重点培优练12 同构法在函数与导数中的应用
1．双变量结构相同的同构函数类型
(1)g(x1)－g(x2)>λ[ f (x2)－f (x1)] g(x1)＋λf (x1)>g(x2)＋λf (x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf (x)；
(2)－kx2 f (x1)－kx1(3)<(x1＝－ f (x1)＋>f (x2)＋，构造函数φ(x)＝f (x)＋．
2．指对混合型同构的三种同构基本模式
(1)积型：aea≤b ln b
(2)商型：≤
(3)和差型：ea±a>b±ln b
例：eax＋ax>ln (x＋1)＋x＋1 eax＋ax>eln (x+1)＋ln (x＋1) ax>ln (x＋1)．
1．已知α，β∈R，则“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [构造函数f (x)＝x－cos x，
则f ′(x)＝1＋sin x≥0在定义域R上恒成立，
所以函数f (x)＝x－cos x为增函数，
又因为α＋β>0，所以α>－β，
所以f (α)>f (－β)，
即α－cos α>－β－cos (－β)，
即α－cos α>－β－cos β，
所以α＋β>cos α－cos β，
即“α＋β>0”能推出“α＋β>cos α－cos β”；
根据α＋β>cos α－cos β，
可得α－cos α>－β－cos β，
即α－cos α>－β－cos (－β)，
所以f (α)>f (－β)，
所以α>－β，即α＋β>0，
所以“α＋β>cos α－cos β”能推出“α＋β>0”，
所以“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的充要条件．]
2．若0>ln x2－ln x1
>ln x2－ln x1
C [对于－ln x1，
设f (x)＝ex－ln x．
所以f ′(x)＝ex－＝，
设g(x)＝xex－1，则有g′(x)＝(x＋1)ex>0恒成立，所以g(x)在(0，1)上单调递增，因为g(0)＝－1<0，g(1)＝e－1>0，从而存在x0∈(0，1)，使得g(x0)＝0．
由单调性可判断出，x∈(0，x0)时，g(x)<0，f ′(x)<0；
x∈(x0，1)时，g(x)>0，f ′(x)>0，所以f (x)在(0，1)上不单调，不等式不会恒成立，A不正确；
对于＋ln x2，设函数f (x)＝ex＋ln x，
可知f (x)单调递增，所以f (x1)对于 >，构造函数f (x)＝，f ′(x)＝，
则f ′(x)<0在x∈(0，1)时恒成立，所以f (x)在(0，1)上单调递减，所以f (x1)>f (x2)成立，C正确，D错误．故选C．]
3．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．aB [由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b．
令f (x)＝2x＋log2x，则f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
又因为22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，
所以2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f (a)所以a<2b.故选B．]
4．已知f (x)＝x2＋2ax－1对任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1＜x2，恒有x2f (x1)－x1f (x2)＜a(x1－x2)成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，3]
C． D．
A [由x2f (x1)－x1f (x2)＜a(x1－x2)，x1，x2∈[1，＋∞)，
得＜，
所以＋＜＋，
因为x1，x2∈[1，＋∞)且x1＜x2，
所以函数g(x)＝＋在[1，＋∞)上单调递增，即g(x)＝x＋2a－＋在[1，＋∞)上单调递增，
所以g′(x)＝1＋－＝≥0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋1－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤x2＋1在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤2，
所以实数a的取值范围是(－∞，2]．
故选A．]
5．已知a>0，b>0，且(a＋1)b+1＝(b＋3)a，则( )
A．a>b＋1 B．aC．ab－1
B [因为(a＋1)b+1＝(b＋3)a，a>0，b>0，
所以＝>．
设f (x)＝(x>0)，
则f ′(x)＝．
设g(x)＝－ln (x＋1)(x>0)，
则g′(x)＝－＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当x→0时，g(x)→0，
所以g(x)<0，即f ′(x)<0，故f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为f (a)>f (b＋1)，所以a6．已知函数f (x)＝ex－a ln (ax－a)＋a(a>0)，若关于x的不等式f (x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(0，e2] B．(0，e2)
C．(1，e2] D．(1，e2)
B [ f (x)＝ex－a ln (ax－a)＋a＞0 ex＞ln [a(x－1)]－1 ex－ln a－ln a＞ln (x－1)－1 ex－ln a＋x－ln a＞eln (x-1)＋ln (x－1)．
令g(x)＝ex＋x，显然g(x)为增函数．
则原命题又等价于g(x－ln a)＞g(ln (x－1)) x－ln a＞ln (x－1) ln a＜x－ln (x－1)．
由于x－ln (x－1)≥x－(x－2)＝2．
所以ln a＜2，即得0＜a＜e2.故选B．]
7．(多选)(2024·湖北武汉二模)已知x>y>0，则下列不等式正确的有( )
A．ex－ey>x－y B．ln x－ln y>x－y
C．ln x≥1－ D．>
ACD [设f (x)＝ex－x(x>0)，则f ′(x)＝ex－1>0，f (x)在(0，＋∞)单调递增，又x＞y＞0，
所以f (x)>f (y)，即ex－x>ey－y，即ex－ey>x－y，A正确．
令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1＞1，所以ln x－ln y设h(x)＝ln x－1＋(x>0)，则h′(x)＝－＝，
当0当x>1时，h′(x)＝>0，函数h(x)单调递增；
则h(x)＝ln x－1＋在x＝1时取得最小值h(1)＝ln 1－1＋＝0，即ln x≥1－，C正确．
设g(x)＝x·ex(x>0)，则g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)＝x·ex在(0，＋∞)上单调递增，
所以由x>y>0得x·ex>y·ey，即>，D正确．故选ACD．]
8．(多选)已知a，b∈(0，＋∞)，e是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋ln a，则的取值可以是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
CD [设f (x)＝x＋ex，则f (x)在R上单调递增，
因为f (b)－f (ln a)＝b＋eb－＝a＋ln a－(ln a＋a)＝0，则b＝ln a，
设＝t>0，则a＝bt，即ln a＝b＝ln (bt)＝ln b＋ln t，所以ln t＝b－ln b，
设g(x)＝x－ln x，x>0，g′(x)＝1－＝，
当x∈(0，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
则g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
g(x)min＝g(1)＝1，即ln t≥1，
所以t≥e，即≥e，故的取值可以是3和4.故选CD．]
9．(2020·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝aex-1－ln x＋ln a，若f (x)≥1，求a的取值范围．
[解] f (x)＝aex-1－ln x＋ln a≥1等价变形为
eln a＋x-1－ln x＋ln a≥1，
即eln a＋x-1＋ln a＋x－1≥ln x＋x＝eln x＋ln x，
令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(ln a＋x－1)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数，
∴ln a＋x－1≥ln x，即ln a≥ln x－x＋1，
令h(x)＝ln x－x＋1，则h′(x)＝－1＝，
当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝0，
∴ln a≥0，即a≥1，
∴a的取值范围是[1，＋∞)．
10．(2024·内蒙古三模)已知函数f (x)＝x2－ax＋2ln x，若a>0，f (x)≤eax恒成立，求a的取值范围．
[解] 由f (x)≤eax，可得x2＋2ln x≤eax＋ax，
即＋ln x2≤eax＋ax．
令g(x)＝ex＋x，易知g(x)单调递增．
由＋ln x2≤eax＋ax，可得g(ln x2)≤g(ax)，则ln x2≤ax，即≤．
设h(x)＝，则h′(x)＝，当x>e时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当00，h(x)单调递增，所以h(x)max＝h(e)＝＝，
所以≥，则a的取值范围为．
5 / 6重点培优练12 同构法在函数与导数中的应用
1．双变量结构相同的同构函数类型
(1)g(x1)－g(x2)>λ[ f (x2)－f (x1)] g(x1)＋λf (x1)>g(x2)＋λf (x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf (x)；
(2)－kx2 f (x1)－kx1(3)<(x1＝－ f (x1)＋>f (x2)＋，构造函数φ(x)＝f (x)＋．
2．指对混合型同构的三种同构基本模式
(1)积型：aea≤b ln b
(2)商型：≤
(3)和差型：ea±a>b±ln b
例：eax＋ax>ln (x＋1)＋x＋1 eax＋ax>eln (x+1)＋ln (x＋1) ax>ln (x＋1)．
1．已知α，β∈R，则“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若0>ln x2－ln x1
>ln x2－ln x1
3．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a4．已知f (x)＝x2＋2ax－1对任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1＜x2，恒有x2f (x1)－x1f (x2)＜a(x1－x2)成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，3]
C． D．
5．已知a>0，b>0，且(a＋1)b+1＝(b＋3)a，则( )
A．a>b＋1 B．aC．ab－1
6．已知函数f (x)＝ex－a ln (ax－a)＋a(a>0)，若关于x的不等式f (x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(0，e2] B．(0，e2)
C．(1，e2] D．(1，e2)
7．(多选)(2024·湖北武汉二模)已知x>y>0，则下列不等式正确的有( )
A．ex－ey>x－y B．ln x－ln y>x－y
C．ln x≥1－ D．>
8．(多选)已知a，b∈(0，＋∞)，e是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋ln a，则的取值可以是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9．(2020·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f (x)＝aex-1－ln x＋ln a，若f (x)≥1，求a的取值范围．
10．(2024·内蒙古三模)已知函数f (x)＝x2－ax＋2ln x，若a>0，f (x)≤eax恒成立，求a的取值范围．
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