§2 基本初等函数、函数的应用
【备考指南】 函数值的大小比较、函数性质的探究、函数的零点问题、函数模型及应用是新高考的四个核心命题点．备考时，要立足基本初等函数的图象和性质，抓住指数、对数间的内在联系，合理变形或同构，提升应用数形结合和转化化归等思想解题的能力．
基础考点1 基本初等函数的图象与性质
【典例1】 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． D．1
(3)(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( )
A．a
C．b[听课记录]
基本初等函数解题的3个关键点
(1)指对互化：ax＝N x＝logaN(a＞0，且a≠1)．
(2)图象特征：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，它们的图象和性质，分01两种情况；
对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
(3)复合函数：复合函数的性质往往根据相关函数的性质进行判断．
1．已知log2a＋log2b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f (x)＝与g(x)＝logbx的图象可能是( )
A B
C D
2．(2024·重庆模拟)函数f (x)＝，g(x)＝ln ，那么( )
A．f (x)＋g(x)是偶函数
B．f (x)·g(x)是奇函数
C．是偶函数
D．g( f (x))是奇函数
3．(2024·云南昆明一模)已知函数f (x)＝ex＋e2-x，则下列说法正确的是( )
A．f (x)为增函数
B．f (x)有两个零点
C．f (x)的最大值为2e
D．y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称
4．函数f (x)＝log2·(2x)的最小值为________．
基础考点2 函数与方程
【典例2】 (1)(2024·广东湛江二模)已知函数f (x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则( )
A．当g(x)有2个零点时，f (x)只有1个零点
B．当g(x)有3个零点时，f (x)有2个零点
C．当f (x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D．当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点
(2)(2024·广东梅州二模)三个函数f (x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为( )
A．aC．a[听课记录]
利用函数零点求参数值(或取值范围)的方法
1．用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
2．(2024·内蒙古呼和浩特模拟)定义在R上的奇函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且当x∈[0，1]时，f (x)＝x2，则函数g(x)＝f (x)－在[－4，12]上所有零点的和为( )
A．16 B．24
C．32 D．40
3．(2024·浙江温州三模)已知函数f (x)＝ 则关于x的方程f (x)＝ax＋2的根的个数不可能是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．已知函数f (x)＝ 若函数g(x)＝f (x)－有三个零点，则实数m的取值范围为________．
基础考点3 函数模型及应用
【典例3】 (多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级LP＝20×lg ，其中常数p0( p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2＞10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
[听课记录]
函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序： ．
(2)解题关键：准确地建立函数模型，然后应用函数、方程、不等式和导数等有关知识加以解答.
1．(2024·武汉华中师大附中模拟)青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5，4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1，V2，则∈( )
A．(1.5，2) B．(2，2.5)
C．(2.5，3) D．(3，3.5)
2．(2024·福建名校联考)一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为I(x)＝I0，其中I0为输出信号功率最大值(单位：mW)，x为频率(单位：Hz)，μ为输出信号功率的数学期望，σ2为输出信号功率的方差，3dB带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度．现已知输出信号功率为I(x)＝I0(如图所示)，则其3dB带宽为( )
A． B．4
C．3 D．2
1 / 1§2 基本初等函数、函数的应用
【备考指南】 函数值的大小比较、函数性质的探究、函数的零点问题、函数模型及应用是新高考的四个核心命题点．备考时，要立足基本初等函数的图象和性质，抓住指数、对数间的内在联系，合理变形或同构，提升应用数形结合和转化化归等思想解题的能力．
基础考点1 基本初等函数的图象与性质
【典例1】 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． D．1
(3)(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( )
A．aC．b(1)D (2)B (3)A [(1)设t＝x(x－a)＝x2－ax，抛物线开口向上，对称轴为x＝，∵y＝2t是关于t的增函数，∴要使f (x)在区间(0，1)上单调递减，则t＝x2－ax在区间(0，1)上单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．故选D．
(2)由>0，得x>或x<－，∵f (x)是偶函数，∴f (－1)＝f (1)，即(a－1)ln 3＝(a＋1)ln ，
∴(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，
解得a＝0，经验证当a＝0时，f (x)为偶函数．故选B．
(3)因为＝log8，b＝log85，()5＝84＞55，所以＞5，所以＝log8＞log85＝b，即b＜．因为＝log13，c＝log138，()5＝134＜85，所以＜8，所以＝log13＜log138＝c，即c＞．又2 187＝37＜55＝3 125，所以lg 37＜lg 55，所以7lg 3＜5lg 5，所以＜，所以a＝＜＜，而85＜57，所以5lg 8＜7lg 5，所以＞，所以b＝＞，所以c＞b＞a．
故选A．]
基本初等函数解题的3个关键点
(1)指对互化：ax＝N x＝logaN(a＞0，且a≠1)．
(2)图象特征：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，它们的图象和性质，分01两种情况；
对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
(3)复合函数：复合函数的性质往往根据相关函数的性质进行判断．
1．已知log2a＋log2b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f (x)＝与g(x)＝logbx的图象可能是( )
A B
C D
B [由log2a＋log2b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，可得log2(ab)＝0，则ab＝1，则b＝，则g(x)＝logbx＝logx，又f (x)＝，则g(x)与f (x)互为反函数，则g(x)与f (x)单调性一致，且它们的图象关于直线y＝x对称．故选B．]
2．(2024·重庆模拟)函数f (x)＝，g(x)＝ln ，那么( )
A．f (x)＋g(x)是偶函数
B．f (x)·g(x)是奇函数
C．是偶函数
D．g( f (x))是奇函数
B [因为f (－x)＝＝f (x)，所以f (x)＝为偶函数，因为g(－x)＋g(x)＝ln ＋ln ＝ln [(＋3x)(－3x)]＝ln 1＝0，
即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)＝ln (－3x)为奇函数，所以f (x)＋g(x)为非奇非偶函数，A错误；
f (－x)·g(－x)＝－[ f (x)·g(x)]，所以f (x)·g(x)为奇函数，B正确；
＝＝－，所以是奇函数，C错误；
令H(x)＝g( f (x))，H(－x)＝g( f (－x))＝g( f (x))＝H(x)，H(x)为偶函数，D错误．故选B．]
3．(2024·云南昆明一模)已知函数f (x)＝ex＋e2-x，则下列说法正确的是( )
A．f (x)为增函数
B．f (x)有两个零点
C．f (x)的最大值为2e
D．y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称
D [对于A，f ′(x)＝ex－e2-x，令f ′(x)＝0，得x＝1，
当x<1时，f ′(x)<0，当x>1时，f ′(x)>0，
所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故A错误；
对于B，由选项A知，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
且f (1)＝2e>0，所以函数f (x)在R上没有零点，故B错误；
对于C，由选项A知，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f (x)min＝f (1)＝2e，即函数f (x)的最小值为2e，故C错误；
对于D，f (2－x)＝e2-x＋ex＝f (x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确．故选D．]
4．函数f (x)＝log2·(2x)的最小值为________．
－ [ f (x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－，
所以当log2x＝－，即x＝时，f (x)取得最小值－．]
【教师备选资源】
1．若正数x，y，z满足5x＝6y＝log7z，则( )
A．z＞y＞x B．x＞z＞y
C．y＞z＞x D．z＞x＞y
D [设5x＝6y＝log7z＝k＞1，则x＝log5k，y＝log6k，z＝7k，在同一坐标系中作出f (x)＝log5x，g(x)＝log6x，h(x)＝7x的图象，如图所示．
易得7k＞log5k＞log6k，即z＞x＞y.故选D．]
2．已知实数a，b∈(1，＋∞)，且log2a＋logb3＝log2b＋loga2，则( )
A．a＜＜b B．＜a＜b
C．b＜＜a D．＜b＜a
B [由已知条件得logb2＜logb3，∴log2a＋logb2＜log2b＋loga2，即log2a－loga2＜log2b－logb2，∵函数f (x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，∴log2a＜log2b，即a＜b，故排除选项C，D；
∵log2b＞log3b，
∴log2a＋logb3＞log3b＋loga2，
即log2a－loga2＞log3b－logb3，
∵函数f (x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，
∴log2a＞log3b，
又∵log3b＝＞log2，
∴log2a＞log2，即a＞，故＜a＜b.故选B．]
3．(2024·浙江杭州二模)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x>0且x≠1}，函数f (x)＝ax＋λa－x(a>0且a≠1)，则( )
A． λ∈M， a∈N，f (x)为增函数
B． λ∈M， a∈N，f (x)为减函数
C． λ∈M， a∈N，f (x)为奇函数
D． λ∈M， a∈N，f (x)为偶函数
D [当λ＝1时，f (x)＝ax＋a－x，a>1时，f (x)在(－∞，0)上不单调递增，故A不正确；
当λ＝－1时，f (x)＝ax－a－x，a>1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故B不正确；
当λ＝1时，f (x)＝ax＋a－x，f (－x)＝ax＋a－x＝f (x)，f (x)为偶函数，故C不正确；
当λ＝1时，f (x)＝ax＋a－x，f (－x)＝ax＋a－x＝f (x)，f (x)为偶函数，故D正确．故选D．]
4．(多选)(2024·江苏南京模拟)设函数f (x)＝x，下列四个命题正确的是( )
A．函数f (|x|)为偶函数
B．若f (a)＝| f (b)|(其中a＞0，b＞0，a≠b)，则ab＝1
C．函数f (－x2＋2x)在(1，3)上单调递增
D．若0＜a＜1，则| f (1＋a)|＜| f (1－a)|
ABD [ f (x)＝x，x＞0，
函数f (|x|)＝|x|，∵f (|－x|)＝f (|x|)，
∴f (|x|)为偶函数，故A正确．
若f (a)＝| f (b)|(其中a＞0，b＞0)，
∵a≠b，∴f (a)＝| f (b)|＝－f (b)，
∴a＋b＝(ab)＝0，∴ab＝1，故B正确．
∵函数f (－x2＋2x)＝(－x2＋2x)＝[－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，
∴函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故C错误．
∵0＜a＜1，∴1＋a＞1－a，∴f (1＋a)＜0＜f (1－a)，故| f (1＋a)|－| f (1－a)|＝－f (1＋a)－f (1－a)＝－(1－a2)＜0，
即| f (1＋a)|＜| f (1－a)|，故D正确．故选ABD．]
5．若函数f (x)＝ex＋ae－x(a∈R)为奇函数，则不等式f (ln x)(0，1) [易知f (x)的定义域为R，
又f (x)为奇函数，∴f (0)＝0，得a＝－1，
∴f (x)＝ex－e－x，
∴f (x)为奇函数且在R上单调递增．
又f (ln x)基础考点2 函数与方程
【典例2】 (1)(2024·广东湛江二模)已知函数f (x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则( )
A．当g(x)有2个零点时，f (x)只有1个零点
B．当g(x)有3个零点时，f (x)有2个零点
C．当f (x)有2个零点时，g(x)有2个零点
D．当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点
(2)(2024·广东梅州二模)三个函数f (x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为( )
A．aC．a(1)D (2)B [(1)两个函数的零点个数转化为图象与y＝a的图象的公共点的个数，
作出y＝|2x－1|，y＝x2－4|x|＋2的大致图象，如图所示．
由图可知，当g(x)有2个零点时，f (x)无零点或只有1个零点；
当g(x)有3个零点时，f (x)只有1个零点；
当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点．
故选D．
(2)因为函数y＝x3，y＝ln x，y＝ex，y＝x－3都是增函数，所以函数f (x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3均为增函数，
因为f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，
所以函数f (x)的零点在(1，2)上，即a∈(1，2)，
因为g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3>0，
所以函数g(x)的零点在(2，3)上，即b∈(2，3)，
因为h(0)＝－2＜0，h(1)＝e－2＞0，
所以函数h(x)的零点在(0，1)上，即c∈(0，1)．
综上，c利用函数零点求参数值(或取值范围)的方法
1．用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B [令f (x)＝log4x－，因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，
所以函数f (x)＝log4x－在(0，＋∞)上单调递增，
f (1)＝－＜0，f (2)＝log42－＝－＝＞0，
所以函数f (x)＝log4x－在区间(1，2)上有唯一零点，
所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B．]
2．(2024·内蒙古呼和浩特模拟)定义在R上的奇函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且当x∈[0，1]时，f (x)＝x2，则函数g(x)＝f (x)－在[－4，12]上所有零点的和为( )
A．16 B．24
C．32 D．40
B [因为f (1＋x)＝f (1－x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，且f (x)＝f (2－x)，
又因为函数f (x)为定义在R上的奇函数，
所以f (－x)＝－f (x)，所以－f (－x)＝f (2－x)，
所以f (x)＝－f (2＋x)，所以f (4＋x)＝－f (2＋x)＝f (x)，
所以函数f (x)是周期为4的周期函数，
则f (x)＝－f (－x)＝－f (8－x)，故函数f (x)的图象关于点(4，0)对称，
当x∈[0，1]时，f (x)＝x2，
作出函数f (x)在[－4，12]上的图象以及函数y＝的图象．如图所示：
由图可知，函数f (x)在[－4，12]上的图象与函数y＝的图象共有6个交点，
且这6个交点有三对点关于点(4，0)对称，
因此，函数g(x)＝f (x)－在[－4，12]上所有零点的和为8×3＝24.故选B．]
3．(2024·浙江温州三模)已知函数f (x)＝ 则关于x的方程f (x)＝ax＋2的根的个数不可能是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [作出函数y＝f (x)的图象，如图所示：
将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f (x)的图象交点的个数，
由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f (x)的图象只有一个交点；
当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象没有交点；
当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象有三个交点；
所以直线y＝ax＋2与函数y＝f (x)的图象不可能有两个交点．故选C．]
4．已知函数f (x)＝ 若函数g(x)＝f (x)－有三个零点，则实数m的取值范围为________．
(－2，－)∪(，2) [若函数g(x)＝f (x)－有三个零点，
则y＝f (x)的图象与y＝的图象有3个交点，
又f (x)＝
当x≤0时，y＝ln |x－1|≥0，
当x>0时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，
f (x)的大致图象如下，
要使y＝f (x)与y＝的图象有3个交点，
则1<<2，解得－2故实数m的取值范围为(－2，－)∪(，2)．]
【教师备选资源】
1．(多选)已知函数f (x)＝方程[ f (x)]2－t·f (x)＝0有四个实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，下列说法正确的是( )
A．x1x4∈(－6ln 2，0]
B．x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为[－8，－8＋2ln 2)
C．t的取值范围为[1，4)
D．x2x3的最大值为4
BC [[ f (x)]2－t·f (x)＝0 f (x)[ f (x)－t]＝0 f (x)＝0或f (x)＝t，作出y＝f (x)的图象，
当f (x)＝0时，x1＝－4，有一个实数根；当t＝1时，有三个实数根，所以共四个实数根，满足题意；
当t＝4时，f (x)＝t只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与y＝ex图象的交点坐标为(2ln 2，4)．要使原方程有四个实数根，等价于f (x)＝t有三个实数根，等价于y＝f (x)与y＝t的图象有三个交点，故t∈[1，4)，x4∈[0，2ln 2)，所以x1x4∈(－8ln 2，0]，故A错误，C正确；
因为x2＋x3＝－4，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8＋x4的取值范围为[－8，－8＋2ln 2)，故B正确；
因为x2＋x3＝－4，x2＜x3＜0，
所以x2x3＝(－x2)·(－x3)＜＝4，故D错误．]
2．设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f (x＋2)＝f (2－x)，当x∈[－2，0]时，f (x)＝－1，则关于x的方程f (x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [∵对于任意的x∈R，都有f (x＋2)＝f (2－x)，且f (x)为偶函数，
∴f (x＋4)＝f (2＋(x＋2))＝f (2－(x＋2))＝f (－x)＝f (x)，
∴函数f (x)是一个周期函数，且T＝4．
又∵当x∈[－2，0]时，f (x)＝－1，且函数f (x)是定义在R上的偶函数，
∴f (6)＝1，则函数y＝f (x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示．
根据图象可得y＝f (x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点，即f (x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根．故选C．]
3．(多选)已知函数y＝的图象与f (x)＝ex的图象相交于A，B两点，与g(x)＝ln x的图象相交于C，D两点．若A，B，C，D四点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2，x3＜x4，则( )
A．x1＋x2＝0 B．x3x4＝1
C．x1ln x3＝1 D．＝1
ABD [由题意可知x1是方程ex＝的一个根，则＝，所以＝＝，所以－x1也是方程ex＝的一个根，所以－x1＝x2，故x1＋x2＝0，故A正确；
由题意可知x3是方程ln x＝的一个根，则ln x3＝，则ln ＝－ln x3＝－＝，
所以也是方程ln x＝的一个根，所以＝x4，故x3x4＝1，故B正确；
设点P(x0，y0)在函数y＝的图象上，则满足y0＝，即y0x0－y0－x0－1＝0.点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为P′(y0，x0)，将P′(y0，x0)代入y＝得x0＝，即y0x0－y0－x0－1＝0，因此可知P′(y0，x0)也在函数y＝的图象上， 即函数y＝的图象关于直线y＝x对称，又y＝ln x，y＝ex的图象关于直线y＝x对称，因此可知A，C对称，B，D对称，
故
所以＝x3＝＝1，故D正确；
由于x1＝ln x3，x1≠±1，故C错误．故选ABD．]
4．(2023·天津高考)设a∈R，函数f (x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|.若f (x)恰有两个零点，则a的取值范围为 ________．
(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞) [令x2－ax＋1＝0，则Δ1＝a2－4，
当－2≤a≤2时，Δ1≤0，x2－ax＋1≥0恒成立，此时f (x)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1．
当a≠1时，令f (x)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1＝0，则Δ2＝(a－2)2＋4(a－1)＝a2，当a≠0时，Δ2>0，f (x)有且仅有两个零点；
当a＝1时，f (x)＝－x－1，f (x)有且仅有一个零点，不符合题意，
所以－2≤a<0或0当a<－2或a>2时，Δ1>0，方程x2－ax＋1＝0有两个不等实根，设为x1，x2，x1所以f (x)＝
设g(x)＝[(a＋1)x－1](x－1)，令g(x)＝0，解得x＝1或x＝；设h(x)＝[(a－1)x－1](x＋1)，令h(x)＝0，解得x＝－1或x＝．
当a<－2时，x1＝<－1，所以f (x)有且仅有两个零点，符合题意．
当a>2时，因为x2＝>1，且所以f (x)有且仅有两个零点，符合题意．
综上所述，a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．
基础考点3 函数模型及应用
【典例3】 (多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级LP＝20×lg ，其中常数p0( p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2＞10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
ACD [由题意得，60≤20lg ≤90，1 000p0≤p1≤p0，50≤20lg ≤60，p0≤p2≤1 000p0，20lg ＝40，p3＝100p0，可得p1≥p2，A正确；
p2≤10p3＝1 000p0，B错误；p3＝100p0，C正确；
p1≤p0＝100×p0≤100p2，p1≤100p2，D正确．
故选ACD．]
函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序： ．
(2)解题关键：准确地建立函数模型，然后应用函数、方程、不等式和导数等有关知识加以解答.
1．(2024·武汉华中师大附中模拟)青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5，4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1，V2，则∈( )
A．(1.5，2) B．(2，2.5)
C．(2.5，3) D．(3，3.5)
C [依题意两式相减可得，0.4＝lg V2－lg V1＝lg ，故＝100.4＝，
而2.55≈98<100<35＝243，故∈(2.5，3)．故选C．]
2．(2024·福建名校联考)一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为I(x)＝I0，其中I0为输出信号功率最大值(单位：mW)，x为频率(单位：Hz)，μ为输出信号功率的数学期望，σ2为输出信号功率的方差，3dB带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度．现已知输出信号功率为I(x)＝I0(如图所示)，则其3dB带宽为( )
A． B．4
C．3 D．2
D [依题意，由I(x)＝I0，I(x)＝I0，得I0＝I0，即＝2，
则有(x－2)2＝2ln 2，解得x1＝2－，x2＝2＋，所以3dB带宽为x2－x1＝2．故选D．]
【教师备选资源】
1．如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α(单位：mm)的带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β(单位：mm)．若α＝10，β＝5，每对轧辊的减薄率r不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
D [厚度α＝10 mm的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n对轧辊后厚度为10(1－4%)n mm，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β＝5 mm，则10(1－4%)n≤5 (1－4%)n≤，
∵(1－4%)n＞0，＞0，∴lg (1－4%)n≤lg n lg (1－4%)≤－lg 2，
∵lg (1－4%)＜0，∴n≥－ n≥－＝－＝－≈－≈16.815 6．
故选D．]
2．水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间t(单位：小时)与失去的新鲜度y满足函数关系式：y＝为了保障水果在销售时的新鲜度不低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log23≈1.6)( )
A．20小时 B．25小时
C．28小时 D．35小时
C [由题意可知，①当0≤t＜10时，失去的新鲜度小于10%，没有超过15%；②当10≤t≤100时，则有·≤15%，即·≤，∴≤3，∴≤log23≈1.6，得20＋t≤48，得10≤t≤28.综合①②得t≤28.故选C．]
专题限时集训(二十三) 基本初等函数、函数的应用
一、单项选择题
1．(2024·广东茂名模拟)函数f (x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B [ f ′(x)＝ex－1，
当x<0时，f ′(x)<0，当x>0时，f ′(x)>0，
故f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝e－1－2<0，f (2)＝e2－4>0，f (0)＝－1<0．
根据零点存在定理及函数的单调性可得函数f (x)在(1，2)内有零点，故选B．]
2．已知函数f (x)＝ln (x－2)，则下列结论错误的是( )
A．f (3)＝0
B．f (x)的零点为3
C．f (x)在(0，＋∞)上单调递增
D．f (x)的定义域为(2，＋∞)
C [ f (3)＝ln(3－2)＝ln 1＝0，可知函数f (x)的零点为3，可知A，B正确；
f (x)＝ln (x－2)中，由x－2>0，解得x>2，
故函数的定义域为(2，＋∞)，且函数在(2，＋∞)上单调递增，故C错误，D正确．故选C．]
3．若函数f (x)＝x是偶函数，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
A [函数f (x)＝x的定义域为{x|x≠0}，由f (x)是偶函数，得f (－x)＝f (x)，
即－x＝x，整理得＝－2，所以m＝－2.故选A．]
4．(2024·河南洛阳模拟)若函数f (x)＝ln(x2－ax)在区间(2，5)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5] B．(－∞，2)
C．(－∞，2] D．[5，＋∞)
C [因为函数f (x)＝ln (x2－ax)在区间(2，5)上单调递增，即y＝x2－ax在(2，5)上单调递增且函数值大于0，由函数y＝－，则故a≤2，则a的取值范围是(－∞，2].故选C．]
5．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
B [因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c.故选B．]
6．(2024·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过( )
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第四象限 D．第三、第四象限
D [当x＝0时，y＝loga＝－1，
则当0当a>1时，函数图象过第一、第三、第四象限；
所以函数y＝loga的图象一定经过第三、第四象限．故选D．]
7．(2024·河北沧州模拟)某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为( )
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A．12 B．13
C．14 D．15
D [由题意知r0＝2.25 g/m3，r1＝2.21 g/m3，
当n＝1时，r1＝r0＋(r1－r0)×30.25+t，故30.25+t＝1，
解得t＝－0.25，
所以rn＝2.25－0.04×30.25(n-1)．
由rn≤0.65，得30.25(n-1)≥40，即0.25(n－1)≥，
得n≥＋1≈14.33，又n∈N*，
所以n≥15，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为15．
故选D．]
8．(2024·云南昆明模拟)已知函数f (x)＝函数g(x)＝f (x)－m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是( )
A． B．
C． D．[0，e]
C [作出函数f (x)的图象如图，
不妨设x1当x≤0时，－x2－x－m＝0，得x2＋x＋m＝0，则x1·x2＝m，
当x>0时，ln x3＝m，x3＝em，则x1·x2·x3＝mem，
设h(m)＝mem，则h′(m)＝(m＋1)em>0，
所以h(m)在上单调递增，
所以h(m)∈，即x1·x2·x3的取值范围是.故选C．]
二、多项选择题
9．(2024·山东临沂一模)已知函数f (x)＝＋a，则( )
A．f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．f (x)的值域为R
C．当a＝1时，f (x)为奇函数
D．当a＝2时，f (－x)＋f (x)＝2
ACD [对于函数f (x)＝＋a，令2x－1≠0，解得x≠0，
所以f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；
因为2x>0，当2x－1>0时，>0，所以＋a>a，
当－1<2x－1<0时，<－2，所以＋a<－2＋a，
综上可得f (x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；
当a＝1时，f (x)＝＋1＝，则f (－x)＝＝－＝－f (x)，
所以f (x)＝＋1为奇函数，故C正确；
当a＝2时，f (x)＝＋2＝＋1，
则f (－x)＋f (x)＝＋1＋＋1＝2，
故D正确．故选ACD．]
10．已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．h(x)的图象关于原点对称
B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0
D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增
BC [因为函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，
所以f (x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，
1－|x|＞0，－1＜x＜1，h(x)的定义域为(－1，1)，
因为h(－x)＝log2(1－|－x|)＝h(x)，
所以h(x)是偶函数，不是奇函数，A错误，B正确，
因为1－|x|≤1，所以h(x)＝log2(1－|x|)≤log21＝0，h(x)的最大值为0，C正确，
因为h(x)是偶函数，所以D错误．故选BC．]
11．(2024·重庆三模)已知实数a，b满足log2a＋b>0，则( )
A．＜ B．loga2>logb2
C．< D．2a－2b<3－a－3－b
AC [因为log2a＋b>0，
所以log2a>log2b，又y＝log2x为增函数，故a>b>0，
对于A，因为y＝为减函数，所以<，故A正确；
对于B，当a＝4，b＝2时，loga2＝对于C，0<<1<，故C正确；
对于D，当a＝4，b＝2时，且y＝2x与y＝3x均为增函数，所以2a－2b＝24－22>0，3-4－3-2<0，此时2a－2b>3－a－3－b，故D错误．故选AC．]
三、填空题
12．(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________．
64 [－＝－log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
13．(2024·山东泰安三模)已知函数f (x)＝若曲线y＝f (x)与直线y＝ax恰有2个公共点，则a的取值范围是________．
[－1，2) [当x≤0时，f (x)＝x2＋2x，其在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且f ′(x)＝2x＋2，则f ′(0)＝2；
当0作出f (x)的图象，如图，设过点(0，0)和f (x)＝x2＋2x(x≤0)相切的直线为l1，
设切点为＋2x0)，
则l1的方程为
＋2x0)＝(2x0＋2)(x－x0)，
代入(0，0)，解得x0＝0．
所以切线l1的斜率k1＝2；
同理可求得过点(0，0)且和y＝ln (1－x)(0＜x＜1)相切的直线l2的斜率k2＝－1，
而a表示过点(0，0)的直线的斜率．
由此可得a的取值范围是[－1，2)．]
14．某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本φ(x)万元，其中φ(x)＝若该公司一年内生产的该产品可以全部售完，每件的售价为70 元，则该企业每年利润的最大值为________万元．
875 [该企业每年利润为f (x)＝
当0＜x≤40时，f (x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，当x＝30时，f (x)取得最大值875；
当x＞40时，f (x)＝920－≤920－2＝720(当且仅当x＝100时等号成立)，即当x＝100时， f (x)取得最大值720．
因为875＞720，所以该企业每年利润的最大值为875万元．]
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