，解得a＝；
当a>1时，由f (1－a)＝f (a－1)可得4a-1＝2a－(1-a)，即22a-2＝22a-1，此时方程无解，
综上可得，实数a的值为．故选A．
(3)依题意，f (＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1，则f (x)＝x2－1，x≥1，A错误；
当x≥1时，f (x)≥0，当且仅当x＝1时取等号，B错误；
在f (2x－3)中，2x－3≥1，解得x≥2，因此f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)，C正确；
显然f ＝－1，01．研究函数务必遵循“定义域优先”的原则．
2．形如f (g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
3．对于分段函数，要秉承“分段处理”的原则．
1．(2024·湖南长沙模拟)设f (x)＝ 则f (9)的值为( )
A．9 B．11
C．28 D．14
B [ f (9)＝f ( f (14))＝f (2×14－15)＝f (13)＝2×13－15＝11.故选B．]
2．(多选)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0，1]交汇函数”的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝1－x2 D．y＝
BD [由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0，1].A选项，y＝的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，A选项错误；B选项，y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，1]，B选项正确；C选项，y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，C选项错误；
D选项，y＝的定义域A＝[－1，1]，值域B＝[0，1]，则A∩B＝[0，1]，D选项正确．
故选BD．]
3．已知f (x)＝满足f (a)＜f (－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，0)∪(0，2) D．(－2，0)∪(2，＋∞)
D [当a＜0时，f (a)＝a2＋2a，f (－a)＝－a2－2a，所以f (a)＜f (－a) a2＋2a＜－a2－2a，即a2＋2a＜0，解得－2＜a＜0；
当a＞0时，f (a)＝－a2＋2a，f (－a)＝a2－2a，
所以f (a)＜f (－a) －a2＋2a＜a2－2a，
即a2－2a＞0，解得a＞2．
所以，实数a的取值范围是(－2，0)∪(2，＋∞)．故选D．]
4．(2024·浙江温州三模)定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足：f (xy)＝f (x)＋f (y)－1，f (4)＝2，则f ＝________．
[令x＝y＝2，得f (2×2)＝f (2)＋f (2)－1，所以由f (4)＝2，得f (2)＝；
令x＝2，y＝1，得f (2×1)＝f (2)＋f (1)－1，所以f (1)＝1；
令x＝2，y＝，得f ＝f (2)＋f －1，所以f ＝．]
【教师备选资源】
1．(2024·陕西西安模拟)函数f (x)＝＋的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
D [函数f (x)＝＋的定义域为[0，1]，
令a＝，b＝，则a2＋＝1，
设a＝sin θ，b＝cos θ，可得a＋b＝2sin，当θ＝时，a＋b有最大值为2，所以函数f (x)＝＋的最大值为2.故选D．]
2．(2024·山东济南一模)已知集合A＝，函数f (x)＝x2－1.若函数g(x)满足：对任意u(x)∈A，存在λ，μ∈R，使得u(x)＝λf (x)＋μg(x)，则g(x)的解析式可以是________．(写出一个满足条件的函数解析式即可)
g(x)＝x－1(满足g(1)＝0，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确) [∵u(x)＝ax2－(a＋b)x＋b，f (x)＝x2－1，
∴u(1)＝a－(a＋b)＋b＝0，f (1)＝0，
∵u(x)＝λf (x)＋μg(x)，∴u(1)＝λf (1)＋μg(1) μg(1)＝0，
易知μ≠0，∴g(1)＝0，则g(x)的解析式可以为g(x)＝x－1．
经检验，g(x)＝x－1满足题意．]
基础考点2 函数的图象及应用
【典例2】 (1)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为( )
A B
C D
(2)(2023·天津高考)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝
B．f (x)＝
C．f (x)＝
D．f (x)＝
(3)(2019·全国Ⅱ卷)设函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋1)＝2f (x)，且当x∈(0，1]时，f (x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f (x)≥－，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(1)B (2)D (3)B [(1)f (－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f (x)，又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，可排除A，C；
又f (1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1－>－>0，
故可排除D．
故选B．
(2)由题图可知，f (x)的图象关于y轴对称，为偶函数，故A，B错误，
当x>0时，恒大于0，与图象不符合，故C错误．故选D．
(3)∵f (x＋1)＝2f (x)，
∴f (x)＝2f (x－1)．
当x∈(0，1]时，f (x)＝x(x－1)∈；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，
f (x)＝2f (x－1)＝2(x－1)(x－2)∈；
当x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，
f (x)＝2f (x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1，0]．
如图．
当x∈(2，3]时，由4(x－2)(x－3)＝－．
解得x1＝，x2＝．
若对任意x∈(－∞，m]，都有f (x)≥－，
则m≤，∴m的取值范围是．
故选B．]
函数图象的识别及应用
(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如周期性、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．
1．[高考变式]定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，且当x∈[0，1)时，f (x)＝1－|2x－1|，当x∈时，y＝f (x)的值域为( )
A． B．[0，1]
C． D．
B [由题意知，当x∈[1，2)时，
可得f (x)＝f (x－1)＝；
当x∈[2，3)时，可得f (x)＝f (x－1)＝，…，所以在区间[n，n＋1)(n∈Z)上，可得f (x)＝[1－|2x－(2n＋1)|]，
作函数y＝f (x)的图象，如图所示，
所以当x∈时，f (x)∈[0，1]，故选B．]
2．若函数y＝f (x)的图象如图所示，则函数y＝－f (x＋1)的图象大致为( )
A B
C D
C [要想由y＝f (x)的图象得到y＝－f (x＋1)的图象，需要先将y＝f (x)的图象关于x轴对称得到y＝－f (x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到y＝－f (x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．故选C．]
3．已知函数f (x)＝若存在x1，x2，x3(x1A．(0，1] B．[0，1]
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
B [作出f (x)的大致图象如图，x1，x2，x3自左向右依次排列，
由图可知，x1＋x2＝－2，
又x3>0，∴x1＋x2＋x3>－2．
由图象知，当x>－2时，f (x)∈[0，1]，
∴f (x1＋x2＋x3)∈[0，1]．]
【教师备选资源】
1．函数f (x)＝的图象如图所示，则( )
A．a＞0，b＝0，c＜0
B．a＜0，b＝0，c＜0
C．a＜0，b＜0，c＝0
D．a＞0，b＝0，c＞0
A [由图象观察可得函数f (x)的图象关于y轴对称，即函数f (x)为偶函数，
所以f (－x)＝＝f (x)，得b＝0，故C错误；
由图象可知f (0)＝＜0 c＜0，故D错误；
因为定义域不连续，所以ax2－bx＋c＝0有两个根，可得Δ＝b2－4ac＞0，
即a，c异号，a＞0，即B错误，A正确．
故选A．]
2．(2024·北京海淀二模)设函数f (x)的定义域为D，对于函数f (x)图象上一点(x0，y0)，若集合{k∈R|k(x－x0)＋y0≤f (x)， x∈D}只有1个元素，则称函数f (x)具有性质.下列函数中具有性质P1的是( )
A．f (x)＝|x－1|
B．f (x)＝lg x
C．f (x)＝x3
D．f (x)＝－sin x
D [根据题意，要满足性质P1，则f (x)的图象不能在过点(1，f (1))的直线的下方，且这样的直线只有一条；
对于A，f (x)＝|x－1|的图象，以及过点(1，0)的直线，如图所示：
数形结合可知，过点(1，0)的直线有无数条都满足题意，故A错误；
对于B，f (x)＝lg x的图象，以及过点(1，0)的直线，如图所示：
数形结合可知，不存在过点(1，0)的直线，使得f (x)的图象都在该直线的上方，故B错误；
对于C，f (x)＝x3的图象，以及过点(1，1)的直线，如图所示：
数形结合可知，不存在过点(1，1)的直线，使得f (x)的图象都在该直线的上方，故C错误；
对于D，f (x)＝－sin x的图象，以及过点(1，－1)的直线，如图所示：
数形结合可知，存在唯一的一条过点(1，－1)的直线y＝－1，即k＝0，满足题意，故D正确．
故选D．]
能力考点 函数的性质及应用
【典例3】 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (2x＋1)为奇函数，则( )
A．f ＝0 B．f (－1)＝0
C．f (2)＝0 D．f (4)＝0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则＝( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
(1)B (2)B (3)A [(1)因为f (x)在R上单调递增，且x≥0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，
则需满足解得－1≤a≤0，
即a的取值范围是[－1，0].故选B．
(2)∵函数f (x＋2)为偶函数，∴f (2＋x)＝f (2－x)．①
∵f (2x＋1)为奇函数，∴f (1－2x)＝－f (2x＋1)，
用x替换上式中2x＋1，得f (2－x)＝－f (x)．②
由①②得f (2＋x)＝－f (x)，∴f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，即f (x)＝f (x＋4)，
故函数f (x)是以4为周期的周期函数．由②知，f (x)＋f (2－x)＝0，∴f (x)关于(1，0)对称．
又∵f (1)＝0，∴f (－1)＝－f (2＋1)＝－f (1)，
∴f (－1)＝0.故选B．
(3)令y＝1得f (x＋1)＋f (x－1)＝f (x)·f (1)＝f (x) f (x＋1)＝f (x)－f (x－1)，
故f (x＋2)＝f (x＋1)－f (x)，f (x＋3)＝f (x＋2)－f (x＋1)，
消去f (x＋2)和f (x＋1)得到f (x＋3)＝－f (x)，故f (x)的周期为6；
令x＝1，y＝0，得f (1)＋f (1)＝f (1)·f (0) f (0)＝2，
f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1，
f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2，
f (4)＝f (3)－f (2)＝－2－(－1)＝－1，
f (5)＝f (4)－f (3)＝－1－(－2)＝1，
f (6)＝f (5)－f (4)＝1－(－1)＝2，
故＝3[ f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (19)＋f (20)＋f (21)＋f (22)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即＝－3.故选A．]
函数的奇偶性、单调性、周期性及对称性
(1)奇偶性：若函数的定义域关于原点对称，则f (x)是偶函数 f (－x)＝f (x)＝f (|x|)，f (x)是奇函数 f (－x)＝－f (x)．研究具有奇偶性的函数问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上．
(2)单调性：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将符号“f ”脱掉，使抽象函数转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)函数的对称性与周期性间的内在联系
①若定义在R上的函数f (x)的图象关于直线x＝a，x＝b对称，则f (x)的一个周期为T＝2|b－a|．
②若定义在R上的函数f (x)的图象关于点(a，0)，(b，0)对称，则f (x)的一个周期为T＝2|b－a|．
③若定义在R上的函数f (x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则f (x)的一个周期为T＝4|b－a|．
1．已知函数f (x)同时满足性质：①f (－x)＝－f (x)；② x1，x2∈(0，1)，>0，则函数f (x)可能是( )
A．f (x)＝ex－e－x B．f (x)＝
C．f (x)＝sin 4x D．f (x)＝x2
A [由函数奇偶性的定义，若函数f (x)满足f (－x)＝－f (x)，则函数f (x)为奇函数，
由函数单调性的定义，若函数f (x)满足 x1，x2∈(0，1)，>0，则函数f (x)在区间(0，1)上单调递增，
选项中四个函数的定义域均为R， x∈R，都有－x∈R．
对于A，f (－x)＝e－x－ex＝－＝－f (x)，故f (x)为奇函数，满足性质①，
∵y＝ex与y＝－e－x＝－均在R上单调递增，∴f (x)＝ex－e－x在R上单调递增，满足性质②；
对于B，由指数函数的性质，f (x)＝为非奇非偶函数，在R上单调递减，性质①，②均不满足；
对于C，f (－x)＝sin (－4x)＝－sin 4x＝－f (x)，故f (x)为奇函数，满足性质①，
令－＋2kπ≤4x≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋≤x≤＋，k∈Z，
∴f (x)的单调递增区间为，k∈Z，故f (x)在(0，1)上不单调，不满足性质②；
对于D，由幂函数的性质，f (x)＝x2为偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，不满足性质①，满足性质②．
故选A．]
2．已知函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)>0的解集为( )
A．(－2，4] B．(－3，5]
C． D．(－2，2]
C [因为函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，
所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，
又f (－x)＝－f (x)，
即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，
所以2(a－2)x2＋2b＝0，解得
解得所以f (x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]，因为y＝x3与y＝2x均在定义域[－5，5]上单调递增，所以f (x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)>0，即f (2x＋1)＋f (4)>0，等价于f (2x＋1)>f (－4)，所以解得－3．(多选)(2023·四省联考)已知f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f (x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则( )
A．f ( f (1))B．f (g(1))C．g( f (1))D．g(g(1))BD [因为f (x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f (1)g(1)>g(2)，所以f (g(1))g( f (2))，g(g(1))若| f (1)|>| f (2)|，则f ( f (1))>f ( f (2))，A错误．
故选BD．]
4．[高考变式]已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，满足f －f ＝2x，记g(x)＝f ′(x)，其导函数为g′(x)，且g′(3－x)的图象关于原点对称，则g′(9)＋g＝( )
A．0 B．3
C．4 D．1
D [由g′(3－x)的图象关于原点对称，得g(3－x)的图象关于y轴对称，且g′(3－x)＝－g′(3＋x)，所以g(x)的图象关于直线x＝3对称，g′(x)的图象关于点(3，0)对称，且g′(3)＝0，
又f ′＋f ′＝2，即g＋g＝2，则g(x)的图象关于点对称，
综上，g(6－x)＝g(x)，g(3－x)＋g(x)＝2，
则g(6－x)＋g(3－x)＝2，
所以g＋g＝g＋g＝2，
而g＝1，故g＝1，
又g′(x)－g′(3－x)＝0，即g′(3－x)＝g′(x)，
所以g′(x)＝－g′(x＋3)，则g′(9)＝－g′(6)＝g′(3)＝0，
所以g′(9)＋g＝1.故选D．]
【教师备选资源】
1．已知函数y＝f (x＋1)－2是奇函数，函数g(x)＝的图象与f (x)的图象有4个公共点Pi(xi，yi)(i＝1，2，3，4)，且x1A．2 B．3
C．4 D．5
D [由函数y＝f (x＋1)－2是奇函数，其图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到f (x)的图象，所以f (x)的图象关于点(1，2)对称，由g(x)＝＝2＋，可得g(x)的图象是由奇函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以g(x)的图象关于点(1，2)对称，所以P1，P4与P2，P3都关于点(1，2)对称，所以x1＋x4＝x2＋x3＝2，y1＋y4＝y2＋y3＝4，所以g(x1＋x2＋x3＋x4)g(y1＋y2＋y3＋y4)＝g(4)g(8)＝×＝5．
故选D．]
2．(多选)已知函数f (x)满足：①f (a＋x)为偶函数；②f (c＋x)＋f (c－x)＝2d，a≠c.f ′(x)是f (x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f ′(x)的图象关于直线x＝c对称
B．f (2x)的一个周期为2|c－a|
C．f ( f (x))的图象不关于点(c，d)对称
D．f ( f (x))的图象关于直线x＝a对称
ABD [对于A选项，由f (c＋x)＋f (c－x)＝2d两边求导得f ′(c＋x)－f ′(c－x)＝0，即f ′(x)的图象关于直线x＝c对称，故A正确；
对于B选项，由f (a＋x)为偶函数，知f (a＋x)＝f (a－x) f (－x)＝f (2a＋x)．
又f (c＋x)＋f (c－x)＝2d f (－x)＝2d－f (2c＋x)，则f (2a＋x)＝2d－f (2c＋x)
f (x)＝f (x＋4(c－a))，即f (x)的一个周期为4|c－a|，则f (2x)的一个周期为2|c－a|，故B正确；
对于C选项，注意到当c＝d时，f (c＋x)＋f (c－x)＝2c f (x)＋f (2c－x)＝2c．
则f ( f (c＋x))＋f 2c－f (c＋x))＝f ( f (c＋x))＋f ( f (c－x))＝2c，即此时f ( f (x))的图象关于点(c，c)，即点(c，d)对称，故C错误；
对于D选项，由f (a＋x)为偶函数，知f (x)的图象关于直线x＝a对称，即f (a＋x)＝f (a－x)，则f ( f (a＋x))＝f ( f (a－x))，即f ( f (x))的图象关于直线x＝a对称，故D正确．故选ABD．]
3．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f ，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f (0)＝0 B．g＝0
C．f (－1)＝f (4) D．g(－1)＝g(2)
BC [因为f ，g(2＋x)均为偶函数，
所以f ＝f ，即f ＝f ，g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f (3－x)＝f (x)，g(4－x)＝g(x)，
则f (－1)＝f (4)，故C正确；
函数f (x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，
又g(x)＝f ′(x)，且函数f (x)可导，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；
若函数f (x)满足题设条件，则函数f (x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x)的函数值，故A错误．故选BC．]
4．(2022·全国乙卷)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f (x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
D [因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以g(2－x)＝g(x＋2)，
因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋2)－f (x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f (x－2)，
因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (x)＋g(x＋2)＝5，
代入得f (x)＋[7＋f (x－2)]＝5，
即f (x)＋f (x－2)＝－2，
所以f (3)＋f (5)＋…＋f (21)＝(－2)×5＝－10，
f (4)＋f (6)＋…＋f (22)＝(－2)×5＝－10．
因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (0)＋g(2)＝5，即f (0)＝1，所以f (2)＝－2－f (0)＝－3．
因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋4)－f (x)＝7，又因为f (x)＋g(2－x)＝5，
联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，
所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，
因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)＝6，
因为f (x)＋g(x＋2)＝5，所以f (1)＝5－g(3)＝－1．
所以＝f (1)＋f (2)＋[ f (3)＋f (5)＋…＋f (21)]＋[ f (4)＋f (6)＋…＋f (22)]＝－1－3－10－10＝－24．
故选D．]
5．已知定义在R上的函数f (x)满足：对任意实数a，b都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)－1，且当x>0时，f (x)>1.若f (2)＝3，则不等式f (x2－x－1)<2的解集为________．
(－1，2) [任取x1，x2，设x1>x2，则x1－x2>0，f (x1－x2)>1．
所以f (x1)－f (x2)＝f ((x1－x2)＋x2)－f (x2)＝f (x1－x2)－1>0，
即f (x1)>f (x2)，所以f (x)是增函数．
因为f (2)＝3，即f (2)＝f (1)＋f (1)－1＝3，所以f (1)＝2．
所以原不等式f (x2－x－1)<2等价为f (x2－x－1)则x2－x－1<1，即x2－x－2<0，则(x－2)(x＋1)<0，得－1故不等式f (x2－x－1)＜2的解集是(－1，2)．]
专题限时集训(二十二) 函数的图象与性质
一、单项选择题
1．已知函数f (x)＝的定义域为A，函数g(x)＝log2x，x∈的值域为B，则A∩B＝( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．(－∞，4] D．(－1，4]
B [∵f (x)＝，∴≥0，∴x(x－4)≤0且x≠0，可得A＝{x|02．(2024·四川遂宁模拟预测)下列函数满足f (log23)＝－f (log32)的是( )
A．f (x)＝1＋ln x B．f (x)＝x＋
C．f (x)＝x－ D．f (x)＝1－x
C [令t＝log23，t>1，则＝log32∈(0，1)，由f (log23)＝－f (log32)可得f (t)＝－f ，
对于A，f ＝1＋ln ＝1－ln t≠－f (t)，故A错误；
对于B，f ＝＋t＝f (t)，不满足f (t)＝－f ，B错误；
对于C，f ＝－t＝－f (t)，
即f (t)＝－f ，即f (log23)＝－f (log32)，C正确；
对于D，f ＝1－≠－f (t)，
即f (log23)＝－f (log32)不成立，D错误．故选C．]
3．(2024·重庆三模)已知f (x)是定义域为R的奇函数且满足f (x)＋f (2－x)＝0，则f (20)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
B [由f (x)是定义域为R的奇函数，得f (－x)＝－f (x)，且f (0)＝0，
又由f (x)满足f (x)＋f (2－x)＝0，即f (2－x)＝－f (x)，
则有f (2－x)＝f (－x)，可得f (x＋2)＝f (x)，
即函数f (x)是周期为2的周期函数，
故f (20)＝f (0)＝0.故选B．]
4．(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是( )
A．f (x)＝ B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝
B [对于A，f (x)＝，函数定义域为R，但f (－1)＝，f (1)＝，则f (－1)≠f (1)，故A错误；
对于B，f (x)＝，函数定义域为R，且f (－x)＝＝＝f (x)，则f (x)为偶函数，故B正确；
对于C，f (x)＝，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则f (x)不是偶函数，故C错误；
对于D，f (x)＝，函数定义域为R，因为f (1)＝，f (－1)＝，则f (1)≠f (－1)，则f (x)不是偶函数，故D错误．
故选B．]
5．(2024·山东烟台一模)函数f (x)＝，则y＝f (x)的部分图象大致形状是( )
A B
C D
A [函数y＝f (x)的定义域为R，
f (－x)＝＝＝f (x)，
即函数y＝f (x)为偶函数，排除BD；
当x∈时，f (x)＝>0，排除C．
故选A．]
6．(2024·云南玉溪期中)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x－2)＝－f (x)，且函数y＝f (2x－1)为奇函数，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的一个周期是2
B．f (x)是奇函数
C．f (x)不一定是偶函数
D．f (x)的图象关于点(2 025，0)中心对称
D [对于A，因为定义在R上的函数f (x)满足f (x－2)＝－f (x)，
所以f (x)＝－f (x＋2)，所以f (x＋2)＝－f (x＋4)，
所以f (x)＝f (x＋4)，所以f (x)的一个周期是4，所以A错误，
对于BC，因为f (x－2)＝－f (x)，
所以f (－x－2)＝－f (－x)，
因为函数y＝f (2x－1)为奇函数，所以f (2x－1)＝－f (－2x－1)，
所以f (x－1)＝－f (－x－1)，所以f (x)的图象关于点(－1，0)对称，
所以f (－x－2)＝－f (x)，所以f (－x)＝f (x)，
所以f (x)是偶函数，不是奇函数，所以BC错误，
对于D，因为f (x)为偶函数，f (x)的图象关于点(－1，0)对称，
所以f (x)的图象关于点(1，0)对称，
因为f (x)的一个周期是4，所以f (x)的图象关于点(1＋4×506，0)对称，
即f (x)的图象关于点(2 025，0)中心对称，所以D正确．故选D．]
7．定义在R上的偶函数f (x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有<0，且f (3)＝0，则不等式(2x－1)f (x)>0的解集是( )
A． B．∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C [因为函数f (x)满足对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有<0，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递减，又f (x)是定义在R上的偶函数，所以f (x)在(－∞，0)上单调递增，
又f (3)＝0，所以f (－3)＝f (3)＝0，作函数f (x)的草图，如图所示，
所以，当x<－3时，2x－1<0，f (x)<0，则(2x－1)f (x)>0；
当－30，
则(2x－1) f (x)<0；
当0，f (x)>0，
则(2x－1)f (x)>0；
当x>3时，2x－1>0，f (x)<0，
则(2x－1)f (x)<0；
当x＝－3或x＝3或x＝时，(2x－1) f (x)＝0．
综上，不等式(2x－1)f (x)>0的解集为(－∞，－3)．
故选C．]
8．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，且当x<3时，f (x)＝x，则下列结论中一定正确的是( )
A．f (10)>100 B．f (20)>1 000
C．f (10)<1 000 D．f (20)<10 000
B [因为当x<3时，f (x)＝x，
所以f (1)＝1，f (2)＝2，
又因为f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，
则f (3)>f (2)＋f (1)＝3，
f (4)>f (3)＋f (2)>5，
f (5)>f (4)＋f (3)>8，
f (6)>f (5)＋f (4)>13，
f (7)>f (6)＋f (5)>21，
f (8)>f (7)＋f (6)>34，
f (9)>f (8)＋f (7)>55，
f (10)>f (9)＋f (8)>89，
f (11)>f (10)＋f (9)>144，
f (12)>f (11)＋f (10)>233，
f (13)>f (12)＋f (11)>377，
f (14)>f (13)＋f (12)>610，
f (15)>f (14)＋f (13)>987，
f (16)>f (15)＋f (14)>1 597>1 000，则依次下去可知f (20)>1 000，则B正确；且无法证明ACD一定正确．故选B．]
二、多项选择题
9．(2024·山东大联考模拟)已知f (x)，g(x)分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且f (x)＋g(x)＝ex，设函数G(x)＝，则G(x)( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在R上单调递减 D．在R上单调递增
AD [根据题意可知f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，因为f (x)＋g(x)＝ex①，
所以f (－x)＋g(－x)＝e－x，
即f (x)－g(x)＝e－x②，联立①②，
解得f (x)＝，g(x)＝，
所以G(x)＝，定义域为R，又G(－x)＝＝－G(x)，
所以G(x)是奇函数，
又G′(x)＝＝>0，
所以G(x)在R上单调递增，故A，D正确，B，C错误．故选AD．]
10．(2024·九省联考)已知函数f (x)的定义域为R，且f ≠0，若f (x＋y)＋f (x)f (y)＝4xy，则( )
A．f ＝0
B．f ＝－2
C．函数f 是偶函数
D．函数f 是减函数
ABD [令x＝，y＝0，则有f ＋f ×f (0)＝0，
又f ≠0，故1＋f (0)＝0，即f (0)＝－1．
令x＝，y＝－，则有f ＋f ·f ＝4××，
即f (0)＋f ＝－1，由f (0)＝－1，可得f ＝0，
又f ≠0，故f ＝0，故A正确；
令y＝－，则有f ＋f (x)f ＝4x×，
即f ＝－2x，故函数f 是奇函数，
则f ＝－2(x＋1)＝－2x－2，
即f ＝－2x－2，
即函数f 是减函数，
令x＝1，有f ＝－2×1＝－2，
故B正确，C错误，D正确．故选ABD．]
11．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)，则( )
A．f (0)＝0
B．f (1)＝0
C．f (x)是偶函数
D．x＝0为f (x)的极小值点
ABC [因为f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)，
对于A，令x＝y＝0，得f (0)＝0，故A正确．
对于B，令x＝y＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)，
则f (1)＝0，故B正确．
对于C，令x＝y＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)＝2f (－1)，则f (－1)＝0，
令y＝－1，则f (－x)＝f (x)＋x2f (－1)＝f (x)，
又函数f (x)的定义域为R，所以f (x)为偶函数，故C正确．
对于D，不妨令f (x)＝0为常数函数，显然符合题设条件，此时f (x)无极值，故D错误．故选ABC．]
三、填空题
12．(2024·湖北武汉二模)已知函数f (2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f (1－x)的定义域为________．
(－2，2] [由函数f (2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，
令－1≤1－x<3，解得－213．(2024·福建龙岩一模)定义在R上的函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f (2x＋3)≤f (1)的解集为________．
[－1，0] [因为函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，则f (x)的图象关于直线x＝2对称，
又因为f (x)在(－∞，2]上单调递减，则f (x)在[2，＋∞)上单调递增，
则由f (2x＋3)≤f (1)得|2x＋3－2|≤|1－2|，
即|2x＋1|≤1，解得－1≤x≤0，则所求不等式的解集为[－1，0]．]
14．(2024·重庆模拟)设a∈R，函数f (x)＝若f (x)的最小值为f (1)，则实数a的取值范围是________．
[1，6] [当x>1时，4x＋－3a≥2－3a＝16－3a，
当且仅当4x＝，即x＝2时等号成立，
即当x>1时，函数的最小值为16－3a，
当x≤1时，f (x)＝(x－a)2＋9－a2，
要使得函数f (x)的最小值为f (1)，
则需满足解得1≤a≤6，即实数a的取值范围是[1，6]．]
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