高考热点集训(二) 数列
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·广东广州三模)等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a5＝( )
A． B．
C．1 D．2
B [依题意有a1＋a1q2＝10，a1q＋a1q3＝5＝q，∴q＝，a1＝8，
∴a5＝a1q4＝8×＝．故选B．]
2．(2024·山东大联考二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＋a8＝30，S10＝120，则S14＝( )
A．156 B．252
C．192 D．200
B [等差数列{an}中，由S10＝120，得＝120，则a5＋a6＝a1＋a10＝24，
设等差数列{an}的公差为d，而a5＋a8＝30，因此2d＝a8－a6＝a5＋a8－(a5＋a6)＝6，解得d＝3，
则a6＋a9＝a5＋a8＋2d＝36，
所以S14＝＝7(a6＋a9)＝252.故选B．]
3．(2024·湖北武汉二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝81，则S12＝( )
A．288 B．144
C．96 D．25
B [设等差数列{an}的公差为d，
由题意
即解得
所以S12＝12×1＋×2＝144．
故选B．]
4．(2024·湖南岳阳三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2≥a1>0，S20＝100，则a10a11( )
A．有最小值25 B．有最大值25
C．有最小值50 D．有最大值50
B [由S20＝＝10(a10＋a11)＝100，可得a10＋a11＝10，
因为a2≥a1>0，则等差数列{an}的公差d≥0，
故a10>0，a11>0，
则a10a11≤＝25，当且仅当a10＝a11＝5时取等号，
即当a10＝a11＝5时，a10a11取得最大值25．
故选B．]
5．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A． B．
C． D．
B [因为{Sn＋nan}为常数列且a1＝1，所以有Sn＋nan＝2，①
当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，②
①－②，得(n＋1)an＝(n－1)an－1，即＝，
从而an＝a1····…·＝1×××…×，得an＝，
当n＝1时，a1＝1也满足上式．
故an＝．
故选B．]
6．(2024·湖北武汉模拟)已知数列{an}，则“an－2＋an＋2＝2an”是“数列{an}是等差数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [先判断充分性：∵an－2＋an＋2＝2an，∴an＋2－an＝an－an－2，
令n＝2k，则a2k＋2－a2k＝a2k－a2k－2＝…＝a4－a2，∴数列{an}的偶数项成等差数列；
令n＝2k－1，则a2k＋1－a2k－1＝a2k－1－a2k－3＝…＝a3－a1，∴数列{an}的奇数项成等差数列，
但数列{an}不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，
∴“an－2＋an＋2＝2an(n≥3，n∈N*)”不是“数列{an}是等差数列”的充分条件；
再判断必要性：若数列{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1＝＋＝an＋＋(n≥3，n∈N*)，∴2an＝an－2＋an＋2(n≥3，n∈N*)，∴“an－2＋an＋2＝2an(n≥3，n∈N*)”是“数列{an}是等差数列”的必要条件．
综上，“an－2＋an＋2＝2an(n≥3，n∈N*)”是“数列{an}是等差数列”的必要不充分条件．故选B．]
7．(2024·云南昆明一模)第七届国际数学教育大会的会徽图案是由若干三角形组成的．如图所示，作Rt△AOB，OA＝1，∠AOB＝30°，再依次作相似△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止．则所作的所有三角形的面积和为( )
A． B．
C． D．
D [因为＝12，设第n个三角形的斜边长为an，面积为bn，
由题意可知：a1＝＝，an＋1＝＝an，bn＝×an×an＝，
则b1＝≠0，＝＝＝，
可知数列{bn}是首项为b1＝，公比为的等比数列，
所以所作的所有三角形的面积和为＝.故选D．]
8．对于数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an，对自然数k(k≥2)，规定{Δkan}为数列{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk-1an＋1－Δk-1an.若a1＝1，且Δ2an－Δan＋1＋an＝－2n，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n2×2n-1 B．an＝n×2n-1
C．an＝(n＋1)×2n-2 D．an＝(2n－1)×2n-1
B [根据题中定义可得Δ2an－Δan＋1＋an＝(Δan＋1－an)－Δan＋1＋an＝－2n，
即an－Δan＝an－＝2an－an＋1＝－2n，即an＋1＝2an＋2n，
等式两边同时除以2n+1，得＝＋，所以－＝且＝，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)＝，
因此，an＝n×2n-1.故选B．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·辽宁实验中学一模)在等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是( )
A．若a3＋a7＝4，则S9＝18
B．若S15>0，S16<0，则
C．若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17
D．若a8＝S10，则S9>0，S10<0
ACD [设等差数列{an}的公差为d，对于A，a3＋a7＝4，S9＝＝＝18，A正确；
对于B，S15＝＝15a8>0，则a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，
则a8＋a9<0，a9<－a8<0，因此＝(a8＋a9)·(a8－a9)<0，即，B错误；
对于C，(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d＝9－5＝4，则d＝1，所以a7＋a8＝(a3＋4d)＋(a4＋4d)＝(a3＋a4)＋8d＝9＋8＝17，C正确；
对于D，由a8＝S10，得a1＋7d＝10a1＋45d，解得d＝－a1，
则S9＝9a1＋36d＝9>0，
S10＝5<0，D正确．故选ACD．]
10．(2024·湖北武汉模拟)四个实数－1，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有( )
A．－ B．－2
C．－16 D．－32
ABD [因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同，
当－1，2对应等比数列的第1项与第2项时，则第3，4项分别为－4，8，此时xy＝－32；
当－1，2对应等比数列的第1项与第4项时，此时xy＝－2；
当－1，2对应等比数列的第3项与第4项时，则第1，2项分别为－，，此时xy＝－；
当－1，2对应等比数列的第3项与第2项时，此时xy＝－2；
当－1，2对应等比数列的第2项与第3项时，此时xy＝－2；
当－1，2对应等比数列的第2项与第1项时，则第3，4项分别为，－，此时xy＝－；
当－1，2对应等比数列的第4项与第3项时，则第1，2项分别为8，－4，此时xy＝－32；
当－1，2对应等比数列的第4项与第1项时，此时xy＝－2.故选ABD．]
11．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；…；第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2，记an＝1＋x1＋x2＋x3＋…＋xk＋2，数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．a3＝42
B．k＋1＝2n
C．an＝(n2＋3n)
D．Sn＝
ABD [由题意可得a1＝3＋3，a2＝3＋3＋9，a3＝3＋3＋9＋27＝42，…
an＝3＋3＋9＋27＋…＋3n＝3＋＝(3n＋1)，故A选项正确，C选项错误；
由a1有3个数，a2有5个数，a3有9个数，则an有2n＋1个数，所以k＋2＝2n＋1，
即k＋1＝2n，故B选项正确；
由an＝(3n＋1)，可 Sn＝×＋＝(3n+1＋2n－3)，D选项正确．故选ABD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·安徽马鞍山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，anan＋2＝，则an的最小值为________．
[因为a1＝1，a2＝，anan＋2＝，所以an≠0，所以＝4·，因此数列是首项为＝，公比为4的等比数列，
所以＝×4n-1＝4n-3，
当n≥2时，an＝··…··a1＝4n-4×4n-5×…×4-2×1＝4，
因为n＝1时，4＝1＝a1，
所以an＝4＝4－，因此当n＝3或n＝4时，an取得最小值，为4-3＝．]
13．(2024·山西晋中三模)下面给出一个“三角形数阵”：
1 2
3 6
2 4 8 16
…
该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列，记第1行的数为a1，第2行的数由左至右依次为a2，a3，依次类推，则a100＝________．
1 792 [由1＋2＋…＋13＝＝91<100，1＋2＋…＋14＝＝105＞100，100－91＝9，知a100是第14行的第9个数．
而每一行的第一个数构成首项和公差均为的等差数列，从而第14行的第一个数是＋＝7．
又因为从第3行起，每一行的数由左至右成公比为2的等比数列，故第14行的第9个数等于7×29-1＝7×256＝1 792．]
14．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a4＝8，若存在非零常数λ，使得Sn＋λ＝(1＋λ)an对任意的正整数n均成立，则λ＝________，的最小值为________．
1 [当n＝1时，S1＋λ＝(1＋λ)a1，即a1＋λ＝a1＋λa1，又λ≠0，所以a1＝1．
由Sn＋λ＝(1＋λ)an①，
得当n≥2时，Sn－1＋λ＝(1＋λ)an－1②，
①－②得an＝(1＋λ)an－(1＋λ)an－1，故＝(n≥2)，
所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，
所以an＝，则a4＝＝8，解得λ＝1．
故数列{an}的公比为2，an＝2n-1，则an＋1＝2n，Sn＝＝2n－1，则＝＝2n＋－2．
法一：令t＝2n，则t≥2，＝t＋－2，
由对勾函数的性质可得y＝t＋－2在区间[2，＋∞)上单调递增，
所以当t＝2，即n＝1时，取得最小值．
法二：令f (x)＝2x＋－2(x≥1)，则f ′(x)＝·ln 2>0，f (x)单调递增，
所以当x＝1时，f (x)取得最小值，即的最小值为．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·福建厦门三模)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，S4＝10，且为等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝求{bn}的前2n项和T2n．
[解] (1)设等差数列的公差为d，因为a1＝S1＝1，
所以－＝3d，即－1＝3d，解得d＝，
所以＝1＋(n－1)，即Sn＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，
当n＝1时，a1＝1，满足上式，所以an＝n．
(2)由(1)知bn＝
则T2n＝(b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋b2n)
＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋
＝＋＝n2＋－，
所以数列{bn}的前2n项和为T2n＝n2＋－．
16．(15分)(2024·浙江宁波期末)已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝＝，数列{bn}满足bn＝kan－n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}为递增数列，求实数k的取值范围．
[解] (1)由Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，得＝an＋1，由＝，得＝，
于是＝＝，即＝，两边取对数得＝，
即n lg an＋1＝(n＋1)lg an，整理得＝，
因此数列是常数列，即＝＝lg 3，
于是lg an＝n lg 3＝lg 3n，所以an＝3n．
(2)由(1)知，bn＝k·3n－n，
由数列{bn}为递增数列，得 n∈N*，bn＋1>bn k·3n＋1－(n＋1)－k·3n＋n> 0，即 n∈N*，2k·3n－1>0 k>，而数列是递减数列，≤，当且仅当n＝1时取等号，即k＞．
所以实数k的取值范围是．
17．(15分)已知在数列{an}中，a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1．
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝sin ＋cos (πan)，求数列{bn}的前2 024项和T2 024．
[解] (1)因为nan＋1－(n＋1)an＝1，可得－＝＝－．
所以当n≥2时，－＋－＋…＋－＝－＋－＋…＋－＝1－，
即－＝1－，
所以an＝2n－1．
当n＝1时，a1＝1成立，所以an＝2n－1．
(2)由(1)知，bn＝sin ＋cos (πan)＝sin＋cos [π(2n－1)]＝cos nπ－cos 2nπ，
所以T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝cos π＋cos 2π＋…＋cos (2n－1)π＋cos 2nπ－[cos 2π＋cos 4π＋…＋cos (4n－2)π＋cos 4nπ]，
因为cos [(2n－1)π]＋cos 2nπ＝－cos 2nπ＋cos 2nπ＝0，cos 2nπ＝1，
于是(cos π＋cos 2π)＋…＋[cos (2n－1)π＋cos 2nπ]＝0，
cos 2π＋cos 4π＋…＋cos [(4n－2)π]＋cos 4nπ＝2n，
所以T2n＝－2n，所以数列{bn}的前2 024项的和为－2 024．
18．(17分)(2024·山东青岛二中模拟)欧拉函数φ(n)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如：φ(1)＝1，φ(4)＝2，φ(8)＝4，数列{an}满足an＝φ(2n)(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Sn．
[解] (1)由题意可知a1＝φ(2)＝1，a2＝φ(4)＝2，a3＝φ(8)＝4，
由题意可知，正偶数与2n不互素，所有正奇数与2n互素，比2n小的正奇数有2n-1个，
所以an＝φ(2n)＝2n-1．
(2)由(1)知an＝φ(2n)＝2n-1，
所以a2n＝φ(22n)＝22n-1，
所以bn＝(－1)n＝(－1)n＝(－1)n(2n－1)＝(4n－2) ，
所以Sn＝2×＋6×＋…＋(4n－6)×＋(4n－2)×，①
Sn＝2×＋6×＋…＋(4n－6)×＋(4n－2)× ，②
①－②得
Sn＝2×＋4－(4n－2)×
＝－＋4×－(4n－2)×＝－＋－(4n－2)×＝－－，所以Sn＝－＋．
19．(17分)(2024·河南名校联考)在正项无穷数列{an}中，若对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得anan＋2m＝，则称{an}为m阶等比数列．在无穷数列{bn}中，若对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得bn＋bn＋2m＝2bn＋m，则称{bn}为m阶等差数列．
(1)若{an}为1阶等比数列，a1＋a2＋a3＝，a3＋a4＋a5＝，求{an}的通项公式及前n项和；
(2)若{an}为m阶等比数列，求证：{ln an}为m阶等差数列；
(3)若{an}既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：{an}是等比数列．
[解] (1)因为{an}为1阶等比数列，所以{an}为正项等比数列，设公比为q，则q为正数，
由已知得
两式相除得q2＝，
所以q＝，
所以a1＝1，
所以{an}的通项公式为an＝a1qn-1＝，
前n项和为Sn＝＝＝2－．
(2)证明：因为{an}为m阶等比数列，
所以 n∈N*， m∈N*，使得anan＋2m＝成立，所以ln anan＋2m＝，又an>0，an＋m>0，an＋2m>0，所以ln an＋ln an＋2m＝2ln an＋m，即 n∈N*， m∈N*，ln an＋ln an＋2m＝2ln an＋m成立，
所以{ln an}为m阶等差数列．
(3)证明：因为{an}既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，
所以anan＋8＝与anan＋10＝同时成立，
所以＝与＝同时成立，
又{an}的各项均为正数，所以对任意的n∈N*，
数列an，an＋4，an＋8，…和数列an，an＋5，an＋10，…都是等比数列，
由数列an，an＋4，an＋8，…是等比数列，
得an＋1，an＋5，an＋9，…也成等比数列，
设＝q1>0，＝q2>0，
所以＝>0，所以{an}是等比数列．
11 / 11高考热点集训(二) 数列
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·广东广州三模)等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a5＝( )
A． B．
C．1 D．2
2．(2024·山东大联考二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＋a8＝30，S10＝120，则S14＝( )
A．156 B．252
C．192 D．200
3．(2024·湖北武汉二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝81，则S12＝( )
A．288 B．144
C．96 D．25
4．(2024·湖南岳阳三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2≥a1>0，S20＝100，则a10a11( )
A．有最小值25 B．有最大值25
C．有最小值50 D．有最大值50
5．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A． B．
C． D．
6．(2024·湖北武汉模拟)已知数列{an}，则“an－2＋an＋2＝2an”是“数列{an}是等差数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(2024·云南昆明一模)第七届国际数学教育大会的会徽图案是由若干三角形组成的．如图所示，作Rt△AOB，OA＝1，∠AOB＝30°，再依次作相似△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止．则所作的所有三角形的面积和为( )
A． B．
C． D．
8．对于数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an，对自然数k(k≥2)，规定{Δkan}为数列{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk-1an＋1－Δk-1an.若a1＝1，且Δ2an－Δan＋1＋an＝－2n，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n2×2n-1 B．an＝n×2n-1
C．an＝(n＋1)×2n-2 D．an＝(2n－1)×2n-1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2024·辽宁实验中学一模)在等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是( )
A．若a3＋a7＝4，则S9＝18
B．若S15>0，S16<0，则
C．若a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝17
D．若a8＝S10，则S9>0，S10<0
10．(2024·湖北武汉模拟)四个实数－1，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有( )
A．－ B．－2
C．－16 D．－32
11．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；…；第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2，记an＝1＋x1＋x2＋x3＋…＋xk＋2，数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．a3＝42
B．k＋1＝2n
C．an＝(n2＋3n)
D．Sn＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·安徽马鞍山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，anan＋2＝，则an的最小值为________．
13．(2024·山西晋中三模)下面给出一个“三角形数阵”：
1 2
3 6
2 4 8 16
…
该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列，记第1行的数为a1，第2行的数由左至右依次为a2，a3，依次类推，则a100＝________．
14．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a4＝8，若存在非零常数λ，使得Sn＋λ＝(1＋λ)an对任意的正整数n均成立，则λ＝________，的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·福建厦门三模)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，S4＝10，且为等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝求{bn}的前2n项和T2n．
16．(15分)(2024·浙江宁波期末)已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝＝，数列{bn}满足bn＝kan－n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}为递增数列，求实数k的取值范围．
17．(15分)已知在数列{an}中，a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1．
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝sin ＋cos (πan)，求数列{bn}的前2 024项和T2 024．
18．(17分)(2024·山东青岛二中模拟)欧拉函数φ(n)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如：φ(1)＝1，φ(4)＝2，φ(8)＝4，数列{an}满足an＝φ(2n)(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Sn．
19．(17分)(2024·河南名校联考)在正项无穷数列{an}中，若对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得anan＋2m＝，则称{an}为m阶等比数列．在无穷数列{bn}中，若对任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得bn＋bn＋2m＝2bn＋m，则称{bn}为m阶等差数列．
(1)若{an}为1阶等比数列，a1＋a2＋a3＝，a3＋a4＋a5＝，求{an}的通项公式及前n项和；
(2)若{an}为m阶等比数列，求证：{ln an}为m阶等差数列；
(3)若{an}既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：{an}是等比数列．
4 / 5
